基于混沌優化的約束優化問題求解方法實現

劉道文

(許昌學院 電氣信息工程學院，河南 許昌 461000)

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基于混沌優化的約束優化問題求解方法實現

劉道文

(許昌學院 電氣信息工程學院，河南 許昌 461000)

在分析混沌序列遍歷性基礎上，將混沌序列映射到多極點目標函數的搜索區間搜索全局最優解.研究混沌優化算法的一般步驟，設計和實現混沌優化算法，并將混沌優化算法應用于帶約束條件的最優化求解問題.仿真結果表明，混沌優化算法具有較好的全局搜索最優解能力，驗證了其在約束優化問題求解上的可行性和有效性.

混沌優化；約束條件；全局搜索；遍歷性

最優化問題求解是數學與計算技術中一種求極值的方法，為工程中實際問題的解決提供了理論基礎和方法支持[1].科學和工程實踐領域中的許多優化問題一般都可以歸結成為求解一個帶有約束條件的函數優化問題，但已有的許多約束優化問題求解算法是基于梯度的概念，一般只能保證求到局部最優解[2].混沌優化作為一種全局優化算法能夠較好地避免陷入局部極小值的問題，能夠在決策問題狀態空間中搜索到全局最優解，且與初始點選擇的關聯度弱，其基本思想是將混沌序列線性映射到優化變量區間，并利用混沌變量對目標函數全局極大值進行搜索[3].

一般地，科學研究和工程實踐中大多數的帶有約束條件問題的處理可轉化成為對一個帶有約束條件函數的優化.通常，一個約束優化問題可以描述如下[4]：

(1)

1　混沌遍歷特性

混沌是指確定性非線性系統中存在的一種貌似無規則、隨機的現象，具有遍歷性、隨機性和內在規律性，能在一定范圍內按其內在規律不重復地遍歷所有狀態[4].因此，在充分長的時間區間里，隨著時間的推移，混沌運動將遍歷狀態空間上的每一個點，如圖1所示.混沌的遍歷性是利用混沌序列進行全局最優解搜索的理論基礎，與隨機過程不同的是，混沌在看似無規則的運動過程中蘊含著自身的內在演化規律，是由確定性的內在物理規律引起的，是源于內在特性的外在表現，混沌的關聯維數曲線在一定范圍內趨于收斂，而隨機噪聲的關聯維數趨于發散，如圖2所示.本文以Logistic混沌時間序列為例驗證混沌的遍歷特性，并利用關聯維數分析Logistic混沌時間序列蘊含的內在規律，證明混沌時間序列與均勻分布的隨機過程本質上的不同，為混沌優化提供理論支持.

圖1　混沌分岔圖和時序圖

圖2　混沌與噪聲關聯維數曲線

2　混沌優化算法

本文采用Logistic混沌變量對目標函數進行全局最優化搜索，對連續對象的全局極小值優化問題[5，6]：

minf(xi)(s.t.xi∈[ai,bi],i=1,2,…n).

(2)

(3)

其中ci,di為常數.

第四步，經過第3步的若干次搜索f*保持不變，則按(4)式進行第二次載波.

(4)

第六步，如果滿足終止條件則終止搜索并輸出最優解，反之則返回第五步繼續搜索.

3　算法實現與仿真

針對多極點函數，利用混沌優化算法在整個解空間內搜索全局最優值，本文選擇(5)式的多極點函數作為目標函數，如圖3所示，設計與實現混沌優化算法并仿真計算其全局最優值.從圖3可以看出該函數在定義域范圍內有三個局部極值，但其只有一個全局最優解.對于多極點目標函數的最優求解問題，利用傳統優化算法求解時初始點的選擇對最優化結果有較大的影響，很容易陷入局部極值而無法得到全局最優解，而利用混沌優化可在整個解空間內遍歷各個點上的值并能搜索到全局最優解[9].

(5)

圖3　多極值目標函數

3.1目標函數與約束條件

在求解最優化問題時，對于maxf(x,y)可以轉換成minc-f(x,y),?c∈R，在算法實現時具體選擇maxf(x,y)還是minc-f(x,y)可根據目標函數的特點或計算要求而定[10].為了提高優化算法程序的通用性和可靠性，在Matlab中可將目標函數設計成一個獨立的代碼模塊并命名為myfun.m，實現(5)式目標函數的Matlab代碼如下：

function myfun = myfun(x1,x2)

myfun=1-3 *(1 - x1).^2 .*exp(-x1.^2-(x2+1).^2)-10*(x1./5+x1.^3-x2.^5).*exp(-x1.^2-x2.^2)-1/3*exp(-(x1+1).^2-x2.^2);

end

同樣，在Matlab中將目標函數的約束關系也設計成一個獨立的代碼模塊并命名為constraint.m，實現(5)式目標函數約束關系的Matlab代碼如下：

function constraint=constraint(x1,x2)

if x1>=-3 && x1<=3 && x2>=-3 && x2<=3

constraint=1;

else

constraint=0;

end

3.2算法實現

利用混沌優化算法處理約束優化求解問題是基于混沌在能夠充分長的時間內遍歷解空間中的各個狀態點，其思路是將混沌序列映射到約束條件空間來求解目標函數的最優解[11]，優化過程主要包括混沌變量產生和調制、利用混沌序列值求解目標函數、最優解判定、二次優化等步驟，算法實現的主要步驟如下：

①用0-1均勻分布的隨機序列初始化變量向量X，將其調制到定義域空間并賦給向量Temp_X；

②將Temp_X向量中的數值代入constraint函數中用以判定是否滿足約束條件，滿足約束條件則繼續執行，否則結束本次執行；

③在滿足約束條件的情況下，利用初始化的變量向量計算目標函數的結果Max_F，并將其作為最優結果的初始值；

④利用Logistic迭代產生Logistic混沌序列，將每次迭代得到的混沌序列值代入目標函數中計算其結果保存于變量Temp_F，并與Max_F進行比較，若Temp_F>Max_F，則將當前的混沌序列值賦給向量Max_X、Temp_F賦給Max_F；

⑤判定當前最優解是否滿足要求，滿足要求則結束，否則進行二次混沌優化；

⑥重新產生混沌序列用來初始化向量X，并在第一次混沌優化得到的搜索空間的基礎上進一步縮小搜索范圍尋找最優解，并判定所得到的最優解是否滿足要求，滿足要求就結束執行，否則重新進行下一輪的優化求解過程，直至得到滿足要求的最優解，算法實現的程序流程圖如圖4所示.

利用上述的算法流程，針對(5)式的多極值目標函數隨機進行了10次最優化仿真計算，得到的最優解和對應的目標函數值如表1所示.

圖4　算法實現流程圖

4　結語

混沌優化算法作為一種全局優化算法能夠遍歷目標函數解空間上的各個點，并較好地搜索出目標函數的全局極值，仿真計算表明，混沌優化算法在約束優化問題求解上具有可行性和有效性.

表1　仿真計算結果

[1]趙曉芬.求解約束優化問題的差分演化算法[D].西安:西安電子科技大學,2012.

[2]林丹,李敏強,寇紀凇.基于遺傳算法求解約束優化問題的一種算法[J].軟件學報,2001,12(4):628-629.

[3]張彤,王宏偉.變尺度混沌優化方法及其應用[J].控制與決策,1999,14(3):285-287

[4]張利彪,周春光,劉小華,等.求解約束優化問題的一種新的進化算法[J].吉林大學學報,2004,42(4):534-535.

[5]李兵,蔣慰孫.混沌優化方法及其應用[J].控制理論與應用,1997,14(4):613-615.

[6]胡行華.混沌優化算法的研究與應用[D].阜新:遼寧工程技術大學,2008.

[7]李祥飛.混沌優化理論在控制系統設計中的研究[D].長沙：中南大學，2003.

[8]許海平，朱奕，張彤，等.變尺度混沌優化方法在電站經濟運行中的應用[J].哈爾濱工業大學學報，2000，32(4)：55-58.

[9]張雙樂，李鵬，陳超，等.基于改進變尺度混沌優化算法的微網優化運行[J].電力自動化設備，2013，33(1)：71-73.

[10]王爽心，韓芳，朱衡君.基于改進變尺度混沌優化方法的經濟負荷分配[J].中國電機工程學報，2005，25(24)：90-95.

[11]劉麗軍，李捷，蔡金錠，等.基于強引導粒子群和混沌優化的電力系統無功優化[J].電力自動化設備，2010，30(4)：71-75.

責任編輯：趙秋宇

Realization of Solving Constrained Optimization Problems Based on Chaos Optimization Method

LIU Dao-wen

(SchoolofElectricalEngineering,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Based on the analysis of ergodicity of chaotic sequences, We can search global optimal solution that the chaotic sequence is mapped to the search rigion. Studying the general procedure of chaos optimization algorithm, designing and implementing chaos optimization algorithm, we apply the chaos optimization algorithm to the optimization problem with constrained condition. The simulation results prove the chaos optimization algorithm has better global search ability for solving constrained optimization problems and test its feasibility and effectiveness.

chaos optimization; constrained condition; global search; ergodicity

2015-07-20

河南省高校重點科研項目(16A520070);2015年度許昌市科技攻關項目(1502088)

劉道文(1980—)，男，河南羅山人，副教授，碩士，研究方向：混沌理論與應用．

1671-9824(2016)05-0030-05

O241.5

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