關于對換改變排列反序數的奇偶性的一種推理方法

常加強

（咸陽師范學院計算機學院，咸陽　712000）

關于對換改變排列反序數的奇偶性的一種推理方法

常加強

（咸陽師范學院計算機學院，咸陽712000）

對《高等代數》中行列式排列理論的補充，從另一個角度證明和推理對換改變排列反序數的奇偶性，得出原排列反序數與對換后新排列反序數之間的關系及公式，使對換改變排列反序數的奇偶性更加清晰。

排列；對換；反序數；奇偶性

0　引言

對于《對換改變排列反序數的奇偶性》這一問題的研究，其理論體系幾乎完閉和嚴密，所以目前對于該問題的研究相對較少。張禾瑞［1］等從另一方面對該問題做了理論上的證明與推理，得出原排列反序數與對換后新排列反序數之間的關系及公式，該理論簡單、易懂，初學者能夠更加直觀地看到對換確實改變了排列反序數的奇偶性。本文另辟蹊徑，再次證明了《對換改變排列反序數的奇偶性》這一問題。

1　奇偶性的推理

已有的資料顯示［2-5］，對于排列問題每一個對換都可以改變排列的奇偶性。即，一個排列m1，m2，…，mn經過（mk1，mk2）對換，則改變此排列反序數的奇偶性，如果知道原排列的反序數，如何利用簡便算法，求得經過對換后得到新排列的反序數呢？或者說能不能給出原排列的反序數與新排列的反序數之間一個關系式？使大家更加明白，每一個對換都改變排列的奇偶性。

證明：

設式（1）為原排列，式（2）為經對換后的新排列，式（3）新排列的反序數

（1）當i＞j時

在k個數碼中有mq個數碼大于，則有k-mq個數碼小于j，由于a個數碼，n個數碼及k個數碼的位置次序沒有變，則由它們構成的部分排列的反序數沒有變。對排列

來說，j的反序數mj=mq+1。經過對換（i，j）得到新的排列為：

則，j的反序數為mj=0，但j和其他數碼構成的反序數為k-mq，那么，從數碼j的角度來看，經過對換（i，j），排列（4）變為排列（5），其反序數增加了

設k個數碼中小于i的數碼為m1個，對于排列（4）來講，i和其他數碼構成反序數為m1，（j除外，因為i與j構成反序已經計算過了），則在排列（5）中，i的反序數為m2=k-m1，從i的角度來講，反序數增加了

則排列（4）經過對換（i，j）得到新的排列（5），其反序數增加了

對于排列（1）來講，由于i和j的對換不影響i和j分別和a+n個數碼構成排列的反序數，顯然就有排列（1）經過（i，j）對換得到新排列（2），其反序數增加為：

（2）當i＜j時，同理可證。

［1］張禾瑞，郝鈵新.高等代數［M］.北京：高教出版社.

［2］王萼芳.高等代數［M］.北京：清華大學出版社.

［3］郭龍先，張毅敏，何建瓊.高等代數［M］.北京：科學出版社.

［4］高孝忠.高等代數［M］.北京：清華大學出版社.

［5］黃益生.高等代數［M］.北京：清華大學出版社.

［6］秦松喜.高等代數新編［M］.廈門：廈門大學出版社.

排列（1）經過（i，j）對換得到新排列（2），其反序數增加為m+2（mp-mq）+1。

故此定理證畢。

舉例：將排列4513627經過對換（1，2）得到新的排列4523617

排列（1）的反序數m1=2+4+2+0+0+0+0=8

排列（2）的反序數m2=5+2+2+0+0+0+0=9

現用上面證明的公式：

由于1＜2其中mp=mq=2

則有m1+2（mp-mq）+1=9，m2=9

即兩個計算的結果相同。

2　結語

本文從另一個角度證明和推理了對換改變排列反序數的奇偶性，得出原排列反序數與對換后新排列反序數之間的關系及公式，使對換改變排列反序數的奇偶性更加清晰。

A Novel Reasoning Method about the Parity of Ordinal Numbers

CHANG Jia-qiang
（School of Computer Science，XianYang Normal University，Xianyang 712000）

This is a supplement of determinant permutations.It proves the parity of arrangement and inverse order via swapping.Thus，the relationship is deduced between inverse order of original arrangement and swapped arrangement，so as the property of swapped arrangement is easy to understand.

Arrangement；Swapping；Inverse Order；Parity

1007-1423（2016）26-0036-02DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2016.26.009

常加強（1963-），男，陜西咸陽人，本科，講師，研究方向為信息與計算科學

2016-07-07

2016-09-07

計算機科學與技術專業嵌入式方向“團隊式”人才培養模式創新實驗區（No.26）