薄壁構件試驗模型的動力學相似設計方法

王　有，羅　忠，曲　濤，王德友，劉永泉

（1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819；2.空軍駐沈陽地區代表室，沈陽110031；3.中航工業沈陽發動機設計研究所，沈陽110042）

薄壁構件試驗模型的動力學相似設計方法

王有1，羅忠1，曲濤2，王德友3，劉永泉3

（1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819；2.空軍駐沈陽地區代表室，沈陽110031；3.中航工業沈陽發動機設計研究所，沈陽110042）

針對由薄壁構件相似模型試驗結果預測原型動力學特性的問題，建立了統一的數學模型，并基于方程分析法推導了動力學相似關系。通過對薄殼單元進行受力分析，推導得到薄壁構件的微分方程，并通過微分方程得到完全幾何相似模型可準確預測原型動力學特性的相似關系。在建立薄壁構件結構參數對固有頻率的敏感性與相似因子指數的比值關系基礎上，提出薄壁構件不完全幾何相似模型與原型的動力學相似關系（即畸變相似關系）的確定方法。最后給出基于敏感性分析的薄壁構件精確畸變相似關系設計流程，為薄壁構件相似試驗模型的設計及動力學特性的預測提供參考。

薄壁構件；相似設計；畸變相似關系；敏感性；試驗模型

0　引言

薄壁構件通常是指厚度與結構件最小平面跨度之比在1/80和1/5之間的彈性結構件［1］。在工程應用中，由于薄壁結構件具有結構簡單、抗彎剛度大等優點，被廣泛應用于航空航天、海洋機械、化工機械等工程領域［2］。在工作過程中，薄壁構件受力情況復雜且經常處于振動狀態，其劇烈振動可能導致結構損壞，甚至引起無法預料的破壞，因此，對其進行振動特性分析具有重要意義［3］。然而在實際研究中，若直接采用原型進行試驗就會受到體積大、試驗難度大、成本高等多方面因素的限制。因此，設計相似模型預測原型的動力學特性具有重要價值。有很多學者對薄壁構件的振動特性進行了研究：Leissa［4］對薄殼的振動特性進行了理論分析，并給出了薄壁殼的振動微分方程；Narita［5］通過采用改進的Ritz法研究了簡支板的固有特性；Irie等［6］分析各類層合殼的動力學特性，并提出了用傳遞矩陣法分析薄殼在任意邊界下的振動特性；Zhou等［7］根據混合能量守恒原理，采用Hamiltonian方法分析了薄圓板和圓環薄板的固有特性，得到了不同邊界下的頻率方程；對于薄壁構件的相似設計方面的研究，Krayterman等［8］采用量綱分析法推導了薄板的相似關系，考慮了邊界條件對相似關系的影響，并對相似模型設計方法的預測精度進行了討論；Qian等［9］得到了響應下層合板的相似關系，并且相似準則能準確描述原型的響應；Rezaeepazhand和Simitses［10］通過相似模型預測了層合殼的屈曲和自由振動特性；Ungbhakorn和Singhatanadgid［11-12］提出了1種推導相似關系的新方法，并且呈現了對稱層合板和層合圓柱殼在考慮載荷影響下的相似關系；Oshiro和Alves［13］研究了預測原型動力學特性的畸變相似關系，并且分析了受動載荷原型的3個問題。

綜上所述，對于典型薄壁構件，如彈性薄板、薄壁圓柱殼的相似性研究也有很多，然而確定薄壁構件精確的畸變相似關系研究尚不多見。

本文通過微元法給出了薄壁構件統一形式的本構方程，并提出了確定薄壁構件精確畸變相似關系的方法，為航空發動機等重大機械裝備薄壁構件相似試驗模型的設計提供了參考。

1　基本理論

在笛卡爾坐標系Oxyz中，建立曲線坐標系O'αβγ如圖1所示。α、β沿曲面的曲率線方向，γ與α、β垂直，位移u、v、w分別代表α、β、γ方向的切向位移。dr為曲面上的微段弧長。E為材料的彈性模量，μ為泊松比，ρ為密度。

圖1　曲線坐標系

曲面上的微段弧長dr可表示為［14］

式中：A、B分別為曲面拉梅參數，

薄壁構件的內力與中面位移關系式為

式中：Rα和Rβ為主曲率分量。

將所有力矩向量分別在α、β、γ方向投影及所有力向量分別對α、β、γ軸取矩，可得

式中：Qα、Qβ為剪切力，有如下關系

聯立式（4）、（5），得到薄壁結構件的本構方程

對于典型薄壁構件，如矩形薄板、圓環薄板、薄壁短圓柱殼等，拉梅參數為實常數。所以在式（6）中，與拉梅參數A，B對α，β的導數的相關項可以忽略。

另外，將式（2）、（3）代入式（6），可得薄壁構件的本構方程

由上式可知，位移u、v、w對α、β的最高階導數為4。因此，適用于薄壁構件統一的微分方程可歸納為

式中，j代表位移u、v、w；Lj-ki、Lj為相應的系數；t為時間。

2　相似關系

2.1完全幾何相似關系

原型和模型的本構方程為

式中：下標p代表原型，m代表模型。

位移方程可表示為

式中：ω是固有頻率；J表示模態函數U、V、W。

根據相似理論，原型與模型的本構方程中的系數對應成比例［15］，即

在完全幾何相似的條件下

因此，薄壁構件的完全幾何相似關系為

2.2畸變相似關系

通常情況下，直接采用完全幾何相似模型進行試驗會受到很多因素限制，例如鼓筒的厚度較小，縮小的完全幾何相似模型可能無法加工。因此，設計薄壁結構件的動力學畸變模型預測原型的固有特性具有重要意義。

在式（12）中，當i=0，1，…，4時，有很多待選的畸變相似關系

通常在畸變相似關系中，相似因子λE和λρ的指數m和n可以通過本構方程推導得到。然而，指數o、s和q通常是未知的。為了確定薄壁構件精確的畸變相似關系，提出并在理論上證明了結構參數對固有頻率敏感性值與相似因子指數的比值關系。

2.3畸變設計準則

采用敏感性分析法確定薄壁構件精確的畸變相似關系，所謂敏感性是指對于結構振動系統，結構特征參數（特征值λ）對結構參數p（質量、剛度、阻尼、結構參數）的改變率［16-17］。

首先給出基于敏感性分析確定畸變相似關系的設計準則：畸變相似關系中相似因子指數的比值k1：k2：…：kn可近似為結構參數對固有頻率敏感性Φ1：Φ2：…：Φn的比值。即

式中：k1：k2：…：kn分別為相似因子λ1，λ2，…，λn的指數；Φ1：Φ2：…：Φn分別為各結構參數的敏感性值。

下面證明式（17）成立。

結構參數α和β在極限范圍內（λαt，λβt∈［1-ε，1+ε］，ε為無窮?。┳兓幕兡Ｐ拖嗨埔蜃臃謩e為

結構參數α和β的敏感性分別為

因此，可得

將式（18）代入式（20）得到

當相似因子在極限范圍內變化時有：λαt→1，λβt→1。此時

式（22）可寫為

當相似比在小范圍內變化時，可得

當薄壁結構件的固有特性受多個結構參數影響時，與上述過程同理遞推即可得到式（17）的結果。因此，式（17）得證。

因此，基于上述設計準則可知薄壁結構件結構參數對固有頻率的敏感性與相似因子指數比值關系，即：通過分析結構參數對固有頻率的敏感性，即可確定畸變相似關系中相似因子未知的指數，從而得到薄壁構件畸變相似模型的設計準則。

最后給出適用于薄壁構件精確畸變相似關系的確定步驟：

（1）針對典型薄壁構件，如矩形薄板等，基于本構方程推導完全幾何相似關系。

（2）假設薄壁構件的畸變相似關系。

（3）通過結構參數對固有頻率的敏感性分析，根據薄壁結構件畸變相似關系的設計準則，最終確定薄壁構件畸變相似關系。

3　結論

（1）通過對薄殼微元的受力分析，推導得到適用于薄壁構件統一形式的微分方程式（8）。

（2）根據薄壁構件統一的微分方程，建立了完全幾何相似試驗模型準確預測原型動力學特性的動力學相似關系式（14）。

（3）提出并在理論上證明了基于薄壁類構件結構參數對固有頻率的敏感性與相似因子指數比值關系式（17），從而得到薄壁構件畸變相似試驗模型的設計準則。

［1］曹志遠.板殼振動理論［M］.北京：中國鐵道出版社，1989：14. CAO Zhiyuan.Vibration theory of plates and shells M］.Beijing：China Railway Press，1989：14.（in Chinese）

［2］Qin Z Y，Han Q K，Chu F L.Analytical model of bolted disk-drum joints and its application to dynamic analysis of jointed rotor［J］.Journal of Mechanical Engineering Science，2014，228（4）：646-663.

［3］王四季，廖明夫，楊伸記.主動式彈支干摩擦阻尼器控制轉子振動的實驗［J］.航空動力學報，2008，22（11）：1893-1897. WANG Siji，LIAO Mingfu，YANG Shenji.Experimental investigation on rotor vibration control by elastic support/dry friction damper［J］.Journal of Aerospace Power，2008，22（11）：1893-1897.（in Chinese）

［4］Leissa A W.Vibration of shells［M］.Washington，DC，USA：Scientific and Technical Information Office，National Aeronautics and Space Administration，1973：1-28.

［5］Narita Y.Natural frequencies of free，orthotropic elliptical plates［J］. Journal of Sound and Vibration，1985，100（1）：83-89.

［6］Irie T，Yamada G，Kaneko Y.Free vibration of a conical shell with variable thickness［J］.Journal of Sound and Vibration，1982，82（1）：83-94.

［7］Zhou Z H，Wong K W，Xu X S，et al.Natural vibration of circular and annular thin plates by Hamiltonian approach［J］.Journal of Sound and Vibration，2011（5）：1005-1017.

［8］Krayterman B，Sabnis G M.Similitude theory：plates and shells analysis［J］.Journal of Engineering Mechanics，1984（9）：1247-1263.

［9］Qian Y，Swanson S R.Experimental measurement of impact response in carbon/epoxy plates［J］.AIAA Journal.1990，28（6）：1069-1074.

［10］Rezaeepazhand J，Simitses G J.Structural similitude for vibration response of laminated cylindrical shells with double curvature［J］.Composites Part B：Engineering，1997，28（3）：195-200.

［11］Singhatanadgid P，Ungbhakorn V.Scaling laws for vibration response of anti-symmetrically laminated plates［J］.Structural Engineering and Mechanics，2002，14（3）：345-364.

［12］Ungbhakorn V，Wattanasakulpong N.Structural similitude and scaling laws of antisymmetric crossply laminated cylindrical shells for buckling and vibration experiments［J］.International Journal of Structural Stability and Dynamics，2007，7（4）：609-627.

［13］Oshiro R E，Alves M.Predicting the behavior of structures under impact loads using geometrically distorted scaled models［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2012，60（7）：1330-1349.

［14］Soedel W.Vibrations of shells and plates［M］.New York：CRC Press，2004：9.

［15］劉爾重.相似定理在復合材料結構件上的應用［J］.航空發動機，1999（2）：50-53. LIU Erzhong.Application of similitude theory in composite material structures［J］.Aeroengine，1999（2）：50-53.（in Chinese）

［16］Lee I W，Jung G H.An efficient algebraic method for the computation of natural frequency and mode shape sensitivities—Part I：distinct natural frequencies［J］.Computers and Structures，1997，62（3）：429-435.

［17］Lee I W，Jung G H.An efficient algebraic method for the computation of natural frequency and mode shape sensitivities-Part II：multiple natural frequencies［J］.Computers and Structures，1997，62（3）：437-443.

（編輯：張寶玲）

Dynamic Similitude Design Method of Experimental Models for Thin Walled Structures

WANG You1，LUO Zhong1，QU Tao2，WANG De-you3，LIU Yong-quan3
（1.School of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang 110819；2.Military Representative Office of Air Force in Shenyang，Shenyang 110031；3.AVIC Shenyang Engine Design and Research Institute，Shenyang 110042）

Aiming at the problem that experimental results of elastic thin walled structures similitude models predict dynamic characteristics of the prototype，the unified mathematical model was established and dynamic scaling laws was proposed based on the equation analysis method.The unified governing equation of elastic thin walled structures was firstly obtained by the stress analysis of a shell element，and the scaling law was deduced between the geometrically complete model and the prototype based on the unified governing equation.On the basis of establishing the ratio relationship between indexes of scaling factors and sensitivity results of structural parameters for the natural frequency，and the method of determining the dynamic scaling law（distorted scaling law）was proposed between the geometrically partial similitude models and the prototype.Finally，the design procedure of determining accurate distorted scaling laws was given out based on the sensitivity analysis，which provided the design method of similitude models and the prediction of dynamic characteristics for elastic thin walled structures.

thin walled structures；similitude design；distorted scaling law；sensitivity；test model

V 214

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2016.01.007

2015-06-17基金項目：國家重點基礎研究發展計劃（973計劃）（2012CB026005）、教育部基本科研業務費專項資金（N130503001，N140301001）資助

王有（1990），男，在讀碩士研究生，研究方向為薄壁構件模型試驗理論與方法；E-mail：wy515077587@163.com。

引用格式：王有，羅忠，曲濤，等.薄壁構件試驗模型的動力學相似設計方法［J］.航空發動機，2016，42（1）：32-36.WANG You，LUO Zhong，QU Tao.Dynamic similitu dedesign method of experimental models for thin walled structures［J］.Aeroengine，2016，42（1）：32-36.