時(shí)滯控制下的微梳狀驅(qū)動(dòng)器動(dòng)力學(xué)研究

張琪昌， 任　環(huán)， 韓建鑫

(天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津　300072)

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時(shí)滯控制下的微梳狀驅(qū)動(dòng)器動(dòng)力學(xué)研究

張琪昌， 任環(huán)， 韓建鑫

(天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072)

在微梳狀驅(qū)動(dòng)器的直、交流兩種驅(qū)動(dòng)電壓中，加入時(shí)滯速度反饋，建立了時(shí)滯影響下的微梳狀驅(qū)動(dòng)器的單自由度模型。假設(shè)驅(qū)動(dòng)器以微小振幅振動(dòng)，將含速度時(shí)滯反饋的靜電驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行泰勒近似展開，應(yīng)用多尺度法得到時(shí)滯參數(shù)影響下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程;驅(qū)動(dòng)頻率在共振頻率附近時(shí)，系統(tǒng)非線性振動(dòng)隨時(shí)滯參數(shù)改變時(shí)發(fā)生跳躍現(xiàn)象;不同的直流電壓等物理參數(shù)狀態(tài)下的系統(tǒng)振動(dòng)頻率和軟硬特性不同，可以通過改變時(shí)滯參數(shù)控制不同物理參數(shù)下的系統(tǒng)的振動(dòng)的穩(wěn)定范圍和幅值。經(jīng)過計(jì)算并使用數(shù)值方法驗(yàn)證了結(jié)論，正時(shí)滯參數(shù)引起系統(tǒng)振動(dòng)失穩(wěn)，負(fù)時(shí)滯參數(shù)可使振動(dòng)幅值跳躍現(xiàn)象消失。

微梳狀結(jié)構(gòu)；時(shí)滯反饋；控制；非線性振動(dòng)

在MEMS諧振器中，梳齒狀諧振器由于其能實(shí)現(xiàn)機(jī)械能和其他能量之間的轉(zhuǎn)換，并且可以產(chǎn)生較大的振動(dòng)幅值，是最早被研究出來并廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如汽車安全氣囊、小衛(wèi)星、磁頭驅(qū)動(dòng)器這些產(chǎn)品中，MEMS梳齒式諧振器起到了十分重要的作用，因此梳齒式諧振器在MEMS研究領(lǐng)域受到普遍重視[1-3]。靜電式梳齒微驅(qū)動(dòng)器是應(yīng)用較廣泛的微驅(qū)動(dòng)器，它具有效率高、精度高、激勵(lì)形式多樣等優(yōu)點(diǎn)[4]，然而頻率值有待提高，振動(dòng)穩(wěn)定受環(huán)境影響較大等動(dòng)力學(xué)問題仍亟待解決。ELSHURAFA等[5]對微梳齒結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，得到不同參數(shù)的軟硬特性。ZHONG等[6]研究了微梳齒結(jié)構(gòu)的齒狀結(jié)構(gòu)的形狀對結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。張文明等[7]研究了物理參數(shù)如壓膜阻尼對微機(jī)電共振傳感器的動(dòng)力學(xué)特性的影響。

由于微機(jī)電系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)、尺寸特點(diǎn)，限制了驅(qū)動(dòng)器的穩(wěn)定工作范圍，降低了其工作可靠性。工作中，即使是很小的物理參數(shù)改變，也可能會(huì)使靜電力驅(qū)動(dòng)梳齒狀諧振器產(chǎn)生較大影響，甚至產(chǎn)生吸合現(xiàn)象，使系統(tǒng)失穩(wěn)。但在現(xiàn)在的實(shí)際設(shè)計(jì)中卻幾乎不考慮利用時(shí)滯因素對系統(tǒng)的有效控制。PYRAGAS[8]設(shè)計(jì)了一種時(shí)滯反饋控制來控制周期性不穩(wěn)定的混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定。NAYFEH等[9]利用加速度時(shí)滯反饋提高機(jī)床穩(wěn)定控制裝置的穩(wěn)定性。HU等[10]研究了帶有時(shí)滯反饋的Duffing振子的非線性，并且利用多尺度法研究速度反饋的全局穩(wěn)定性。在單自由度系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近對速度反饋的研究與位移時(shí)滯反饋相對比，可以擴(kuò)展工作頻率范圍。NGUYEN等[11]用一種攝動(dòng)方法分析了靜電力驅(qū)動(dòng)的微梳齒結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)。SHAO等[12]在上述研究的成果基礎(chǔ)上，在靜電力驅(qū)動(dòng)的微梁上加了時(shí)滯控制，比較兩種時(shí)滯控制得到不同控制效果。有學(xué)者研究物理參數(shù)變化影響微梳狀結(jié)構(gòu)的振動(dòng)穩(wěn)定性。張峰等[13]等分析了靜電梳齒結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性隨支撐梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化關(guān)系，并采用有限元仿真軟件對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。尚慧琳等[14]研究了直流偏置電壓和交流激勵(lì)電壓對靜電驅(qū)動(dòng)微結(jié)構(gòu)驅(qū)振器安全域的影響。

從上述研究可知，梳齒結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)特性的穩(wěn)定與控制問題受到了廣泛關(guān)注，且時(shí)滯反饋信號對于非線性振動(dòng)的微梳狀結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是十分有效的。從目前的文獻(xiàn)可知，利用時(shí)滯反饋信號實(shí)現(xiàn)對微梳狀結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)的控制的研究鮮有見到。

本文將速度反饋電壓加入驅(qū)動(dòng)電壓，通過對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析，能夠很好的實(shí)現(xiàn)對不同的驅(qū)動(dòng)電壓、結(jié)構(gòu)參數(shù)的微梳狀結(jié)構(gòu)的振動(dòng)穩(wěn)定域、振動(dòng)幅值和軟硬特性變化等重要振動(dòng)特性的控制。這對更好的穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出，補(bǔ)償系統(tǒng)參數(shù)的改變，提高梳齒的性能提供理論參考。

1　模型的表達(dá)

時(shí)滯反饋可以控制微梳狀結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)。為了更好地研究時(shí)滯因素對微梳狀結(jié)構(gòu)的影響，建立微梳狀結(jié)構(gòu)的集中質(zhì)量模型(見圖1)。

振動(dòng)方程表示為：

(1)

根據(jù)梳狀結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，將速度時(shí)滯反饋電壓加入靜電驅(qū)動(dòng)電壓。靜電力表達(dá)式為：

圖1　微梳狀諧振器模型圖Fig.1　Model of folded-MEMS comb drive resonators

(2)

式中：Vdc和Vac分別為靜電驅(qū)動(dòng)的直流、交流電壓。

反饋時(shí)滯速度為：

(3)

為方便計(jì)算，將方程按照如下原則無量綱化：

式中：Q為質(zhì)量因子，N是梳齒的個(gè)數(shù)。單自由度微梳齒結(jié)構(gòu)的無量綱化的方程表達(dá)為：

(4)

無量綱靜電力表達(dá)式：

(5)

無量綱的x由平衡點(diǎn)和偏離平衡點(diǎn)的無量綱位移組成：

x=δ+u

(6)

δ為梳齒的初始間距x0的無量綱表達(dá)，代入式(4)：

(3Kδ2+1)u+δ+Kδ3

(7)

靜電力表達(dá)為：

(8)

為分析梳齒結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定域，令式(7)中所有關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為零，計(jì)算平衡點(diǎn)位置得到：

(9)

經(jīng)過計(jì)算式(9)只存在一個(gè)δ=0的平衡點(diǎn)。

2　多尺度法求解

微梳狀結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是弱非線性系統(tǒng),引入小參量ε，假設(shè)u=O(ε),ρ=O(ε3),GV=O(ε2)。

KL和KN是用攝動(dòng)法對結(jié)構(gòu)研究截?cái)嗟叫×康?階得到的。將靜電力表達(dá)式利用泰勒展式展開到第3階。利用泰勒展式在平衡點(diǎn)δ=0附近將位移和靜電驅(qū)動(dòng)力部分展開到第3階，代入式(8)并化簡，忽略高階項(xiàng)，整理無量綱的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

為研究主共振情況下的近似解，設(shè)激勵(lì)頻率和固有頻率的關(guān)系為：

Ω=ω+ε2σ

(11)

式中：σ為調(diào)諧參數(shù)。

利用多尺度法對式(10)進(jìn)行攝動(dòng)分析。為使位移解不出現(xiàn)永年項(xiàng)，必有：

(12)

(13)

(14)

(15)

其中有效阻尼系數(shù)：

由式(15)得到脊骨線方程和最大振幅：

(16)

(17)

通過改變時(shí)滯反饋電壓的幅值G控制有效阻尼系數(shù)，可以改變振幅。改變時(shí)滯時(shí)間可以周期性的改變有效阻尼系數(shù)μe和振幅。同時(shí)，若γ為正，可以得到軟特性的幅頻響應(yīng)曲線；相反的，若γ負(fù)值可以得到硬特性的幅頻響應(yīng)曲線。同樣由頻率關(guān)系式(16)可以得到，時(shí)滯電壓幅值和時(shí)滯時(shí)間可以調(diào)節(jié)頻率參數(shù)。

3　理論分析和數(shù)值仿真

微梳狀結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過改變直流、交流激勵(lì)電壓，材料屬性、柵欄間距等參數(shù)控制其運(yùn)動(dòng)。本文通過反饋時(shí)滯電壓激勵(lì)，可以有效控制不同物理參數(shù)的結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定振動(dòng)范圍、幅頻響應(yīng)等重要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)。

3.1時(shí)滯因素對系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性的影響

為了更好地研究微小振動(dòng)狀態(tài)下的系統(tǒng)，將攝動(dòng)法得到的解表達(dá)為a=a0+Δa和φ=φ0+Δφ，其中a0和φ0表示平衡位置，Δa和Δφ表示微小擾動(dòng)。代入式(13)和式(14)得到：

(18)

式中：

λ2+mλ+n=0

(19)

式中：

m=μ0+g-gcos(ωτ)

(20)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知，令τ=π/ω，微梳狀結(jié)構(gòu)全時(shí)滯穩(wěn)定的g和μ0需要滿足條件：

g+μ0>0

(22)

由非線性振動(dòng)理論可知，m>0和n>0保證了攝動(dòng)解a0的穩(wěn)定性。

本文以表1中的微梳狀結(jié)構(gòu)為研究對象[5]，取參數(shù)Vdc=20 V，Vac=20×10-3V，N=30使用攝動(dòng)法和數(shù)值模擬研究梳齒結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)見圖2，兩種方法結(jié)論擬合較好。圖2中的時(shí)滯參數(shù)為G=0 mVs/m時(shí)的微梳狀結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)曲線，表現(xiàn)為明顯的硬特性。可知在頻率f=16 909 Hz發(fā)生跳躍現(xiàn)象，存在三個(gè)振動(dòng)位移解。圖3為式(15)設(shè)定激勵(lì)頻率f=16 909 Hz，微梳狀結(jié)構(gòu)振動(dòng)的振幅隨時(shí)滯電壓幅值變化發(fā)生變化。從圖3可知,時(shí)滯電壓幅值G<-2 mVs/m時(shí)有一個(gè)穩(wěn)定振幅；G在-2～14 mVs/m之間有3個(gè)振幅解，對比圖2得到在相同的振幅范圍內(nèi)均發(fā)生跳躍現(xiàn)象。由穩(wěn)定條件式(22)確定時(shí)滯電壓幅值需要滿足G<7.9 mVs/m。由式(21)得到在f=16 909 Hz的穩(wěn)定解為實(shí)線部分，虛線為不穩(wěn)定解。與幅頻響應(yīng)方程式(15)在此頻率附近的跳躍現(xiàn)象相對應(yīng)，三個(gè)振幅解中，有兩個(gè)穩(wěn)定解(分別為正向掃頻和逆向掃頻)，第三個(gè)為不穩(wěn)定解。

表1　微梳狀結(jié)構(gòu)物理參數(shù)

圖2　不同時(shí)滯電壓幅值G微梳狀結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線Fig.2　Amplitude-frequency response curve of system under different value of G

圖3　Vdc=10 V,Vac=5×10-3 V時(shí)，振幅-時(shí)滯參數(shù)函數(shù)曲線Fig.3　Amplitude-G response curve of Vdc=10 V,Vac=5×10-3 V

圖4　不同時(shí)滯電壓幅值G的穩(wěn)定振動(dòng)范圍Fig.4　Stable vibration range curve of system under different value of G

圖4描述了系統(tǒng)在不同時(shí)滯參數(shù)影響下的穩(wěn)定振動(dòng)區(qū)域，其中曲線圍成的區(qū)域?yàn)椴环€(wěn)定振動(dòng)區(qū)域。對比圖2得到結(jié)論，正的時(shí)滯參數(shù)會(huì)擴(kuò)大微梳狀驅(qū)動(dòng)器的不穩(wěn)定振動(dòng)區(qū)域。研究結(jié)論與文獻(xiàn)[12]中負(fù)的時(shí)滯參數(shù)會(huì)導(dǎo)致靜電驅(qū)動(dòng)的微梁失穩(wěn)的結(jié)論相反，說明了梳齒結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的特殊性，對于分析微梳狀結(jié)構(gòu)振動(dòng)的穩(wěn)定區(qū)域很有意義。

3.2時(shí)滯因素對幅頻響應(yīng)的影響

3.2.1不同梳齒個(gè)數(shù)的情況

不同尺寸、型號的微梳狀驅(qū)動(dòng)器用于不同的結(jié)構(gòu)內(nèi)部[3]，梳齒個(gè)數(shù)為10～50個(gè)均有廣泛應(yīng)用。圖5～圖7分別顯示了當(dāng)微梳狀結(jié)構(gòu)的梳齒個(gè)數(shù)發(fā)生變化時(shí)，時(shí)滯反饋電壓幅值G對不同系統(tǒng)在穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)的幅頻響應(yīng)的控制：正負(fù)時(shí)滯可以增大或降低幅值；時(shí)滯電壓幅值G為負(fù)數(shù)時(shí)系統(tǒng)近似為線性振動(dòng)；時(shí)滯電壓幅值G為正數(shù)時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)的跳躍區(qū)間變窄。常規(guī)的達(dá)到改變梳齒結(jié)構(gòu)的幅頻特性的目的需要改變其激勵(lì)電壓，容易造成吸合效應(yīng)等不穩(wěn)定狀態(tài)，進(jìn)而造成結(jié)構(gòu)破壞。時(shí)滯控制裝置能夠有效的避免這些情況的發(fā)生。同時(shí)對比圖5～圖7可以得到：當(dāng)激勵(lì)電壓為Vdc=20 V，Vac=20×10-3V時(shí)，梳齒個(gè)數(shù)增加時(shí)，共振頻率變小，振動(dòng)幅值減小。本文研究了時(shí)滯因素對具有不同梳齒個(gè)數(shù)的系統(tǒng)穩(wěn)定振動(dòng)的影響，對于控制不同型號的研究對象的振動(dòng)具有參考價(jià)值。

圖5　N=10不同時(shí)滯電壓幅值G的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線Fig.5　Amplitude-frequency response curve of N=10 and different value of G

圖6　N=30不同時(shí)滯電壓幅值G的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線Fig.6　Amplitude-frequency response curve of N=30 and different value of G

3.2.2不同直流電壓Vdc的情況

圖8～圖10描述了當(dāng)Vac=20×10-3V，N=30，直流偏置電壓Vdc分別為20 V、34.6 V、37 V時(shí)，時(shí)滯參數(shù)的變化對微梳狀結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)的影響。將3幅圖對比可知調(diào)節(jié)直流電壓可以使振動(dòng)變?yōu)榻凭€性，并且隨著直流電壓幅值的增大，結(jié)構(gòu)發(fā)生由硬特性到軟特性的明顯變化，共振頻率變大，共振峰值減小。為了獲得具有軟特性的解，驅(qū)動(dòng)器需要被較大的直流電壓驅(qū)動(dòng)，同時(shí)也要防止電壓過大，發(fā)生吸合效應(yīng)。從圖中可知，負(fù)的時(shí)滯控制增益可以降低系統(tǒng)非線性程度和振動(dòng)幅值。當(dāng)系統(tǒng)在較高直流偏置電壓下工作時(shí)，可以降低時(shí)滯電壓幅值以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。對于微梳狀結(jié)構(gòu)不同的設(shè)計(jì)參數(shù)，可以確定相應(yīng)參數(shù)下的時(shí)滯參數(shù)取值范圍，與直流偏置電壓和交流電壓一起更好地實(shí)現(xiàn)控制目的。

圖7　N=50不同時(shí)滯電壓幅值G的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線Fig.7　Amplitude-frequency response curve of N=50 and different value of G

圖8　Vdc=20 V不同時(shí)滯電壓幅值G的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線Fig.8　Amplitude-frequency response curve of Vdc=20 V and different value of G

圖9　 Vdc=34.6 V不同時(shí)滯電壓幅值G的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線Fig.9　Amplitude-frequency response curve of Vdc=34.6 V and different value of G

圖10　Vdc=37 V，不同時(shí)滯電壓幅值G的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線Fig.10　Amplitude-frequency response curve of Vdc=37 V and different value of G

4　結(jié)　論

本文對單自由度微梳狀結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)進(jìn)行了研究。利用多尺度法獲得被時(shí)滯參數(shù)影響的振動(dòng)方程的解，由數(shù)值方法和多尺度方法獲得幅頻響應(yīng)方程，通過研究發(fā)現(xiàn)：

(1) 梳齒個(gè)數(shù)增加時(shí)，共振頻率變小，振動(dòng)幅值減小；

(2) 隨著直流驅(qū)動(dòng)電壓變化，幅頻響應(yīng)曲線會(huì)出現(xiàn)軟硬特性的改變，共振頻率和幅值會(huì)同時(shí)發(fā)生變化；

(3) 正的時(shí)滯反饋可以導(dǎo)致系統(tǒng)的硬非線性增強(qiáng)，跳躍現(xiàn)象明顯，容易導(dǎo)致不穩(wěn)定振動(dòng)現(xiàn)象；

(4) 負(fù)的時(shí)滯反饋可以減弱系統(tǒng)的非線性甚至近似為線性振動(dòng)，振動(dòng)幅值減小，同時(shí)縮短系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間，加強(qiáng)穩(wěn)定性；

(5) 某些時(shí)滯控制增益可以導(dǎo)致三個(gè)振動(dòng)位移解，利用穩(wěn)定性分析可以確定其中的不穩(wěn)定解，這與幅頻響應(yīng)曲線的跳躍現(xiàn)象一致。

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Nonlinear dynamics of folded-MEMS comb drive resonators with time-delayed control

ZHANG Qichang, REN Huan, HAN Jianxin

(Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

A time-delayed velocity feedback was made in use in the DC and AC driving voltage of folded-MEMS comb drive resonators and a single degree of freedom model of the folded-MEMS comb drive resonators under the influence of time-delayed control was presented. The expression of the electricity driving force, recieving the velocity feedback under the condition of small vibration amplitude, was approximated with the Taylor expansion. The method of multiple-scales was used to obtain the amplitude-frequency response equation of the system under the influence of time-delay parameters. The change of time-delayed parameters may result in jumping phenomena in the nonlinear vibration of the system when the driving frequency is in the vicinity of resonance frequency. The resonance frequency and nonlinear characteristics of softening or hardening will vary under conditions with different physical parameters such as DC and AC voltages. The stability region and vibration amplitude of the system with different physical parameters can be controlled by changing the time-delay parameters. It is concluded that the positive time-delayed control gain makes the system instable and the negative time-delayed control gain leads to the disappearance of jumping phenomenais, which was verified by the numerical computations.

folded-MEMS comb; time-delayed velocity feedback; control; nonlinear vibration

國家自然科學(xué)基金(11372210；11102127)；高校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20120032110010)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃(12JCYBJC12500；12JCZDJC28000)

2015-05-12修改稿收到日期：2015-08-26

張琪昌 男，博士，教授，1959年生

O322

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.007