變化多端的全等三角形

萬廣磊

變化多端的全等三角形

萬廣磊

全等三角形的魅力在于運動.中考數學試題一般以平移、軸對稱（翻折）和旋轉為圖形變換方式，綜合考查全等三角形的判定與性質.下面以2016年的中考數學題為例進行剖析.

一、平移

例1（2016·湖北武漢）如圖1，點B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求證：AB∥DE.

圖1

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據已知條件結合圖形選擇合適的方法.要證AB∥DE，需證∠ABC=∠DEF，因此考慮證明它們所在的兩個三角形全等.已知有兩組邊分別相等，再證明另一組邊分別相等，利用“SSS”證明即可.具體步驟：

證明：∵BE=CF，∴BC=EF；

在△ABC和△DEF中，

∵BC=EF，AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE.

【點評】縱觀本題，圖中的△DEF與△ABC是通過平移得到的，平移不改變圖形的形狀和大小，平移前后對應線段相等且平行（或在同一直線上）.在有兩組對應邊分別相等的前提下，可以求第三組對應邊相等，或者求兩組對應邊的夾角相等，注意必須是夾角；若有三組對應邊分別相等，則可以直接根據“SSS”求解.已知兩邊和其中一邊的對角分別相等，不能判定三角形全等，即不存在“SSA”判定三角形全等的方法.如圖2所示，AB=DE，∠B=∠DEF，AC=DF，但是△ABC與△DEF不全等.

圖2

圖3

二、軸對稱（翻折）

例2（2016·江西）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將Rt△ABC向下翻折，使點A與點C重合，折痕為DE，求證：DE∥BC.

【分析】本題考查了三角形的折疊和平行線的判定，解題的關鍵是運用軸對稱圖形的性質.要證明DE∥BC，必須考慮到∠AED=∠ACB= 90°，而如何得到∠AED=90°，就聯想到ED平分一個平角，這可以由折疊得到.

證明：由折疊可知：△ADE≌△CDE，

∴∠AED=∠CED，

又∵點A與點C重合，∴∠AEC為平角，

∴∠AED=∠CED=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC.

【點評】圖中的△ADE與△CDE是通過折疊得到的，折疊屬于軸對稱變換，根據軸對稱圖形的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，進而可以找出位置變化前后相應的角相等，線段相等，進而轉化為全等判定的條件.

三、旋轉

例3（2016·湖北荊門）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別在AB、AC上，CE= BC，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CF，連接EF.

（1）補充完成圖形；

（2）若EF∥CD，求證：∠BDC=90°.

圖4

圖5

【分析】本題是一道作圖與證明的綜合題，其中涉及直角三角形、圖形的旋轉、全等三角形的判定、平行線的性質等，在解第（2）問時，關鍵是得到△BCD≌△ECF，結合條件推出∠F=90°，通過全等三角形對應角相等，得到∠CFE=∠BDC=90°.具體步驟：

解：（1）解：所補圖形，如圖5所示；

（2）證明：∵∠BCA=∠DCF=90°，

∴∠BCA－∠DCA=∠DCF－∠DCA，

即∠BCD=∠ECF.又CB=CE，CD=CF，

∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠BDC=∠CFE，

∵CD∥EF，∴∠DCF+∠CFE=180°，

∵∠DCF=90°，∴∠BDC=∠CFE=90°.

【點評】圖中的△CEF是通過旋轉△CBD得到的，旋轉不改變圖形形狀和大小，旋轉角相等，由此可以得到相應的角相等，為全等三角形的判定和角度的計算提供了條件.

四、旋轉與平移的組合

例4（2016·河北）如圖6，點B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測量），點A、D在l異側，測得AB=DE，AC=DF，BF=EC.

（1）求證：△ABC≌△DEF；

（2）指出圖中所有平行的線段，并說明理由.

圖6

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是尋找全等三角形判定的條件.第（1）問中，已知兩邊分別相等，再根據BF=EC得BC=EF，可根據“SSS”證得△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，再根據“內錯角相等兩直線平行”可證得AB∥DE，AC∥DF.具體步驟：

解：（1）證明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+CF，

即BC=EF；又∵AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF.

（2）有AB∥DE，AC∥DF.

理由：∵△ABC≌△DEF，

∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE.

∴AB∥DE，AC∥DF.

【點評】圖中的△DEF與△ABC是通過旋轉再平移得到的，其中的對應邊和對應角并不會因為位置的變化而改變，這也為全等三角形和平行線的判定提供了條件.

（作者單位：江蘇省揚州大學附屬中學東部分校）