追本溯源，突破難點
——二輪復習中的“一法”解“嵌套函數的零點問題”

安徽 張 威 喬天恩

高三二輪復習是承上啟下的階段，是促進知識系統化、條理化及靈活運用的關鍵時期，更是促進學生能力發展的關鍵時期.二輪復習主要是對各個專題知識進行系統整理，形成知識網絡，完善認知結構，使學生掌握各個專題的主要應用題型，歸納總結解題規律與方法，查漏補缺，解決在各個專題中學生存在的疑難問題，運用所學知識對主要題型舉一反三、延伸拓展，提高學生分析問題與解決問題的能力.教師需要選擇合適的切入點，引導學生從“題?！敝薪饷?針對這種教學要求，教師可以采用“一題多解”與“多題一解”的教學方式，幫助學生逐步地提升思維能力,掌握解題技能.下面筆者通過“多題一解”的教學方式，來突破 “求函數f(g(x))或函數af2(x)+bf(x)+c的零點問題”這個難點.暫稱這類函數為 “嵌套函數”. “嵌套函數”的零點問題是很多學生都難以跨越的“一道鴻溝”.那么該如何跨越這道“鴻溝”呢？具體如下.

一、典例分析——突破重難點

1.【命題維度分析】

【考點】本題考查分段函數、二次函數的圖象和性質、函數的零點等知識.

【核心素養】本題考查邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象核心素養.

【數學能力】本題考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力.

2.【解題維度分析】

【思想方法】本題考查函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想.

【解題分析】本題已知函數解析式和函數零點個數，求解參數a的取值范圍.求解函數零點的問題，有以下求解函數零點問題的幾種基本原理：第一，通過直接解關于x的方程f(g(x))=0進行求解；第二，通過畫出函數f(g(x))的圖象，并判斷該函數的圖象與x軸的交點個數進行求解；第三，將方程f(g(x))=0構造成h(x)=u(x)形式，即轉化為函數h(x),u(x)的圖象交點個數進行求解；第四，利用零點存在性定理進行求解.而本題很難直接采用上述幾種原理進行求解，原因是函數f(g(x))是一個“嵌套函數”，其解析式求解起來比較繁瑣，同時該函數的圖象不易得到.那么該如何解決這個“嵌套函數”呢？可以進行換元，令t=g(x)，設f(t)=0的實根為ti(i=1,2,…)，則“f(g(x))=0的實根個數”等價于“直線y=ti與函數g(x)的圖象的交點個數”或“關于x的方程ti=g(x)的實根個數”.可以發現通過轉化與化歸后，原題就回歸到熟知的函數零點問題的類型了.具體過程如下.

【解析】令t=g(x),則f(g(x))=0，即轉化為f(t)=0,

先求f(t)=0,再解方程t=g(x)，得到的x即為函數f(g(x))的零點.

(Ⅰ)當t<0時，令ln(-t)=0，得t=-1，

①當a>1即-1>1-2a時，t=g(x)有2個實根；

②當a=1時，t=g(x)有1個實根；

③當a<1時，t=g(x)有0個實根；

此時t=g(x)有2個實根，結合①，可知y=f(g(x))有4個零點；

(2)當a=1時，t=0或2，則t=g(x)有4個實根，結合②，可知y=f(g(x))有5個零點，與題意不符；

【例2】已知函數f(x)=x2ex，若函數g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有4個零點，則實數k的取值范圍是

( )

1.【命題維度分析】略

2.【解題維度分析】

【思想方法】略

【解題分析】本題看起來和例1是屬于兩種不同類型的函數零點問題，其實兩個題如出一轍.只需要對原題進行稍許改變，即可轉化為例1的形式.如下,

令h(x)=x2-kx+1，則函數g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有4個零點，即轉化為函數h(f(x))恰有4個零點.此時即可利用例1的解題原理進行求解.具體過程如下,

令t=f(x)，因為關于t的方程t2-kt+1=0至多有2個實根,

①當Δ<0時，g(x)顯然無零點，此時不滿足條件；

②當Δ=0時，t2-kt+1=0有且只有一個實根,

由f(x)的圖象可得t=f(x)至多有3個實根，所以g(x)至多有3個零點，故不滿足條件；

③當Δ>0時，即k2-4>0，則k<-2或k>2，

此時t2-kt+1=0有兩不等根t1,t2，設t1

且t1+t2=k,t1·t2=1，若g(x)有4個零點，

二、題后反思——總結解題原理和易錯點

1.解題原理：通過對上述的兩個例題的分析，可以發現無論是解決形如f(g(x))的函數零點問題，還是形如af2(x)+bf(x)+c的函數零點問題，其解題原理基本一致，都是通過換元思想和整體代換思想進行求解，具體解題步驟，可以歸納如下.

①換元，令t=g(x)(t=f(x))；

②求解函數f(t)(g(t))的零點或零點個數；

③求解方程t=g(x)(t=f(x))的實根或實根個數或通過已知零點個數判斷參數的取值范圍.

這種方法的實質是將函數f(g(x))或af2(x)+bf(x)+c的函數零點問題拆分成②③兩個問題進行求解.

2.易錯點：①沒有理解函數f(x)與f(t)是同一個函數；②函數f(x)的圖象畫錯；③誤將t的個數當作f(g(x))或af2(x)+bf(x)+c的函數零點個數；④數形結合時，考慮不完善.

三、精彩變式——鞏固解題原理

變式教學是對有關數學概念、定理、通性通法等進行不同角度、不同層次、不同背景的變化，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”中探求規律，從而達到對知識、方法等熟練掌握和靈活運用.

變式教學是為了將本源知識進行進一步鞏固和延伸拓展.針對例1，例2，筆者設置了如下兩個變式題，對此種類型的題目的解題原理進一步鞏固，從而突破這個在高考中的難點問題.具體如下.

【變式1】已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x<0時，f(x)=a(x2+2x-3)，其中a>0，若函數y=f(f(x))恰有7個零點，則a的取值范圍是

( )

【答案】D

【解析】此題與例1相比嵌套的函數不同，同時函數f(x)的解析式需要通過奇函數的性質求解，當f(x)的解析式求解出來時，下面的解法與例1基本一致.具體解法如下.

①換元：令t=f(x)；

②求解f(t)的零點：可得t=-3或t=0或t=3；

【變式2】已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1,x2，若f(x1)=x1,且x1

( )

A.3 B.4

C.5 D.6

【答案】A

【解析】此題與例2相比嵌套的函數是一個三次函數，同時關聯了該函數的極值點問題，由已知可得x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，由f(x1)=x1,且x1

①換元：令t=f(x)；

②求解f(t)的零點個數：可得t=x1或t=x2；

③求解方程t=f(x)的實根或實根個數：即f(x)=x1和f(x)=x2，因為f(x1)=x1