關于偏微分方程相似解求法的探討

趙迎春，長龍，布仁滿都拉

（1．內蒙古赤峰學院數學與統計學院，赤峰　024000；2．內蒙古財經大學統計與數學學院，呼和浩特　010070）

關于偏微分方程相似解求法的探討

趙迎春1，長龍2，布仁滿都拉1

（1．內蒙古赤峰學院數學與統計學院，赤峰024000；2．內蒙古財經大學統計與數學學院，呼和浩特010070）

相似解是偏微分方程用適當的變量組合表示的解。通過實例介紹伸縮變換、量綱分析法和特征線方法等求相似解的方法。

相似解；伸縮變換；量綱分析；特征線

0　引言

相似解是指偏微分方程解對自變量的依賴通過自變量的某個特定組合來體現。首先，通過引入適當的變量組合（稱為相似變換），使偏微分方程簡化為常微分方程。其次，通過求常微分方程的解，給出偏微分方程用自變量組合表示的精確解，稱此解為偏微分方程的相似解.本文通過實例介紹伸縮變換、特征線和量綱分析法等求相似解的方法。

1　伸縮變換

考慮變系數偏微分方程：

作伸縮變換［1-2］：

它描述各變量的縮小或伸長；參數ε（＞0）對（2）的所有關系式是相同的，其中β，γ，δ可任取。將變換（1）代入方程（2），且當：

時可得如下等式：

其中δ為任意的。

注如果伸縮變換（2）滿足條件（3），則對方程（1）作伸縮變換后，偏微分方程（1）的形式就不變。

選取如下滿足（3）的一組數

對應的變換為：

由：

知：

是不變量。可以假設這兩個變量之間是有關系的，即：

對偏微分方程（1）作相似變換，即將（8）代入（1），可得常微分方程：

在δ=-3的特殊情形，（9）存在一個如下特解：

將（10）代入（8），可得偏微分方程（1）的一個相似解：

2　量綱分析法

定理（π定理）［3-4］如果某一現象中出現的（n+1）個物理量a，a1，…，an由關系式a=f（a1，…，an），聯系起來；又若a1，…，ar是物理量a，a1，…，an中r個最大的量綱無關物理量，則a及其余的ar+1，…，an等n-r+1個物理量的關系式可化成下列只聯系n-r+1個無量綱量π，π1，…，πn-r的無量綱形式。

下面的例子利用上述π定理給出具體問題的相似解。

例假設有一個無窮長平板，平板上面的整個空間充滿了粘性不可壓縮流體。假設平板從某一時刻起以常速u0運動。建立y軸垂直于平板，x軸平行于平板，坐標原點在平板上的直角坐標系Oxy。以u（y，t）表示t時y處流體的速度，ν表示運動學粘性系數，則u（y，t）滿足：

令：

則（12）變為：

主定物理量：t*，y*，u0；被定物理量：u*；主定物理量中最大量綱無關組：t*，u0。根據π定理，有：

由變換（13）和（16）可得：

將（17）代入問題（12），得：

解常微分方程（18）-（19），得：

將（20）代入（17），得：

3　特征線法

下面我們通過實例介紹用特征線方法［5］求相似解的方法。

設x=x（t）是平面（x，t）上的曲線C，則u（x，t）沿曲線C的全導數等于：

由（22）知，當t=0時，x=ξ，u=f（ξ）；因此，g（ξ）=f（ξ）。所以：

其中xe-t是相似變量。

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［2］豆福全，孫建安，呂克璞，等.Gardner方程的自相似解［J］.西北師范大學學報（自然科學版），2004，40（1）：35-37.

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［4］董曾南，章梓雄.非粘性流體力學［M］.北京：清華大學出版社，2003.

［5］魏雪蕊.一階偏微分方程的特征線法［J］.紹興文理學院學報，2010，30（7）：95-97

Discussion on the Method of Finding a Similar Solution for Partial Differential Equations

ZHAO Ying-chun1，CHAG Long2，Burenmandula1

（1．School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng 024000；2．School of Mathematics and Statistics，Inner Mongolia University of Finance and Economics，Hohhot 010071）

The similar solution of partial differential equation is expressed by combinations of variables.Introduces the methods of stretching transform，dimensional analysis and characteristic curve for finding similar solution.

Similar Solution；Stretching Transform；Dimensional Analysis；Characteristic Curve

1007-1423（2016）26-0026-03DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2016.26.006

趙迎春（1983-），女，內蒙古赤峰人，研究生理學學位，研究方向為微分算子譜理論

2016-05-20

2016-08-25