慣性導(dǎo)航位移參數(shù)在大地坐標(biāo)系中的嚴(yán)密計(jì)算方法

宋韜 梁海軍

【關(guān)鍵詞】GNSS/INS 組合導(dǎo)航 大地坐標(biāo)系統(tǒng) 參考橢球 導(dǎo)航位移參數(shù) 嚴(yán)密算法

1 引言

為指引航空器按照預(yù)定航線以正確的飛行姿態(tài)抵達(dá)目的地，需要采用導(dǎo)航系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行定位和航跡引導(dǎo)。而運(yùn)用于航空器領(lǐng)域的導(dǎo)航系統(tǒng)必須適應(yīng)遠(yuǎn)距離航行及高速移動(dòng)的特殊要求。

目前，民用航空領(lǐng)域多采用基于甚高頻全向信標(biāo)和測(cè)距儀（VOR/DME）的陸基導(dǎo)航設(shè)備進(jìn)行導(dǎo)航。陸基導(dǎo)航設(shè)備不能準(zhǔn)確測(cè)量目標(biāo)相對(duì)于導(dǎo)航臺(tái)的俯仰角，未將地球曲率對(duì)距離和航空器導(dǎo)航精度和空域資源的有效利用均受到陸基導(dǎo)航系統(tǒng)的限制。

具有全球性、高精度和全天候等特點(diǎn)的全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）和不依賴外界信息且受外界環(huán)境影響而降低精度，且在測(cè)量高速移動(dòng)的目標(biāo)時(shí)容易失鎖，從而影響導(dǎo)航的穩(wěn)定性和連貫性；而 INS 為一種以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)，不接收外界信息，不向外輻射能量且不依靠外部參考基準(zhǔn)的自主式導(dǎo)航系統(tǒng)。該導(dǎo)航系統(tǒng)通過(guò)各正交軸向的加速度傳感器進(jìn)行自主定位。INS 幾乎不受自身運(yùn)行狀態(tài)和外界環(huán)境的干擾，但缺少外部參考基準(zhǔn)的特點(diǎn)，使其定位航要求。

上述兩種導(dǎo)航系統(tǒng)在導(dǎo)航方式和適用范圍上互相補(bǔ)充。因此，可以綜合利用兩種導(dǎo)航系統(tǒng)，將其導(dǎo)航數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，構(gòu)成 GNSS/INS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)，從而使 GNSS 導(dǎo)航電文易受干擾、易失鎖及 INS 導(dǎo)航精度隨著時(shí)間的推移而降低的問(wèn)題得到解決。

對(duì)兩種導(dǎo)航系統(tǒng)基于不同坐標(biāo)基準(zhǔn)的導(dǎo)航參數(shù)進(jìn)行精確數(shù)據(jù)融合是實(shí)現(xiàn)組合導(dǎo)航的關(guān)鍵問(wèn)題之一。即將 INS 測(cè)得的在三個(gè)正交軸上的位移參數(shù)換算到 GNSS 所在大地坐標(biāo)系參考橢球的大地經(jīng)度、大地緯度和大地高上。從而使慣導(dǎo)系統(tǒng)的位移參數(shù)與大地坐標(biāo)建立聯(lián)系，為之后的濾波分析和位置解算提供準(zhǔn)確可靠的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

2 慣導(dǎo)位移參數(shù)在近似正球體中的概略計(jì)算

2.1 衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與慣導(dǎo)系統(tǒng)的測(cè)量基準(zhǔn)

由于地球重力場(chǎng)的不均勻分布，使大地水準(zhǔn)面所包圍的形體（大地體）呈現(xiàn)為兩級(jí)略扁的不規(guī)則球體，難以用數(shù)學(xué)公式嚴(yán)密表達(dá)。因此，在衛(wèi)星導(dǎo)航中通常采用幾何中心與地球質(zhì)心重合，以地球自轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)橢球近似代替大地體，稱(chēng)為參考橢球。而衛(wèi)星的導(dǎo)航定位是以基于參考橢球的大地坐標(biāo)系統(tǒng)為基準(zhǔn)的，即：大地經(jīng)度 L、大地緯度 B 和大地高 H（如圖 1 所示）。

而慣性導(dǎo)航系統(tǒng)根據(jù)慣性單元安裝部位和測(cè)量模式的不同，可分為平臺(tái)式與捷聯(lián)式兩種。

它們均利用三軸加速度計(jì)得到運(yùn)動(dòng)載體沿真北方向、鉛垂線方向及與兩者正交向東的第三個(gè)方向的瞬時(shí)加速度值，并利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律換算為三軸位移參數(shù)進(jìn)行累加計(jì)算定位。

2.2 基于近似正球體的位移參數(shù)概略計(jì)算

如上文所述，衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與慣導(dǎo)系統(tǒng)的測(cè)量基準(zhǔn)存在較大差別，而要想實(shí)現(xiàn)兩者的數(shù)據(jù)融合進(jìn)行組合導(dǎo)航，就需要統(tǒng)一坐標(biāo)基準(zhǔn)。目前，針對(duì) GNSS/INS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換，通常將參考橢球近似看作半徑恒定的正球體進(jìn)行計(jì)算。若已知初始定位點(diǎn)P0的大地坐標(biāo)為（L0，B0，H0），慣導(dǎo)系統(tǒng)所得三個(gè)正交方向的位移參數(shù)分別為?SN、?SH、?SE，則基于近似正球體的大地坐標(biāo)概略值計(jì)算式為：

在上式中，R′為參考橢球的近似球體半徑，介于赤道半徑與極半徑之間。

如圖 2，為參考橢球和近似正球體的四分之一子午圈示意圖。從圖中可知，同一點(diǎn)P0在參考橢球和近似正球體中的大地坐標(biāo)存在一定偏差。近似計(jì)算方法思路簡(jiǎn)便，算法復(fù)雜度低且易于程序?qū)崿F(xiàn)，但忽略了衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)參考橢球中赤道半徑（橢球長(zhǎng)半軸 a）與極半徑（橢球短半軸 b）之間存在約 21km 偏差的特點(diǎn)，故使得概略計(jì)算結(jié)果與真實(shí)情況存在差距。在對(duì)定位精度有較高要求，或在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)無(wú)法使用全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的定位結(jié)果進(jìn)行校正時(shí)，這種近似計(jì)算方法難以得出精確可信的結(jié)果。

3 基于大地坐標(biāo)系統(tǒng)的慣導(dǎo)位移參數(shù)嚴(yán)密算法

假設(shè)在參考橢球附近有一點(diǎn)P0為已知初始定位點(diǎn)，其大地坐標(biāo)為（L0，B0，H0）。在經(jīng)過(guò)時(shí)間?t后，到達(dá)P1點(diǎn)。根據(jù)慣導(dǎo)系統(tǒng)測(cè)得，由初始定位點(diǎn)P0到P1的過(guò)程中，沿真北方向、鉛垂線方向和與兩者正交向東的第三個(gè)方向的位移參數(shù)分別為：?SN、?SH、?SE，欲根據(jù)位移參數(shù)得到P1點(diǎn)相對(duì)于參考橢球的精確大地坐標(biāo)（L1，B1，H1）。

3.1 大地緯度方向位移量的計(jì)算

如圖 3 所示，為參考橢球子午面直角坐標(biāo)系示意圖。其中，子午面坐標(biāo)系xOy是以地球質(zhì)心O為原點(diǎn)，地球自轉(zhuǎn)軸為y軸，x軸位于初始定位點(diǎn)P0所在子午面的平面直角笛卡爾坐標(biāo)系。圖中橢圓代表經(jīng)過(guò)P0點(diǎn)的子午圈。

由已知條件，在子午面直角坐標(biāo)系中，從P0到P1，物體沿著與子午圈平行的路徑向真北方向的位移量為?SN（如圖 3），則未知點(diǎn)P1的大地緯度計(jì)算方法推導(dǎo)如下：

設(shè)初始定位點(diǎn)P0沿參考橢球法線方向與橢球面的交點(diǎn)為A0，它在子午面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x0，x0）。根據(jù)橢圓參數(shù)方程（如圖 3 所示），該點(diǎn)坐標(biāo)值表示如下：

（1）

上式中，a、b分別為參考橢球參數(shù)中的長(zhǎng)半軸與短半軸，θ0為角度參數(shù)，其幾何意義如圖 4 所示。

過(guò)點(diǎn)A0作子午圈的切線，該切線斜率K0和該點(diǎn)處法線斜率（點(diǎn)P0緯度正切值）tan B0計(jì)算分別如下所式所示：

通過(guò)（3）式即可得A0點(diǎn)大地緯度B0和對(duì)應(yīng)的子午圈橢圓參數(shù)方程中的角度參數(shù)θ0之間的關(guān)系：

根據(jù)（1）式與（4）式可得P0在參考橢球面的投影點(diǎn)A0在子午面平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)（x0，y0）。

從而根據(jù)過(guò)A0點(diǎn)的法線方程，計(jì)算得到法線在子午面平面直角坐標(biāo)系中的x軸截距x0′（如圖 3）：

因此，在參考橢球上，初始點(diǎn)P0沿法線方向到赤道面的距離DP0P0′為：

A0處的子午圈橢圓曲率半徑計(jì)算式如下：

為求得點(diǎn)P1的緯度概略值B10作為迭代計(jì)算的初始值，將子午圈橢圓近似看作半徑為RA0的正圓，則B10計(jì)算式如下：

此時(shí)，根據(jù)弧長(zhǎng)曲線積分，得此時(shí)沿真北方向的實(shí)際位移量為：

其中，θ10為P1點(diǎn)概略緯度所在位置對(duì)應(yīng)的橢圓參數(shù)方程角度參數(shù)。根據(jù)（3）式得θ10計(jì)算式如下：

根據(jù)定位精度要求，設(shè)定迭代閾值ε，作為實(shí)際位移量與實(shí)測(cè)位移量的容許偏差，若：

則重新計(jì)算未知點(diǎn)P1的緯度概略值：

迭代計(jì)算（8）到（10）式，直至|?SN0 -?SN| ≤ ε為止，即可得到滿足容許偏差要求的未知點(diǎn)P1的大地緯度精確值B1。

3.2 大地經(jīng)度與大地高方向位移量的計(jì)算

如圖 4 所示，與子午圈不同，參考橢球的卯酉圈（緯線圈）為正圓，因此可以利用圓的弧長(zhǎng)公式對(duì)大地經(jīng)度進(jìn)行計(jì)算。由上文可知，P0在參考橢球的投影點(diǎn)A0所對(duì)應(yīng)的卯酉圈半徑為A0橫坐標(biāo)x0，故大地經(jīng)度計(jì)算如下：

沿東西方向位移量?SE在參考橢球面上平行于卯酉圈方向的投影長(zhǎng)度?SE′為：

故未知點(diǎn)P1的大地經(jīng)度值L1計(jì)算式如下：

大地高為某點(diǎn)沿法線方向到參考橢球面的距離，該方向與慣導(dǎo)系統(tǒng)所依據(jù)的鉛垂線方向存在角度差異，即垂線偏差。垂線偏差的大小與地球重力場(chǎng)密切相關(guān)。由于垂線偏差一般僅有數(shù)秒，它所引起的物體在法線方向和鉛垂線方向的位移量偏差并非慣導(dǎo)系統(tǒng)在大地坐標(biāo)系中的主要誤差來(lái)源。若要將垂線偏差的影響考慮在內(nèi)，可通過(guò) EGM2008 地球重力場(chǎng)模型解算，得待測(cè)目標(biāo)所在位置的垂線偏差子午圈分量（南北分量）ξ和卯酉圈分量（東西分量）η。則待測(cè)點(diǎn)大地高的計(jì)算式為：

4 計(jì)算實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證上文所述位移參數(shù)在大地坐標(biāo)系中的嚴(yán)密算法，以全球定位系統(tǒng) GPS 所采

用的 WGS-84 大地坐標(biāo)系作為解算基準(zhǔn)（如表 1 所示），選取北半球中緯度地區(qū)某一范圍進(jìn)行

仿真計(jì)算實(shí)驗(yàn)。

設(shè)已知初始定位點(diǎn)P0大地坐標(biāo)（大地緯度、大地經(jīng)度和大地高）為：B0= 31°28′12.31′′ N；L0=104°00′00.00′′ E；H0=8900m。經(jīng)一定時(shí)間后，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)三軸累積位移量為：?SN=1014872.756m；?SE=500000.000m；?SH= 600.000m。

利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件 Auto CAD 依據(jù)該仿真計(jì)算的初試設(shè)定參數(shù)進(jìn)行建模，得到WGS-84 大地坐標(biāo)基準(zhǔn)下的位移參數(shù)真實(shí)值作為參考。并分別以半徑R=6367445m的近似球體和 WGS-84 橢球?yàn)榛鶞?zhǔn)，對(duì)三軸位移參數(shù)進(jìn)行大地坐標(biāo)換算。CAD 建模參考數(shù)據(jù)及兩種算法計(jì)算結(jié)果如表2所示。

從計(jì)算結(jié)果對(duì)比表中的相關(guān)數(shù)據(jù)可以看出，以 WGS-84 大地坐標(biāo)系為基準(zhǔn)的嚴(yán)密算法所得結(jié)果中的大地緯度與大地經(jīng)度同建模數(shù)據(jù)更為接近，偏差均在1′′以內(nèi)，換算為橢球面距離偏差約為 3.6m；而以半徑恒定的正球體為基準(zhǔn)進(jìn)行近似計(jì)算，所得大地緯度與大地經(jīng)度同建模數(shù)據(jù)偏差的絕對(duì)值均超過(guò)50′′，換算為橢球面距離偏差約為 2238.2m。由于嚴(yán)密算法與近似算法的大地高計(jì)算方法相同，垂線偏差對(duì)大地高的影響十分微小，因此三者的大地高計(jì)算結(jié)果一致。該計(jì)算實(shí)驗(yàn)表明，相較于近似算法，嚴(yán)密計(jì)算方法明顯與建模數(shù)據(jù)更為接近，計(jì)算偏差值更小。

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)參考橢球和大地坐標(biāo)的分析，并對(duì)基于大地坐標(biāo)系的慣性導(dǎo)航位移參數(shù)轉(zhuǎn)換算法

進(jìn)行嚴(yán)密推導(dǎo)，可得結(jié)論如下：

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）與慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（INS）在諸多層面互為補(bǔ)充，能夠滿足高精度航空導(dǎo)航的要求；GNSS 以極半徑和赤道半徑存在差值的參考橢球作為大地坐標(biāo)測(cè)量基準(zhǔn)。若以正球體代替參考橢球?qū)?INS 位移參數(shù)進(jìn)行換算，則計(jì)算結(jié)果與真實(shí)情況存在偏差，難以滿足較高的導(dǎo)航精度要求；通過(guò)基于大地坐標(biāo)系參考橢球的嚴(yán)密算法，可以實(shí)現(xiàn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（INS）在三個(gè)正交方向位移參數(shù)基于全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）大地坐標(biāo)增量的嚴(yán)密計(jì)算，從而增強(qiáng)了 GNSS/INS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可靠性和導(dǎo)航數(shù)據(jù)的精確性。

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