(α,β)-軟BCK代數*

李巧燕，廖祖華,3+，劉維龍

1.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

2.江南大學 至善學院，江蘇 無錫 214122

3.江南大學 智能系統與網絡計算研究所，江蘇 無錫 214122

(α,β)-軟BCK代數*

李巧燕1,2，廖祖華1,2,3+，劉維龍1

1.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

2.江南大學 至善學院，江蘇 無錫 214122

3.江南大學 智能系統與網絡計算研究所，江蘇 無錫 214122

將軟集的參數集賦予BCK代數的代數結構，給出了(α,β)-軟BCK代數的概念,并驗證了得到的(α,β)-軟BCK代數是交軟BCK代數和α-交軟BCK代數的非平凡推廣；得到了兩個(α,β)-軟BCK代數在軟集的交、并、且等運算下仍然是(α,β)-軟BCK代數的結論，并討論了(α,β)-軟BCK代數的同態像和原像的性質；最后運用對偶軟集的方法給出了(α,β)-軟BCK代數的等價刻畫。

軟集；軟集運算；對偶軟集；BCK代數；(α,β)-軟BCK代數

1　引言

為處理不確定性問題，模糊集[1]、粗糙集[2]、直覺模糊集[3]等作為解決這類問題的數學工具被相繼提出，然而這些數學工具仍有不足之處。為了能夠更好地解決這類模糊性問題，Molodtsov[4]于1999年提出了另一種有效的數學工具——軟集，它與模糊集、粗糙集、直覺模糊集等有更好的互補性。2007年，Aktas等人[5]提出了軟群的新概念，開創了軟集代數研究的新領域。2010年，Acar等人[6]又給出了軟環的定義，并對軟環的軟理想和軟同態等相關性質進行了研究。2012年，廖祖華等人[7]給出了軟坡的概念，并研究了它的一些相關性質。

1966年，Imai和Iseki[8]以邏輯運算為基礎，根據組合邏輯中組合子的代數表述，提出了BCK代數。1994年，Jun等人[9]指出BCK代數在命題演算中存在應用。1997年，徐揚[10]指出了格蘊涵代數與有界可換分配的BCK代數之間的對偶關系。于是BCK代數與格蘊涵代數有著密切的聯系，而格蘊涵代數在不確定性和自動推理方面有著重要應用[11]。2008年，Jun等人[12]將軟集理論運用到BCK代數中，提出了軟BCK代數的概念，并在BCK代數上提出了軟理想的概念。2010年，伏文清等人[13]提出了另一種軟BCK代數的概念，并研究了其相關性質。

袁學海教授2008年指導的研究生溫永川在文獻[14]中將參數集賦予群的代數結構，提出了一種新的軟群概念，得到一些較為深刻的結論。這種將參數集賦予代數結構的方法引入的軟集代數可以得到較深刻的結論。廖祖華的團隊研究了軟群、新型軟子群、軟格蘊涵代數、軟子半群、半群的軟理想和軟完全素理想以及軟完全正則子半群[15-21]。2013年，Jun等人[22]將參數集賦予BCK的代數結構，提出了交軟BCK代數的概念，并對其相關性質進行了研究。同年，楊永偉等人[23]提出了α-交軟BCK代數的概念。本文在他們的工作基礎上給出了(α,β)-軟BCK代數的新概念。當α=X,β=?時，(α,β)-軟BCK代數即為Jun等人提出的交軟BCK代數，當 β=?時，(α,β)-軟BCK代數即為楊永偉等人提出的α-交軟BCK代數。而且由例1知，(α,β)-軟BCK代數既不是Jun等人提出的交軟BCK代數，也不是楊永偉等人提出的α-交軟BCK代數，于是(α,β)-軟BCK代數是交軟BCK代數和α-交軟BCK代數的非平凡推廣。(α,β)-軟BCK代數有一些類型的性質在交軟BCK代數和α-交軟BCK代數中未曾研究，例如用對偶軟集的方法給出(α,β)-軟BCK代數的等價刻畫。

本文組織結構如下：第2章給出了軟集和BCK代數的基礎知識；第3章將參數集賦予BCK代數的代數結構，給出(α,β)-軟BCK代數的新概念，并舉例說明它是交軟BCK代數和α-交軟BCK代數的非平凡推廣，另外還討論了它的一系列基本性質。

2　預備知識

下面給出一些本文所需要的關于BCK代數及軟集的相關知識。

3　(α,β)-軟BCK代數

本節將參數集賦予BCK代數，得到一個與通常的軟BCK代數[12]不同的(α,β)-軟BCK代數，并具體討論它的一系列基本性質。

4　結束語

本文利用袁學海教授和其學生溫永川等人的思想將參數集賦予BCK代數的代數結構，給出了(α,β)-軟BCK代數的概念，并討論了它的一系列相關性質。在今后研究工作中，還將討論BCK代數的各種軟理想及其基本性質，并探討它們在不確定性及自動推理方面的應用。

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LI Qiaoyan was born in 1993.She is a student at School of Science,Jiangnan University.Her research interests include computer science and soft set algebra,etc.

李巧燕（1993—），女，湖北襄陽人，江南大學理學院粒計算研究所學生，主要研究領域為計算機科學，軟集代數等。

LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University,and the member of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

廖祖華（1957—），男，江西奉新人，江南大學教授、碩士生導師，CCF會員，主要研究領域為人工智能，粒計算等。發表學術論文100多篇，主持國家和省部級基金項目多項。

LIU Weilong was born in 1962.He is an associate professor at Jiangnan University.His research interest is granular computing.

劉維龍（1962—），男，江蘇南京人，江南大學理學院副教授，主要研究領域為粒計算。

(α,β)-Soft BCKAlgebras?

LI Qiaoyan1,2,LIAO Zuhua1,2,3+,LIU Weilong1
1.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
2.Honors School,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
3.Institute of Intelligence System&Network Computing,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

E-mail:liaozuhua57@163.com

Firstly,by endowing a parameter set with the algebra structure of BCK algebras,this paper introduces the concept of(α,β)-soft BCK algebras,and verifies that the(α,β)-soft BCK algebras is a non-trivial generalization of the intersectional soft BCK algebras and theα-intersectional soft BCK algebras.Then this paper reaches the conclusions that two(α,β)-soft BCK algebras are still(α,β)-soft BCK algebras under the intersection,union and the AND operation of soft sets,and investigates the properties of the homomorphism image and inverse image of the(α,β)-soft BCK algebras.At last,by applying the dual soft sets,this paper gives the equivalent characterizations of the(α,β)-soft BCK algebras.

soft set;soft set operation;dual soft set;BCK algebra;(α,β)-soft BCK algebra

2015-06,Accepted 2015-08.

10.3778/j.issn.1673-9418.1507060

A

O153；O159

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.61170121,11401259,616731013(國家自然科學基金);the National College Students’Innovative Training Program of China under Grant No.201310295028(國家大學生創新訓練項目);the Natural Science Foundation of jiangsu Province under Grant No.BK20151117(江蘇省自然科學基金).

CNKI網絡優先出版:2015-08-27,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150827.1423.008.html

LI Qiaoyan,LIAO Zuhua,LIU Weilong.(α,β)-soft BCK algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2016,10(10):1493-1500.