廣義非線性擴散方程的條件 Lie-B?cklund對稱和不變子空間

夏亞榮

(1.西北大學 數學學院, 陜西 西安　710127; 2.西安文理學院 信息工程學院, 陜西 西安　710065)

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廣義非線性擴散方程的條件 Lie-B?cklund對稱和不變子空間

夏亞榮1,2

(1.西北大學 數學學院, 陜西 西安710127; 2.西安文理學院 信息工程學院, 陜西 西安710065)

運用不變子空間方法和條件 Lie-B?cklund 對稱研究廣義非線性擴散方程，得到了方程允許的不變子空間, 等價于方程的高階條件Lie-B?cklund對稱。最后通過例子構造出一些廣義非線性反應擴散方程的廣義泛函分離變量解。

非線性擴散方程; 不變子空間; 條件 Lie-B?cklund 對稱; 廣義泛函分離變量解

O175.14

ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-01-003

非線性現象廣泛地呈現在物理、生物、化學等領域。近年來, 對于描述非線性現象的非線性偏微分方程的求解已成為廣大科學工作者的重要研究課題之一。對稱群理論在構造非線性偏微分方程的精確解中發揮了重要的作用, 最早由Lie提出, 即Lie點對稱方法；Bluman和Cole推廣了Lie點對稱方法, 提出了非經典對稱方法(即條件對稱方法)；Fokas和Liu推廣了條件對稱方法, 提出了條件 Lie-B?cklund 對稱方法[1]；Ji在文獻[2]中首次提出利用變換v=f(u)將非線性條件 Lie-B?cklund 對稱線性化, 再利用與條件Lie-B?cklund 對稱方法相關的不變子空間方法[3]構造廣義泛函分離變量解。

本文主要利用此方法研究了一類在物理中有重要意義的廣義非線性反應擴散方程

ut=[D(u)ux]x+g(x)Q(u)。

(1)

其中D(u),Q(u)分別稱為對流項和源項。

1　條件 Lie-B?cklund 對稱和不變子空間理論

令

(2)

是具有特征 η=P[u] 的演化向量場,且

ut=F(x,t,u,u1,u2,…，un)

(3)

為一非線性演化方程,其中

定義1演化向量場 (2) 是方程 (1) 的Lie-B?cklund對稱當且僅當

V(ut-F[u])|L=0。

(4)

定義2演化向量場(2)是方程(1)的條件Lie-B?cklund對稱當且僅當

V(ut-F[u])|L∩M=0。

(5)

命題1[1,4]方程 (1) 允許條件Lie-B?cklund對稱 (2) 的充分條件是存在一個函數 H(t,x,u,η), 使得

H(t,x,u,0)=0。

(6)

若 η 不顯含 t, 由命題1知,方程(1)允許特征為η的條件Lie-B?cklund對稱當且僅當

Dtη=0。

(7)

設有限維線性空間

Wk=L{(f1(x),f2(x),…，fk(x)}=

(8)

在給定算子 F 下不變,當且僅當 F[Wk]?Wk, 線性空間 Wk稱為非線性微分算子F的不變子空間,即

如果線性子空間 Wk在給定算子 F 作用下不變,那么方程(3)有廣義變量分離解

假設不變子空間 Wk是 n 階線性常微分方程

L[y]=y(n)+an-1(x)y(n-1)+…

a1(x)y′+a0(x)y=0

(9)

的解空間,則微分算子F允許不變子空間 Wk的不變條件是

DnF+an-1(x)D(n-1)F+…+a1(x)DF+

a0(x)F|[H]=0。

(10)

η=[f(u)]lx+a1(x)[f(u)](l-1)x+…+

al(x)f(u)

(11)

定理1[1,5]若線性空間 (8) 在具有階數為j的算子作用下是不變的,則l≤2j+1。

2　主要結果

現在考慮方程(1)的條件Lie-B?cklund對稱 (11), 研究方程(1)的條件Lie-B?cklund對稱(11)等價于研究方程

(12)

的條件Lie-B?cklund對稱

σ=vlx+a1(x)v(l-1)x+…+al(x)v。

(13)

其中

且′表示對隱含變量的導數,u=f-1(v) 為v=f(u) 的反函數。

當l=2時,由命題1知方程(12) 允許條件Lie-B?cklund對稱的充分條件是

其中′表示對隱含變量的導數,取上述關于vx的多項式的系數為零,可得方程 (12) 及其相應的條件Lie-B?cklund對稱(13)中的未知函數滿足下面的決定方程組:

B″=0,-a1(A″+4B′)=0,

gF′a2v=0。

求解上面的常微分方程組,可以對允許二階條件Lie-B?cklund對稱(13)的方程(12)進行分類。

表1和表2 中的未知函數如下:

當l=2時，方程(12) 的條件Lie-B?cklund對稱 (13) 和不變子空間Wl。

表1當n=2時方程(12)的分類及其允許的Lie-B?cklund對稱與不變子空間

Tab.1Whenn=2 the classification of equation (12) the conditional Lie-B?cklund symmerty and the invariant subspace which admits

序號方程條件Lie-B?cklund對稱不變子空間1vt=A(v)vxx+(b1v+b2)v2x+g1(f1v+f2)η=vxxW{1,x}2vt=-2b1v2vxx+(b1v+b2)v2xη=vxx+1-x+c3vxW{1,(x-c3)2}3vt=-2b1v2vxx+(b1v+b2)v2x+c8c5+c6v-b23b1()3+c7v-b23b1()[]η=vxx+k4tanh(k5x+k6)vxW{1,f(1)1(x)}4vt=-2b1v2vxx+(b1v+b2)v2x+c9(c10x2+c11x+c12)η=vxx+2c102c10x+c11vxW{1,x2}5vt=(-2b1v2+c1v)vxx+(b1v+b2)v2xη=vxx+1-x+c13W{1,(x-c13)2}6vt=(-2b1v2+c1v)vxx+(b1v+b2)v2x+c14[c15+c16v-c1+b23b1()3+c17v-c1+b23b1()η=vxx+k7tanh(k8x+k9)vxW{1,f(1)2(x)}7vt=(-2b1v2+c1v)vxx+(b1v+b2)v2x+c18(c19x2+c20x+c21)η=vxx+2c192c19x+c20vxW1,x+c202c19()2{}8vt=(-2b1v2+c2)vxx+(b1v+b2)v2xη=vxx+1-x+c21W{1,(x-c21)2}9vt=(-2b1v2+c2)vxx+(b1v+b2)v2x+c22(c23x2+c24x+c25)η=vxx+2c232c23x+c24vxW1,x+c242c23()2{}

類似的,可以分別對允許三階、四階及五階的條件Lie-B?cklund對稱(13) 的方程 (12) 進行分類, 結果如下。 文中的bi,ci,ki,pi均表示任意常數。

3　方程 (10) 的泛函廣義分離變量解

變化v=f(u)不僅將方程(12)允許的條件Lie-B?cklund對稱 (13) 變換為方程(1)所允許的條件Lie-B?cklund對稱 (11), 還將方程(12)定義在不變子空間(8)上的廣義分離變量解

v(x,t)=c1(t)f1(x)+c2(t)f2(x)+…+

ck(t)fk(x)

(14)

變換為方程 (1) 的泛函廣義分離變量解

f(u)=c1(t)f1(x)+c2(t)f2(x)+…+

ck(t)fk(x)。

(15)

這兩個解中的未知函數 ci(t) 滿足有限維的動力系統, 該系統是將式(14)代入(12)后取fi(x)左右兩邊的系數相等而得。下面通過例子解釋這個過程。

表2當n≥3時方程(12)的分類及其允許的Lie-B?cklund對稱與不變子空間

Tab.2Whenn≥3 the classification of equation (12) the conditional Lie-B?cklund symmerty and the invariant subspace which admits

序號方程條件Lie-B?cklund對稱不變子空間1vt=v2vxx+(p1v+p2)v2x+p3(k1v2+k2v+k3)η=vxxx+svxx-svxW{1,f(2)1(x),f(2)2(x)}2vt=(p1v3+p2v2+p3v+p4)vxx+p4v2v2x+p5(k1v2+k2v+k3)η=vxxx+svxx-svxW{1,f(2)1(x),f(2)2(x)}3vt=(p1v3+p2v2+p3v+p4)vxx+(p4v2+p1v+p2)v2x+p6(k1v2+k2v+k3)η=vxxx+svxx-svxW{1,f(2)1(x),f(2)2(x)}

例1方程

(16)

允許的二階條件Lie-B?cklund對稱是

η=vxx。

(17)

方程 (16) 建立在不變子空間 W{1,x} 上的廣義分離變量解是

v(x,t)=c1(t)+c2(t)x。

其中c1(t),c2(t)滿足下面的二維動力系統

由變換 v=f(u)=b3sinu+b4cosu 得到方程

ut=[D(u)ux]x+Q(u)

有廣義泛函分離變量解

其中

Q(u)=(c1(t)+c2(t)x)(b3cosu-b4sinu)，

c1(t),c2(t)滿足上面的二維動力系統。

例2方程

允許的二階條件Lie-B?cklund對稱是

此方程在不變子空間 W{1,x2} 上有廣義變量分離解

v(x,t)=c1(t)+c2(t)x2。

其中c1(t),c2(t)滿足下面的二維動力系統

由變換

得方程

ut=[D(u)ux]x+g(x)Q(u)

有廣義泛函分離變量解

其中

D(u)=2(c1(t)+c2(t)x2)2,

c1(t),c2(t)滿足上面的二維動力系統。

4　結　語

本文用條件Lie-B?cklund對稱方法對一類在物理學中有重要應用的廣義非線性反應擴散方程進行了分類, 研究方程(1)的非線性條件Lie-B?cklund對稱(11)等價于研究該方程由變換v=f(u)而得的新方程(12)的線性條件Lie-B?cklund對稱(13)。由σ=0和相應方程的相容性構造了分類方程定義在由σ=0定義的不變子空間上的廣義分離變量解。這些結果可由變換v=f(u)轉換為非線性擴散方程允許的非線性條件Lie-B?cklund對稱η及其泛函廣義分離變量解。 同時, 這些解可以用來刻畫方程的爆破熄滅等奇性以及長時間行為等性態。

[1]FOKAS A S, LIU Q M. Nonlinear interaction of traveling waves of nonintegrable equations [J]. Physical Review Letters, 1994, 72(21): 3293-3296.

[2]JI L N. Condition Lie-B?cklund symmetries and functionally generalized separable solutions to the generalized porous medium equations with source [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, 389(2): 979-988.

[3]GALAKTIONOV V A, SVIRSHCHEVSKII S R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics[M].London: Chapman and Hall/CRC, 2007.

[4]ZHDANOV R Z. Conditional Lie-B?cklund symmetry and reductions of evolution equations [J]. Journal of Physics. A. Mathematical and theoretical, 1995, 28(13): 3841-3850.

[5]SVIRSHCHEVSKII S R. Lie-B?cklund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations [J]. Physics letters A, 1995, 199(56): 344-348.

[6]QU C Z, JI L N, WANG L Z. Conditional Lie-B?cklund symmetries and sign-invariants to quasi-linear diffusion equations [J]. Studies in Applied Mathematics, 2007, 119(4): 355-391.

[7]JI L N, QU C Z. Conditional Lie-B?cklund symmetry and invariant subspace to nonlinear diffusion equation [J]. IMA Journal of Applied Mathematic, 2011, 76(4): 610-632.

[8]萬暉, 帶源項的變系數非線性反應擴散方程的精確解[J]. 物理學報, 2013, 62(9): 1-9.

[9]CHERNIHA R, PLIUKHIN O. New conditional symmetries and exact solutions of nonlinear reaction-diffusion-convection equations[J]. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2007, 40(33):1049-1070.

(編輯亢小玉)

Invariant subspace and conditional Lie-B?cklund symmetries of the generalized nonlinear diffusion equation

XIA Ya-rong1,2

(1.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China; 2.School of Information and Engineering, Xi′an University, Xi′an 710065， China)

In this paper, invariant subspace approach and conditional Lie-B?cklund symmetries are used to research the generalized nonlinear diffusion equations. It is shown that the equation admits a class of invariant subspaces, which is equivalent to a kind of higher-order conditional Lie-B?cklund symmetries of the equation. Finally, two examples are given and the generalized functional separable solutions to the equation are constructed.

nonlinear diffusion equation; invariant subspace; conditional Lie-B?cklund symmetries; generalized functional separable solution

2015-06-10

國家自然科學基金資助項目(11371293)；陜西省自然科學基礎研究計劃基金資助項目(2014JM2-1009)；西安市科技計劃“文理專項”基金資助項目(CYX1531WL41)

夏亞榮，女，陜西西安人，博士生,從事偏微分方程研究。