論三角函數在中學數學中的重要地位

楊永強

摘要：中學數學是素質教育改革中重點關注的學科，對數學的學習不僅是時代發展的要求，并且也是開發學習者思維、增強學習者數學知識與數學能力的關鍵因素。在中學數學課程中包括了諸多方面的知識，其中以三角函數為主的數學知識是學習的重點與考試的難點，在中學數學中三角函數是其最為主要的內容，三角函數的學習不僅可以促使高中階段對該部分知識進行延伸，并且三角函數的概念不僅僅是簡單的銳角函數，而是逐漸發展到角與角之間的運算。

關鍵詞：初中數學；三角函數；地位；概念；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-120X（2016）23-0043-02 收稿日期：2016-07-12

近幾年，伴隨著素質教育的深入與推進，初中作為素質教育發展中最為關鍵的階段，是培訓學習者樹立學習興趣、掌握數學規律、獲取數學知識的關鍵階段。三角函數不僅是初中數學學習的重點，并且也是考試的主要內容，只有全面掌握三角函數，才能對周期的變化現象有所了解，對函數模式有所認識，才能正確利用正弦定理與余弦定理解決簡單的問題。因此，本文僅對三角函數在中學數學中的重要地位進行了分析與探究。

一、三角函數在中學數學課程中的地位

從整體角度分析，三角函數這部分內容為什么會發生變化？筆者根據自己的經驗，針對三角函數與其他內容之間的關系制作了相應的框圖（如下圖所示）。

1.從歷史發展的角度分析

眾所周知，數學發展歷程歷經千年，在16世紀外國數學家便對三角進行分析，并形成了比較系統的理論體系，其中主要的研究內容包括了平面三角形的特點與性質、三角形的面積等。在17世紀，在常量數學的發展與研究中，三角仍然是其主要的內容。近年來，伴隨著我國數學體系的發展與進步，微積分與解析幾何的創立從本質上確定了變量數學的重要地位，人們逐漸從函數的角度對三角函數進行研究，數學界對三角函數的討論更加激烈，三角函數逐漸成為數學學科中的獨立分析。總而言之，三角函數與其他數學內容的結合進一步提升了其自身的作用，并且在中學數學中發揮出了極其重要的作用。

2.從課程的角度分析

根據筆者所制的框架圖，可以得知在中學數學中三角函數有著極其重要的作用，并且與其他學科形成統一、和諧的發展模式。從課程角度分析，三角函數是研究周期現象的主要模型，并且與向量之間存在著密切的聯系。此外，從整體角度分析，三角函數與三角運算之間也存在一定的聯系，能夠實現與數學的運算，不管是多項式運算還是非線性運算，三角函數都發揮著非常重要的作用。與此同時，三角函數的解法牽涉到正弦定理與余弦定理，能夠進一步求證出三角形的角、面積，是當前初中數學體系中不可或缺的內容。

二、三角函數是數形結合的關鍵因素

筆者認為需要從以下兩個方面對三角函數與數形結合之間的關系進行分析與探討。

一方面，三角函數的出現從根本上促使平面幾何的研究發生本質的改變，實現了從定性到定量的轉變。比如，在三角函數的學習中每一位學生都能夠明白“兩邊之和大于第三邊”的重要結論，并且還能了解到“大邊對大角，小邊對小角”的定性結論，再經過正弦定理與余弦定理的驗證，能夠對其進行準確的計算。其中在近幾年中有關三角函數的理論分析中著重對這一要點進行了定量的描述。

在數學家歐拉早年所提出的“三角形外接圓的半徑與內切圓的半徑之比小于2”的理論研究中可以得知，不管是 “拿破侖三角形”還是“莫雷定理”，如果不借助三角形工具，在進行求解的過程中是非常困難的。但是，根據三角函數的定義以及各個向量之間的變化規律，在將向量的運算轉變為實數的運算過程中，能夠實現坐標化，促使向量、坐標以及復數之間形成統一整體，從而實現三角函數在數形方面的結合。其中，值得注意的一點是一維向量、二維向量、三維向量的基本定理在轉化為直線坐標系的時候，要遵循三角函數的基本定理，這不僅是對幾何進行揭破的一種實質現象，并且在一定程度上促進了坐標在三角函數中的應用。其中，從余弦函數的內涵中能夠將向量的射影定理進行推導。

另一方面，利用三角函數可以將距離、斜率以及比例進行推導，能夠將幾何發明的本源進行分析與探究。

此外，在從平面直角坐標系的基本定理推導中，可以對空間直角坐標系的基本定理有所認識，并且能夠將諸多幾何公式進行解析與推導。在進行解析的過程中，能夠將坐標系的基本定理進行分析與探究，并且能夠進一步分析出三角函數中數形結合在初中數學中的重要地位。

三、三角函數與周期性的思考分析

所謂的正弦結構是將轉動轉換積極轉變為復直線運動的一種機構，也被人們稱為偏心驅動機構。從功能角度分析，正弦機構主要是一種傳遞動力的模式，在積極完成運動形態轉化中，能夠實現復直線運動。

如果缺乏三角函數對周期變化進行描述，則無法建立起具備周期性的數學模式。從而得知，三角函數在現階段初中數學中有著極其重要的地位。

四、三角函數與極限變化的思考與分析

相對于三角函數sinx與x，如果x得到無限變小的時候，那么兩者的關系則比較近，并且在sinx≈x的猜想中，可以將其設定為limsinxx=1。其中，要想對這一公式進行驗證，可以采取兩面夾的方式，這不僅符合sinx的導數基礎，并且是該項三角函數在初中數學教學內容中占有重要地位的主要依據。

通過對三角函數在中學數學中的地位進行分析，可以得知三角函數所涉及的內容非常廣泛，其思維認證的方法也比較豐富。我國數學研究已經取得了非常多的成果，其中有關三角函數的理論成果數不勝數，筆者對前人的研究成果進行了分析，以供參考。

參考文獻：

周景凱.三角函數教學中開展“說數學”活動的研究.濟南：山東師范大學，2013.

韓文美.三角函數的圖象和性質熱點評析.數學愛好者（高一人教大綱），2008，（2）：6—8.

陶思俊.淺談三角函數的幾種證明方法.中小企業管理與科技，2013，（28）：257—259.

胡 敏.建構理論指導下的三角函數概念教學探究.成都：四川師范大學，2013.