流域地貌形態(tài)多尺度三維分形量化及尺度效應
——以砒砂巖區(qū)二老虎溝為例

張傳才, 秦 奮, 汪永新, 劉真真, 陳云生, 劉志丹

(1.河南大學 環(huán)境與規(guī)劃學院, 河南 開封 475004; 2.安徽理工大學 測繪學院,安徽 淮南 232001； 3.河南大學 黃河中下游數字地理技術教育部重點實驗室， 河南 開封 475004)

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流域地貌形態(tài)多尺度三維分形量化及尺度效應
——以砒砂巖區(qū)二老虎溝為例

張傳才1,2，3, 秦 奮1，3, 汪永新1, 劉真真1, 陳云生1, 劉志丹1

(1.河南大學 環(huán)境與規(guī)劃學院, 河南 開封 475004; 2.安徽理工大學 測繪學院,安徽 淮南 232001； 3.河南大學 黃河中下游數字地理技術教育部重點實驗室， 河南 開封 475004)

流域地貌形態(tài)的科學量化是地貌學研究和區(qū)域尺度土壤侵蝕模型研究中的熱點問題之一。針對目前地貌形態(tài)分形量化模型中存在的地形模擬方法和模型結構不合理問題，基于GIS技術和分形理論改進了地貌形態(tài)分形量化模型，并使用無人機高分辨率DEM數據對砒砂巖區(qū)二老虎溝流域進行了多尺度地貌形態(tài)量化，進而研究了該區(qū)地貌形態(tài)三維分形量化的尺度效應。研究發(fā)現：(1) 隨著尺度的降低，該區(qū)三維分形維數呈線性降低趨勢，即地形復雜度呈線性降低趨勢；(2) 砒砂巖區(qū)二老虎溝流域在10 m尺度地形復雜度已大大降低；(3) 根據多指標量化結果分析，地貌形態(tài)量化指標分為兩類：地形復雜度指標和地形起伏度指標，前者具有明顯的尺度效應，后者尺度效應不明顯。

地形量化; 砒砂巖; 地貌三維分形; 尺度效應

尺度常常被定義為在研究對象或現象時采用的空間或時間單位，或者現象或過程在空間和時間上所涉及到的范圍和發(fā)生的頻率[1]。李霖[2]將尺度分為空間尺度、時間尺度和語義尺度，其中空間尺度又包括：地圖比例尺、地理尺度、有效尺度和分辨率兩類。DEM是表達地貌形態(tài)(地形)的最主要模型之一，DEM分辨率即為空間尺度之一，DEM分辨率尺度已經取得了一定的研究成果[3-7]。雖然基于DEM的地貌形態(tài)分形量化已經取得了較多的研究成果[8-23]，但是DEM分辨率對地貌形態(tài)三維分形量化的影響目前研究相對較少[12]，有待進一步研究，且已有的三維分形量化模型在模型結構及地形模擬方法上仍然存在有待改進的地方。另外，其他各種地形量化指標是否具有尺度效應也有待進一步研究。若某個地形量化指標具有尺度效應，使用該指標構建土壤侵蝕模型時，則應考慮地形尺度效應的影響。

綜合以上分析，目前有兩個問題亟待解決，一是地貌形態(tài)三維分形量化模型的改進，二是DEM分辨率對地貌形態(tài)三維分形量化指標及其他地形量化指標的影響。針對這兩個問題，首先改進地貌形態(tài)三維分形模型，然后基于GIS組件開發(fā)技術、分形理論和改進的三維分形模型開發(fā)三維分形軟件，進而對研究區(qū)不同尺度下的地貌形態(tài)特征進行三維分形量化，以期發(fā)現地形量化隨DEM分辨率變化的規(guī)律。砒砂巖區(qū)二老虎溝流域是重力侵蝕和水力侵蝕都異常嚴重的交互侵蝕區(qū)域，對該區(qū)進行地貌形態(tài)量化的尺度效應研究可為該區(qū)土壤侵蝕模型的構建提供重要參考。

1　研究區(qū)概況

砒砂巖區(qū)二老虎溝流域位于內蒙古鄂爾多斯市準格爾旗沙圪堵鎮(zhèn)，地理位置為110°35′—110°38′E，39°46′—39°48′N，面積6.3 km2，圖1為該區(qū)無人機航拍影像。砒砂巖是古生代二疊紀、中生代三疊紀、侏羅紀和白堊紀的厚層砂巖和泥質砂巖組成的巖石互層，集中分布在內蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市的東勝區(qū)、準格爾旗、伊金霍洛旗、達拉特旗、杭錦旗。按照地表覆蓋物的不同，砒砂巖區(qū)可分為裸露砒砂巖區(qū)、覆沙砒砂巖區(qū)和覆土砒砂巖區(qū)。二老虎溝流域屬于覆土砒砂巖區(qū)，砒砂巖在溝谷出露，形成“黃土蓋帽，砒砂穿裙”的特殊地貌景觀。該區(qū)土壤侵蝕以水蝕為主，水蝕、風蝕和重力侵蝕交替發(fā)生，屬于土壤侵蝕異常嚴重地區(qū)。該區(qū)溝谷切割很深，呈V字型溝道，處在溝道侵蝕生長期。圖2是研究區(qū)無人機航拍影像的局部，可以看出該區(qū)溝壑十分發(fā)育。

圖1　研究區(qū)位置及無人機航拍影像　　　　　　　　　　　　　　　圖2　研究區(qū)航拍影像局部

2　數據與方法

2.1多尺度DEM數據采集與數據處理

使用的DEM數據由無人機航拍結合攝影測量后期處理軟件獲得，采集的原始DEM數據為1 m分辨率。為研究不同尺度下的三維分形維數變化情況，對原始DEM數據進行重采樣，分別生成2～32 m，間隔為1 m的32種分辨率的DEM數據。

構建的三維分形模型需要獲取任意分形尺子下掃描盒子內的高程標準差和平均坡度數據。直接由掃描盒子內的高程數據提取坡度數據時，在掃描盒子邊緣會產生誤差。該誤差源于DEM生成坡度數據時采用3×3窗口計算，且對邊緣外圍數據按無數據區(qū)處理。因此，需要采用另外一種數據處理方法：對各分辨率DEM先生成整個區(qū)域的坡度數據，并進一步將DEM和坡度數據進行波段合并以便于三維分形計算。在三維分形掃描時，直接提取分形盒子內的高程數據和相應坡度數據進行統計計算，避免了產生坡度誤差，同時也降低了算法復雜度。限于篇幅，只給出1 m和32 m尺度的DEM與相應坡度的合成影像(圖3—4)。

2.2研究方法

2.2.1分形理論

(1) 分形。1967年Mandelbrot[24]在美國《Science》上發(fā)表了一篇名為“英國的海岸線有多長？”的論文，給出了分形的最初概念。后來，英國數學家肯尼思·法爾科內[25]進行了補充，給出了較為合理的定義，他認為集F為分形，即認定分形具有下述性質：①F具有精細的結構，即有任意小比例的細節(jié)；②F是如此的不規(guī)則以至它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言來描述；③F通常有某種自相似，可能是近似的或統計的；④ 一般F的“分形維數”大于它的拓撲維數；⑤ 在多數情形下F以簡單的方法定義，可由迭代產生。

圖3　1 m分辨率的DEM與坡度合成影像　　　　　　　　　　圖4　32 m分辨率的DEM與坡度合成影像

(2) 分維。分維(fractal dimension)又叫分形維數，是分形理論中對非光滑、非規(guī)則、破碎的極其復雜的分形客體進行定量刻化的重要參數[22]。常見的分形維數有：豪斯道夫維數、容量維數、信息維數和關聯維數等。其中容量維和信息維在地貌分形中應用較多。容量維是指用邊長為r的規(guī)則盒子去覆蓋測量，最后根據測量的盒子數來計算維數，即為容量維 ，公式為：

(1)

式中：N(r)——尺度為r下的盒子個數。

容量維只考慮了覆蓋盒子個數，而沒有考慮盒子內分形體的覆蓋程度。通過統計分形體屬于第i個盒子的概率改進容量維數測定方法，即可獲得信息維數，公式為：

(2)

式中：pi——分形體屬于第i個盒子的概率，其計算公式為：

(3)

式中：miri(r)——尺度為r下的第i個盒子內的地形起伏量；MIR(r)——三維實體在尺度為r特征尺度下的地面起伏總量，其計算公式為：

(4)

2.2.2地貌形態(tài)三維分形模型改進

(1) 地貌形態(tài)三維分形模型存在的問題。目前，地貌三維分形模型存在問題主要包括兩個方面：一是模型中使用的地形模擬方法；二是三維分形模型結構問題。地形模擬方法主要有DEM、TIN、堆積立方體、三棱柱和四棱柱等三維模型。地形模擬使用立方體堆積表達地貌體，地形高程模擬不準確[14]，因為地貌某點的高程很少正好是立方體邊長的整數倍。已有的三維分形模型結構也存在不合理性，如地形起伏量計算時使用了坡度標準差指標[22]。坡度標準差對于平斜坡地形不太合適，會導致計算的起伏量接近零，明顯不合理。

(2) 解決方案。① 四棱柱模擬地貌體。為了便于三維分形掃描計算，有兩種地貌體模擬方法，一種是采用堆積小立方體來模擬地貌體[14]，另外一種是使用四棱柱來模擬地貌體[22]。堆積立方體模擬方法對高程的模擬不準確，前節(jié)已說明原因。四棱柱模型可以準確地模擬地貌體高程，是較合理的模擬方法，適合選用。四棱柱模型就是以DEM像元為四棱柱底面，以DEM像元高程為四棱柱高度，由這些四棱柱排列組合來模擬地貌體；② 地形起伏量新指標——優(yōu)化三維分形模型結構。目前常用三維分形信息維數對地貌進行量化。信息維數考慮了分形盒子內地形信息含量的不均性，能更準確地表達地貌復雜度信息。在三維分形信息維數測算中，涉及到分形盒子內地形起伏量計算。已有學者提出了測算公式，但有待改進。基于此，需要研究設計新的地形起伏量指標。

為了既能方便計算又能全面涵蓋地形起伏信息，從地形量化單因子指標中選取若干個指標重組形成新的地形起伏量指標。單因子指標選擇標準是既能準確量化、方便計算又能表達地形主要特征。在地形的常見單因子指標中，地形起伏度指標對地形的概括太強，不宜選用；溝壑密度指標不易準確確定，也不宜選用；坡度標準差對于平斜坡地形明顯不適用，也不宜選用；而高程標準差和平均坡度對地形起伏描述較好，適合選用。

地球表面的地貌形態(tài)最核心特征概括起來無非是高低陡緩凹凸6種特征。因此基本可以概化為5種基本地形，以便進行深入探討研究。為研究高程標準差和平均坡度指標表達地形起伏信息的側重點，使用ArcGIS軟件構建5種地形坡面，獲取其DEM數據和坡度數據，并使用ArcGIS軟件的區(qū)域統計功能對5種地形的高程信息和坡度信息進行統計。如表1所示，C地形的起伏量明顯大于B地形，而B，C兩種地形平均坡度基本相同，但C地形的高程標準差幾乎是B地形的兩倍，因此，把高程標準差作為地形起伏量的主控因子。A，B兩種地形起伏量也應該是不同的，雖然具有相同的起伏高度，但A的起伏頻率更大。A，B兩種地形高程標準差相同，但平均坡度，地形A大于地形B。因此，平均坡度可以作為控制地形起伏頻率的因子，稱為地形起伏量的次級控制因子。高程標準差和平均坡度的乘積可以很好地區(qū)別A，B，C，D或A，B，C，E四種地形。因此，高程標準差和平均坡度的乘積可作為地形起伏的新指標。

表15種地形的高程信息和坡度信息統計結果

地形起伏量mir(r3)的計算是模型的關鍵，基于以上分析，使用新設計的地形量化指標作為地形起伏量的表達式，其計算公式為：

mir(r3)=std×α

(5)

式中：std——高程標準差；α——平均坡度。

2.2.3基于GIS組件技術的分形軟件設計與實現

(1) GIS組件技術。GIS組件技術是近年來地理信息系統發(fā)展的趨勢之一。ESRI ArcEngine是目前主流的GIS組件技術，其本身是一個COM GIS類庫。該類庫中提供了大量GIS組件對象，為GIS應用程序的開發(fā)提供了便捷方法。開發(fā)者只需根據應用的需要調用類庫中的對象即可實現相應的GIS功能，可以把精力集中在應用模型的研發(fā)上。

(2) 基于ArcEngine的地貌形態(tài)三維分形掃描算法與實現。用邊長為DEM像元寬度整數倍的正方體盒子(稱為掃描盒子)對三維地貌體進行三維掃描。掃描盒子被全部填充的稱為實體盒子，掃描盒子內包含地形表面的稱為面盒子或特征盒子。

本模型只統計分形面盒子。三維掃描算法為：① 根據分形盒子邊長將研究區(qū)劃分成N×M個區(qū)域；② 對每個區(qū)域進行垂向掃描，統計掃描到的每個分形盒子內的高程標準差和平均坡度，計算該盒子內的地形起伏量，對地形起伏量進行累計；③ 改變分形尺子，執(zhí)行1，2，3步；④ 所有區(qū)域掃描完畢后，計算地形信息總量，并對分形尺子對數和地形信息總量做線性回歸分析，計算獲得分形維數；模型使用ESRI ArcEngine組件技術實現，它其實是一個GIS類庫。類庫中的柵格游標對象RasterCursor以像素塊(PixelBlock)為單位讀取，一個像素塊正好可以對應一個分形盒子。通過改變像素塊大小對應分形尺子變化。通過柵格游標對象的IRasterCursor接口的next方法遍歷像素塊，進而實現每個分形盒子掃描。

3　結果與分析

3.1地貌形態(tài)三維分形多尺度量化

地貌形態(tài)分形量化中地形數據的尺度問題較少被考慮。眾所周知，DEM地形數據具有尺度效應，基于不同尺度地形數據的量化結果不具有可比性。因此，非常有必要對地貌形態(tài)三維分形量化的尺度效應進行研究，以發(fā)現地貌形態(tài)分形量化變化規(guī)律。使用開發(fā)的地貌形態(tài)分形量化軟件對32種分辨率的DEM地形數據進行地貌形態(tài)量化。由于隨著分辨率的降低，DEM像元數減少，三維分形掃描中計算的分形盒子數量相應變少，地形表現出的統計自相似性減弱，因此，基于DEM直接重采樣方法，這里只給出1～10 m尺度下的三維分形信息維數，其他尺度的地貌形態(tài)量化需要一定的處理方法，在后面一節(jié)討論。

為了進行各尺度下三維分形維數的對比分析，分形尺子范圍歸一化為20～80 m，尺子間隔為一個像元大小。各尺度下的像元大小不同，尺子間隔亦不同。另外，受DEM像元大小的影響，分形尺子區(qū)間無法精確統一為20～80 m，取最接近區(qū)間。使用ArcGIS軟件對其他地貌單因子量化指標也進行了1～10 m尺度的地貌形態(tài)量化，統計結果如表2所示。

表2不同尺度下的地貌多指標量化結果

分辨率/m高程最小值/m高程最大值/m高程標準差坡度最小值/(°)坡度最大值/(°)坡度平均值/(°)坡度標準差表面積與投影面積比三維分形維數1.001090.01214.026.6810.0081.16721.53518.1161.2151.9092.001090.01214.026.6710.0072.26921.15416.1691.1651.8923.001090.01214.026.6810.0068.33520.63215.3311.1491.8864.001090.01214.026.6770.0064.88420.13414.7311.1401.8615.001090.01213.026.6700.0062.39119.65814.2221.1331.8416.001090.01213.026.6770.0060.28319.19013.7531.1281.8217.001090.01213.026.6830.0058.13118.75613.3061.1231.8168.001090.01213.026.6580.0056.74018.34612.8931.1191.7919.001090.01213.026.6770.0054.73817.95712.4941.1151.73010.001090.01213.026.6770.0052.87617.57912.1291.1111.708

3.2地貌形態(tài)三維分形量化的尺度效應

用DEM表達地形地貌本身就是對地形特征的一種簡化，隨著分辨率的降低所表達的地貌特征越來越概括，細節(jié)特征丟失的越來越多。地貌三維分形維數表達的是地形地貌的復雜度信息，從直觀上來理解，三維分形維數也應隨著地形尺度的增大而減小。事實是否與直觀理解一樣，減小的幅度有多大，有無明顯拐點，有無最佳的地貌形態(tài)量化尺度，這些問題需要具體分析研究。根據三維分形測算結果，點繪于圖上。如圖5所示，隨著DEM尺度的降低，三維分形維數呈線性降低趨勢。三維分形維數從1.909迅速降低到1.708。從數值上看減小的不大，但是，事實上由于三維分形維數的區(qū)間主要是1.0～2.0，三維分形維數值減小0.2，對應的地形復雜度其實已經大大降低。

圖5　不同尺度下的三維分形維數

為了研究地貌三維分形量化在20 m以上尺度的變化情況，并且要盡量的統一分形區(qū)間及分形尺子間隔，需要采取特殊的處理方法。成倍減小DEM像元邊長且使用最鄰近點重采樣方法可使得各點的地貌高程在重采樣過程中不發(fā)生變化。基于此，使用最鄰近點重采樣方法將2～32 m間隔為1 m的31種分辨率的DEM數據使用原像元邊長的1/4大小進行重采樣，使用重采樣后的DEM構建四棱柱模型模擬地貌體，其模擬結果與原四棱柱模型相同，只是增加了四棱柱的數量。基于此方法，對各尺度下的地貌體分別進行三維分形量化。將量化結果點繪于圖上。如圖6所示，2～3 m尺度分形量化結果很接近，4～6 m尺度分形量化結果逐漸降低，7～11 m尺度分形量化結果基本保持在一個水平，分形維數區(qū)間為：1.967～1.981，12～22 m，尺度分形量化結果逐漸降低，23～32 m尺度區(qū)間分形量化結果為1.707～1.752，出現了波動現象，但地形復雜度已經大大降低。根據湯國安等[9]的研究成果，黃土溝壑區(qū)地形尺度閾值為5 m，結合研究區(qū)量化結果，3 m可作為該區(qū)最佳的地形量化尺度。

圖6　縮四棱柱底面邊長為1/4的多尺度分形維數

對其他地形量化指標也進行了尺度效應分析，將所有指標統計結果點繪于圖上。如圖7所示：① 三維分形維數和平均坡度尺度效應最明顯，呈線性降低趨勢，且二者的斜率幾乎一致，因此，在地形量化中三維分形維數可近似用平均坡度來代替；② 坡度標準差和表面積與投影面積比指標也呈降低趨勢，但基本呈凹形曲線，即降低得越來越慢；③ 高程標準差與高差基本不變，因此二者尺度效應不明顯。

圖7　多指標地貌形態(tài)量化尺度效應

綜上分析，在地貌形態(tài)量化指標中，三維分形維數、平均坡度、坡度標準差及表面積與投影面積比4個指標具有尺度效應，高程標準差和高差兩個指標不具有尺度效應。

4　結 論

針對目前地貌形態(tài)量化模型存在的問題，從地形模擬、模型優(yōu)化兩個方面提出了解決思路。研究認為：① 四棱柱模型模擬地貌體是較為適合三維分形計算的方法；② 新的地形起伏量指標可優(yōu)化三維分形信息維數GIS模型。基于提出的地貌形態(tài)量化解決思路、GIS技術和分形理論，開發(fā)了地貌三維分形量化軟件。使用該軟件實現了砒砂巖區(qū)二老虎溝流域多尺度地貌特征量化。量化結果顯示1～10 m各尺度的地貌三維分形量化區(qū)間為1.708～1.909，隨著尺度的增加(DEM分辨率的降低)地貌三維分形維數呈線性降低趨勢。砒砂巖區(qū)二老虎溝流域地貌三維分形量化最佳的地形尺度為3 m。在地貌形態(tài)量化指標中，三維分形維數、平均坡度、坡度標準差及表面積與投影面積比4個指標具有尺度效應，高程標準差和高差兩個指標不具有尺度效應。前4個指標可稱為地形復雜度指標，后兩個指標稱為地形起伏程度指標。

針對21～32 m尺度的DEM數據，為避免分形尺子間隔和分形區(qū)間差異過大，采用了降低四棱柱底面邊長的方法。基于該方法對32種尺度地貌形態(tài)進行量化，結果顯示：① 1～22 m尺度范圍，三維分形維數整體呈線性降低趨勢；② 23～32 m尺度范圍三維分形維數出現抖動變化，原因有3個方面：采用了降低四棱柱底面邊長模擬地貌體方法、分形盒子數量較少降低了地形統計自相似性以及分形區(qū)間不一致，哪個方面起主導作用，目前不易確定，有待進一步研究。

致謝：感謝國家地球系統科學數據共享平臺——黃河下游科學數據中心為本論文提供數據支持。

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Multi-Scale Quantification of Topographic Feature Using Three-Dimensional Fractal Model and Its Scale Effect in Watershed—A Case of the Two-Tiger Valley of Pisha Sandstone Area

ZHANG Chuancai1,2，3, QIN Fen1，3, WANG Yongxin1,LIU Zhenzhen1, CHEN Yunsheng1, LIU Zhidan1

(1.CollegeofEnvironmentandPlanning,He′nanUniversity,Kaifeng,He′nan475004,China; 2.CollegeofSurveyingandMapping,AnhuiUniversityofScienceandTechnology,Huainan,Anhui232001,China； 3.KeyLaboratoryofGeospatialTechnologyfortheMiddleandLowerYellowRiverRegions,MinistryofEducation,He′nanUniversity,Kaifeng,He′nan475004,China)

Scientific quantification of topographic feature is one of the key issues in geomorphology and development of erosion model. In view of the existing problems on terrain simulation, geomorphology quantification model structure, geomorphology three-dimensional fractal model is optimized based on GIS and fractal theory, and topographic feature for Two-tiger valley in Pisha sandstone area is quantified based on multi-scale UAV DEM data and the fractal model, and scale effect of three-dimensional dimension on the area is discussed. The research found that: (1) as the topographic scale is reduced, three-dimensional fractal dimension decreases linearly, which means that terrain complexity decreases linearly; (2) terrain complexity under 10 m scale of Two-tiger valley is far less in Pisha sandstone area; (3) according to analysis on terrain quantification results based on multi index, terrain quantification indices can be divided into two types: terrain complexity index and terrain undulation index. The terrain complexity index has scale effect, and the terrain undulation index has no scale effect.

quantifying topographical character; Pisha sandstone; topographical three-dimension fractal; scale effect of landform

2015-02-08

2015-03-06

國家科技支撐計劃項目(2013BAC05B01);國家自然科學基金項目(41401457)

張傳才(1979—),男,山東梁山人,博士研究生,講師,主要從事GIS與土壤侵蝕模型集成開發(fā)、虛擬地理環(huán)境研究。E-mail:zccai1205@163.com

P931.6

A

1005-3409(2016)01-0278-06