非廣延統計的冪律分布律及其微觀動力學基礎

鄭亞輝，梁法庫，羅旺，任曉輝

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非廣延統計的冪律分布律及其微觀動力學基礎

鄭亞輝，梁法庫，羅旺，任曉輝

（齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

綜合介紹了非廣延統計中用以推導冪律分布函數的方法，分別是最大熵原理、系綜論和分子運動論等．從隨機動力學角度分析了產生冪律分布的微觀機制，指出這種機制源于相空間的非均勻特征，也與溫度漲落相關聯．這２種機制分別聯系于加性噪聲和乘性噪聲．

冪律分布；非均勻性；乘性噪聲

非廣延統計是近幾十年出現的一種統計理論，它于1988年由巴西物理學家C Tsallis首次提出[1]，之后得到廣泛研究和認同，并被應用于醫學[2]、復雜網絡[3]、經濟學[4]和地震研究[5]等領域．非廣延統計理論不同于經典玻爾茲曼-吉布斯統計理論，它給出的分布函數不是指數型而是冪律型的．在很多復雜的系統中，冪律分布現象被多次觀測和證實過，如在等離子體[6-7]、太陽磁場[8]、地震預測[9]、基因族譜[10]和股票市場[11]等系統中，都觀測到了冪律分布現象．

冪律分布函數是非廣延統計理論的基礎，它在非廣延統計的諸多領域扮演著核心角色，因此有關它的推導過程和正確性就顯得至關重要．本文旨在介紹迄今為止公認的導出冪律分布函數的方法，這些方法都與經典統計有著千絲萬縷的聯系．

１ 冪律分布函數的導出

1.1 最大熵原理方法

熵增加原理無論是在經典統計還是在非廣延統計理論中都是成立的．所以，由金斯確立的最大熵原理在非廣延統計中也能使用．假定一個系統的微觀狀態是分立的，系統在第個微觀態上的概率用表示，非廣延熵和概率歸一化條件可分別寫為

根據歸一化條件和內能的形式，定義泛函

求該泛函的極值，可得

整理后可得分布函數

其中的配分函數定義為

為了方便引入物理溫度概念[13]，定義

則分布函數可寫為

由最大熵原理方法給出的冪律分布函數是6維相空間的概率密度分布函數，可稱為廣義吉布斯分布．當時，式（9）趨向于經典統計中的指數分布，因此這種冪律形式的函數又稱廣義指數函數．下一種方法，是直接在系綜論中討論冪律分布函數．

1.2 系綜論方法

先考慮微正則系綜．微正則系綜的能量是確定的，在該系綜內定義的泛函不受內能限制的影響，即

很顯然，由泛函導致的分布函數是等概率形式

再考慮正則系綜．在正則系綜，系統與一個大熱源接觸，它與后者構成一個復合系統．假定系統能量為，熱源能量為，則復合系統總能量．一般假設熱源很大，因此有．當系統與熱源達到“平衡態”時，復合系統的微觀狀態數最多．當系統處在某個特定的微觀態時，與它處在統計平衡的熱源的微觀狀態數為．這也是系統處在該微觀狀態時復合系統可能的微觀狀態數．因此，系統處在微觀態的概率可以表示為

顯然，它對所有微觀態求和等于1．

根據式（12），非廣延熵與微觀狀態數之間有如下關系

引入勒讓德變換

因系統與熱源處于“熱平衡”中，有

這樣系統的平衡態分布函數就變成

顯然，配分函數可以定義為

與第3能量定義中的配分函數（7）一樣，式（20）配分函數也是物理溫度的函數．

以上推導用了近似方法，即假定熱源的能量較大．介紹一種較精確的方法，這種方法不依賴于大熱源，卻需要預先給出一個假定，即Almeida假定[14]

其中的展開系數為

由式（16）可得

根據式（24），并考慮到式（21），可得

將式（13）中復合系統的微觀狀態數進行泰勒展開，有

考慮到式（25），式（26）可進一步寫為[15]

該式與用近似法得到的式（17）是完全相同的．由此可見，從Almeida假定出發，可以精確地推導出廣義吉布斯分布函數．

廣義吉布斯分布函數是正則系綜分布函數，它是6維相空間內的概率密度分布函數．在實際應用時，如在處理輸運和弛豫問題時，更希望應用單粒子分布函數，即6維相空間內的概率密度分布函數．較好的、能推導單粒子冪律分布函數的方法，是在分子運動論中，借助廣義玻爾茲曼方程來實現的．

1.3 分子運動論方法

要想在非廣延統計中得到冪律形式的單粒子分布函數，較好的方法是將玻爾茲曼方程加以推廣．這個推廣后的玻爾茲曼方程形式為[16] 2939

很顯然，廣義分子混沌假設實際上意味著單分子分布函數之間的關聯．

因此，相應的廣義H函數或說熵函數可取為

它的時間全導數為

將廣義玻爾茲曼方程（28）代入后可得

可以看出，式（33）右邊的第2項和第3項可以分別化為位形空間和速度空間的面積分．物理上要求將分布函數的邊界條件取為零，因此右邊后2項必然為零，也就是說

注意到廣義分子混沌假設（29）滿足2種對稱性，一是對分布函數對稱，即分子交換其所滿足的分布函數時，分子混沌假設的形式不變；另一種是分子位置或碰撞前后的時間反對稱性，即交換碰撞的前后順序時，分子混沌假設的形式改變符號．

在這種對稱性下，熵的時間導數變成

考慮到分子混沌假設的形式，可知必有

這就是熵增加原理，符合物理直覺，這說明推廣的分子混沌假設是合理的．取等號，即熵達到最大值時的條件是且僅是

可以修改為

如果定義

熵取最大值的態，即平衡態時的分布函數為[16]2941

這是速度空間的冪律分布函數，與之前得到的正則分布函數形式類似．它與通過將麥克斯韋因式分解法推廣得到的廣義麥克斯韋速度分布函數是完全相同的[17]．

以上3種方法都有堅實的物理基礎，已經發展成為非廣延統計理論的三大領域．此外，還有一些與一定物理基礎無關的方法，也可以導出非廣延統計中的冪律分布函數．如最速下降法[18]、計數法[19]和中心極限定理法[20-21]等．這些方法沒有直接的物理根源，在某種程度上可以說是純粹的數學方法．

可以看出，推導的分布函數之所以會呈現出冪律特征，其根本原因是非廣延參數偏離了1一定的數值．上述推導過程只是說明了在非廣延參數偏離了1的情況下分布函數是怎樣的，并沒有說明該參數為什么會偏離1．也就是說還沒有從根本上弄清楚產生冪律分布的物理根源是什么．弄清楚了這個問題，也就同時弄清了非廣延參數的物理起源問題．為此，將從隨機動力過程出發進行分析．

2 冪律分布的微觀動力學基礎

2.1 乘性噪聲及溫度漲落

從乘性噪聲角度討論非廣延冪律分布產生的物理機制，考慮同時包含加性和乘性噪聲的隨機過程，它由無量綱隨機微分方程描述

與隨機微分方程（42）對應的福克-普朗克方程，按照Stratonovich規則可以表示成

非廣延參數定義為

可見，溫度與加性和乘性噪聲都有關系．這在物理上是合理的，溫度總是與某種隨機運動有關．式（49）實際上是乘性噪聲環境下的愛因斯坦漲落擴散關系．

乘性噪聲其實意味著摩擦力系數的漲落，為了看得更清楚些，令，考慮式（46），隨機微分方程變成了

方括號內的項就是漲落摩擦系數．根據這一點，C Beck提出了另一種導出冪律分布函數的方法[23]．他將摩擦系數的漲落與溫度倒數，即拉格朗日乘子的漲落聯系起來．為了方便，將隨機微分方程改寫為

按照經典步驟，該微分方程導致的分布函數是指數型的

其中的拉格朗日乘子與漲落摩擦系數的關系是

很顯然，這個拉格朗日乘子已經成為了一個隨機變量．既然關于它沒有任何物理上的特殊要求，C Beck假定這個隨機變量服從自由度為的分布，它的概率密度函數為

這個分布函數是冪律形式的，只需要做變換

它就可以轉為標準的廣義麥克斯韋速度分布函數（41）．

2.2 加性噪聲及相空間的非均勻性

給出冪律分布的另一種解釋，為此，引入二變量隨機微分方程，形式為

這里只考慮加性噪聲，不考慮乘性噪聲，即摩擦系數與時間無關．在經典統計中，摩擦系數與隨機力跟位置和動量都無關，這樣得出的分布函數是指數形式的．但是，如果二者與位置和動量都有關（相空間依賴）的話，情況就不同了，這種相空間依賴性是可能的．在復雜系統中，噪聲有可能表現為相空間的函數[24]．為了方便而且不影響結論，假定加性噪聲是高斯白噪聲，也就是說它的一階矩和二階矩分別是

按照Zwanzig規則[25]，與上述二變量隨機微分方程對應的福克-普朗克方程為

定態分布函數總是可以表示成能量（粒子動能與勢能之和）的某種函數，因此有

考慮到動量的任意性，式（61）的積分常數為零，因此能量依賴分布函數為

在一些復雜系統的反常擴散過程已經表明，擴散系數不僅與粒子動能有關[26]還與其勢能有關[27-28]，所以一般地可以假設

這就是在非均勻相空間的漲落擴散關系[29]

將其代入式（62）可得解析形式的定態分布函數

上述解釋假定摩擦系數與噪聲關聯強度同時依賴于位置和動量（速度）．與2.1中摩擦系數依賴于時間（溫度漲落）不同，這次它依賴于一定的相空間位置．其物理根據可能是這樣的，當系統中出現長程相互作用或關聯時，摩擦力不再與速度成簡單的正比關系，而是呈現出復雜的非線性關系．另一方面，當系統中存在長程作用力（或類似的等效長程力）時，隨機力（噪聲）也多少會帶有一定的長程性質，這意味著長程力強的地方噪聲關聯也越強[30]．因此，這次冪律分布起因于相空間的不均勻性．

3 結語

在本文中，綜述了3種在非廣延統計理論中導出冪律分布函數的方法，分別是最大熵原理方法、系綜論方法和分子運動論方法．最大熵方法依賴于熵增加原理，孤立系統的熵總是趨向于增加，一旦熵達到最大值，系統就處在平衡態，且具有唯一的分布函數．系綜論方法的基礎是等概率原理和各態遍歷原理，通過等概率原理，只需計算系統的微觀狀態數就能確定某個能級出現的概率，各態遍歷性保證了系綜平均與時間平均的一致性．分子運動論方法從粒子的微觀運動出發，在分析其微觀運動規律的基礎上給定其動理方程，即玻爾茲曼方程，最終通過求解該方程得到分布函數．從隨機動力學角度來看，分布函數的冪律特征來源于相空間的非均勻性，同時也跟摩擦力漲落或溫度漲落有關．根本來說，這2種機制是統一的．因為加性噪聲強度的相空間依賴部分可以單獨從噪聲項中提出來，這樣加性噪聲就變成乘性噪聲了．

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The power law distribution function of nonextensive statistics and its microscopic dynamic foundation

ZHENG Ya-hui，LIANG Fa-ku，LUO Wang，REN Xiao-hui

（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

Summarized several methods to be used to deduce power law distribution in nonextensive statistics，such as maximum entropy principle，ensemble theory，molecular kinetics，and so on．Analyze the microscopic mechanism to produce such power law distribution from stochastic dynamics，and conclude that this mechanism is derived from the inhomogeneous character of phase space，also related to the fluctuation of temperature．They are associated to additive noise and multiplicative noise，respectively．

power law distribution；inhomogeneity；multiplicative noise

1007-9831（2016）07-0034-08

O41

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.009

2016-05-31

黑龍江省教育廳科學技術研究項目（12541883）；國家自然科學基金資助項目（11405092）

鄭亞輝（1979-），男，河北保定人，講師，博士，從事非廣延統計理論及其應用研究．E-mail：zhengyahui1979@163.com