數學助破兇案的奧秘之二

陸繼宗?雋武

陸繼宗

上海師范大學物理系教授（已退休）。曾任物理系系主任，上海物理學會副理事長。

美國曾拍了一部別出心裁的偵破系列劇，名為《Numbers》，直譯意思為“一些數字”，中文意譯為《數字追兇》。劇中有兩個主要人物，一為聯邦調查局特工丹·埃普斯，一為他的弟弟——數學家查利。每一集都圍繞查利如何用他掌握的數學知識和數學工具來幫助哥哥破獲刑事兇案，使數學成為協助破案的利器。《數字追兇》第一季第五集《首要嫌疑人》講述的是一起有關編碼解碼的數學理論的綁架案。

綁架小女孩疑案

在這集電視劇中，一對父母為他們五歲大的女兒慶祝生日時，小女孩被綁架了。正當丹和他的同事們到女孩家了解情況時，她的父親接了一個電話后，突然表示不希望丹和他的聯邦調查局團隊介入這個綁架案。

小女孩被綁架

丹感到事有蹊蹺，而且又發現這個女孩的父親依桑是一名數學家，于是他就請求查利幫助調查。到女孩家中，查利看到一塊白板上有一些數學式，是依桑隨手寫下的。查利知道這是數學上著名的黎曼猜想的式子，這說明依桑正在研究黎曼猜想。

黎曼猜想是一個世界著名數學難題，150多年來一直未被破解，以致在2000年被列為千禧年問題之一。所謂千禧年問題，是時值世紀之交的2000年，由國際著名數學家組成的一個專家小組列出的7個尚未解決的數學問題，并且懸賞100萬美元征求解法。任何人只要破解其中的一題，就能得此巨額獎金。其實，破解黎曼猜想不僅可以聲名大振并獲得巨額獎金，更為重要的是還能得到一個破解加密系統密碼的方法。

當丹從種種蛛絲馬跡中確定了綁架者之一的身份，并了解到綁架者并非索要贖金，他們的計劃是“破解世界上最大的金融秘密”，綁架依桑女兒的目的就很清楚了——綁架者就是想得到依桑解決黎曼難題的方法，利用它去入侵美國聯邦儲備委員會的計算機網站，獲取諸如何時加息等極其重要的核心機密，從而能獲得幾百萬美元甚至更高的收益。丹決定讓依桑向這幫家伙提供他的研究結論，從而讓他們能夠進入美聯儲網站（其實是丹他們偽造的），以便丹的團隊同時進行電子跟蹤，抓住這些竊賊。查利發現在依桑的解決方案中有一個重要錯誤，其實依桑并未真正解決黎曼難題。于是，丹設計了一個具體的方案，即一個愚弄綁架者的方法：一方面設置一個假的美聯儲網站，另一方面讓依桑提供一個竊賊們所要求的互聯網解密的假密鑰，由此追蹤到他們的所在位置以解救依桑女兒。

查利看到一塊白板上有一些數學式

為了破案的需要，查利給聯邦調查局的特工們講解了互聯網的加密原理。現在主要的加密方法是利用大數分解成素數的難度（這在后面會作簡單介紹）。眾所周知，由兩個已知的素數得到它們的乘積（合數）是很容易的，不論這兩個素數有多大，把它們相乘就可以得到乘積。但是反過來——即把此乘積分解為兩個素數——卻異常困難。現在的加密系統就是利用這個特性進行加密的。解密過程就是從一個乘積尋找出兩個素數因子。在這個故事中，查利和依桑一起將依桑的解法轉變成了一個算法，并把這個算法提供給了綁架者，讓他們利用這個算法得到密鑰。查利斷定綁架者們不會擁有超級計算機，他們只能將許多臺PC機連起來，構成一臺超級計算機來運算此算法，才能得到破解網站的密鑰。由于多臺PC機同時運轉會散發大量熱量，竊賊們就需要買多臺空調機散熱，而且至少需要運行好幾個小時。這樣一來，不但使得丹的團隊有了偵查的目標——多臺空調機，還為他們爭取了時間。最后，按照這個方案，聯邦調查局果然引誘竊賊上鉤，將他們一網打盡，順利地解救了被擄去作為人質的小女孩。

如何遏制網絡犯罪？

像通常那樣，《數字追兇》劇中的陳述都是在數學上有意義的，也有真實背景的故事。本集的基本前提是：黎曼問題的一個解，非常可能會導致現在所用的保持互聯網秘密的方法崩潰。

現在偷錢并不需要槍和刀，一臺廉價的PC機和互聯網的一個連接就能偷走大量的錢。這叫做網絡犯罪，是一種新的犯罪方式，不僅案例多，而且還在日益增長。它包括范圍廣泛的非法活動：諸如軟件盜版、音樂盜版、（多種形式的）信用卡詐騙、身份詐騙、股票操縱、公司間諜以及“釣魚網站”（假冒從一個金融機構給計算機用戶發送電子郵件，目的是使收件人泄露他們的銀行信息和其他個人資料）等。我們中國屢屢發生的金融詐騙事件，從廣義上說也是網絡犯罪。

關于網絡犯罪的猖獗程度，尚無可靠的數據，因為許多銀行和互聯網商務公司對這樣的信息往往三緘其口，以避免造成你的金錢或信用卡號碼在他們手中不安全的印象。已有估計認為，網絡犯罪一年的收益在1，000億美元以上。如果這是真實的，它將超過世界上非法毒品銷售的收益。不管實際的數字如何，網絡犯罪足以稱得上是一個重大問題，美國司法部和聯邦調查局兩個部門都有整套班子盯著這類犯罪活動。

把注意力集中在網絡犯罪上的執法人員，大多在工作中使用各種數學工具。他們在這一領域，天才般地使用一些深奧的數學知識，已經取得了重大的進展，這些成果為互聯網通訊的安全提供非常可靠的保障。但是道高一尺，魔高一丈，犯罪分子也在利用種種手段與執法人員較量。

從古到今的加密方法

當你使用自動取款機從銀行賬戶上取錢，或向網絡商家發送你的信用卡卡號和密碼時，你當然會認為，只有認定的接受人才能獲得你所輸出的詳情，不允許未授權的第三方“竊取”你發送的這些電子信息。然而，互聯網是一個開放系統，這意味著組成網絡的千百萬臺計算機之間的連接是公開的。互聯網信息交流通道的安全保障只能借助于加密——即“改變”此信息，使得未經授權的第三方即使竊取到了所發射的信號，也搞不清它的含義。

加密的概念并不是什么新鮮事。使用秘密代碼來保護秘密信息內容的想法，至少可以追溯到古羅馬時代。當時羅馬統帥尤利烏斯·凱撒就使用密碼以確保高盧戰爭期間他送給將軍們的命令的安全。現在把這種密碼叫做凱撒碼，在凱撒碼中，原始信息中一個詞中的每一字母都按某種固定規則由另一字母代替，例如，讓字母表中的每一個字母由它后面的第三個字母代替，即A用D來代替，G用J來代替，Y用B來代替。這樣一來，“mathematics”這個詞就變成了“pdwkhpdwlfv”。

古羅馬統帥尤利烏斯·凱撒

一個信息經過凱撒碼加密后被傳遞出去，如果不知道所用的規則，表面上看它雜亂無章，完全無法辨認。但實際并非如此，因為英語只有26個字母，所以只有25套這樣的“移位”密碼，對你所用密碼有懷疑的敵人只需依次一個個地來試，就能找到破解密碼的“鑰匙”。

另一種更好一些的方法是使用不像字母替代那樣明顯的其他規則。不幸的是，任何此類替代密碼，即簡單地用一個字母替代另一個，對于簡單的模式分析來說都是不堪一擊的。例如，出現在英語（或任何其他語言）中的字母都有非常確定的出現頻率，通過計算你的編碼文本每一個字母的出現率，敵人就可以簡單地推導出你的替代規則。現在，計算機的使用，可以大大加速破解

過程。

除了簡單的替代法外，當然你還能進行其他嘗試。但是不管你如何選擇，類似的危險還是會出現。只要你的編碼文本包含任何一類可識別模式，一個老練的統計分析人員就能不太困難地破解此密碼。

所以，第二次世界大戰結束以來，所有的密碼體系都依賴于數學，都使用計算機，而且不得不這樣做。因為完全可以假設，敵人也有強有力的計算機用來分析你的加密信息，你的系統必須足夠復雜，才能阻止計算機的破解分析。于是人們花了大量的時間和努力，設計和建立安全加密系統。

現代加密系統都包含兩個組元：加密步驟和“密鑰”。加密步驟一般是一個計算機程序或可能是一臺專門設計的計算機。為了加密信息，這個系統不僅需要處理信息，還需要選定的密鑰，它通常是個秘密的數字。加密程序以一種與所選密鑰有關的方式來對信息編碼，只有知道了密鑰才能將加密文本解密。因為安全依賴于密鑰，只要敵方得不到密鑰，同樣的加密程序可以被多人在一個較長的時期內使用而不致泄密。

有一個明顯的類似密匙的例子，那就是保險箱或鎖具的制造商，他們靠設計一種鎖具銷售給數以百計的用戶來維持生意，這些用戶憑借他們鑰匙（實物鑰匙、數字組合或兩者的組合）的唯一性而確保安全。就像敵人盡管知道你的鎖具是如何設計的，但沒有實物鑰匙或不知道該數字組合，還是不能打開你的保險箱那樣;敵人知道你正在使用的加密體系的情況下，如果得不到密鑰，他仍然不能破解你編碼的信息。

在某些以密鑰為基礎的加密系統中，信息發送者和接受者事先約定好用某種密鑰，然后用它來傳送彼此的信息。只要保持了這個“鑰匙”的秘密，這個體系（如果它是很好地設計的）則是安全的。1976年美國制訂的數據加密標準（DES）曾使用多年，DES的密鑰是一個56位的二進位數（換句話說，是56個0或者1組成的一串數字）。為什么要用這么長的密鑰？因為DES設計的所有細節都曾被公布出來，這意味著敵人只要一個接一個地簡單試用每一個可能的密鑰，就可以破解你的編碼信息。但是DES共有256個可能的密鑰需要試用，這是個天文數字，所以在最初使用此系統的時，是幾乎不可能被破解的。當然它現在已經老了，已經經不起新型的、比最初開發它時所用的快得多的計算機對它的

攻擊。

同時，諸如DES這樣的加密系統有一個明顯的弊端，即傳輸信息前，發送方和接受方必須商定他們將要使用的密鑰。很明顯，在任何通信通道上發送密鑰是不安全的，所以他們必須見面以轉交密鑰，或者找一個可靠的傳遞人轉交密鑰。這種加密系統，對于你與銀行打交道是很合適的，因為你可以很方便地到銀行的地區分支機構去建立一個供你個人使用的密鑰。但是，這種方法特別不適用于網絡商務，因為我們無法安全地把密鑰交給世界某個地方的一個我們從未見過面的人。

公開密鑰的加密算法

1976年，美國斯坦福大學兩名青年研究人員懷特菲爾德·迪菲和馬丁·赫爾曼發表了一篇里程碑式的論文，題目為“密碼學的新方向”。在這篇論文中，他們提出了一種新類型的加密算法。在他們設計的密鑰系統中，加密需要不是一個而是兩個密鑰——一個供加密用，另一個供解密用。這就像一具鎖，需要用一把鑰匙上鎖，用另一把鑰匙開鎖。他們的建議可以用下面的假設例子通俗地解釋。

一個人，讓我們稱她為艾麗斯，希望使用這個加密系統來傳遞保密信息，而購買了由某個通訊網絡所有成員使用的標準程序（或特殊計算機）。然后，艾麗斯制作了兩個密鑰。其中一個是解密密鑰，她把它秘密收藏好。另一個密鑰由她在此網絡用戶的指南上公布，供此網絡上的任何人要發送編碼信息給她時使用。

如果網絡中的另一用戶叫鮑勃，希望送一條加密信息給艾麗斯，他查到艾麗斯的公開編碼密鑰，用此密鑰將信息加密，然后將此信息傳送給艾麗斯。要將信息解密，就需要收件人艾麗斯事先秘密收藏的解碼密鑰。而且這樣的系統有一個特征：即當鮑勃用公開的密鑰對信息加密后，連他自己也不能將它解密。所以如果他想以后查看它，最好的辦法是保存原始信息，即未經加密的版本。

RSA系統加密法

然而，迪菲和赫爾曼雖然提出了這個了不起的方案，卻沒有能提出如何構造這樣一個系統的具體方法。不久之后，美國麻省理工學院的三個研究人員羅納爾·里夫斯特、阿里·沙米爾和倫納德·阿德爾曼發現了如何去做這項加密工作的方法。這時就要用到“數學”這門高大上的學問了。

這種加密方法的基礎是關于素數的數學知識。其實我們在小學數學中就學過，素數，又稱為質數，即除了1和它本身以外不能再被其他的除數整除的數，比如2、3、5、7，可以參見下方圖中的素數表。不少數學家已經證明，素數的個數是無窮多的。圍繞素數數目的計算和素數分布的規律等問題，數學家們進行了大量研究，其中也有一些天才的猜想有待解決，包括我國數學家陳景潤部分解決的哥德巴赫猜想以及上面提到的黎曼猜想等。

再回到如何應用素數的知識和規律來加密的問題。我們知道，編寫尋找一個大素數（例如長達150位的素數）的計算機程序是相對容易的，將這樣兩個大素數相乘得到一個300位（或更多）的數（合數）也很容易。但是，反過來，要將這么大的合數分解為它的素因子，那就不是一件容易的事，事實上，幾乎根本是不可能的。更正確地講，用最快的計算機來尋找這樣的素因子要化幾十年，甚至幾個世紀。基于這樣概念的公開密鑰系統叫做RSA系統，這是上面那三位發明人姓的首字母縮寫。這個方法的成功導致成立了一個專門從事數據安全工作的商業公司—美國RSA數據安全公司。

具體來說，RSA方法中使用的解碼密鑰主要是由用戶挑選的兩個大素數組成。這里應當由計算機挑選，不要從任何公開的素數表中挑出，因為那是潛在的敵人很容易發現的。公開的編碼密鑰是這兩個素數的乘積。因為不存在有已知的分解大數快速分解方法，要從公開的編碼密鑰揭露出解碼密鑰，即這兩個素因子，事實上是不可能的。

我們需要指出，編碼實際上并不是將兩個素數相乘得到，解碼也不是由分解因子來進行，而是指密鑰是如何產生的，具體方法因為很復雜，就不詳細介紹了。概括地說，要加密的信息首先被轉換成數字形式，用相當簡單地用數字進行算術運算，就構成了編碼和解碼

過程。

很清楚，RSA系統的安全性（這是許多國際數據網絡使用它的原因）是建筑在數學家不可能發現大數因子化的有效方法的基礎上的。

正如你能期待的那樣，賭注是如此之高，RSA系統的廣泛使用大大地刺激了對尋找素數和將大數因子化的方法的研究。所以上述電視劇中提到伊桑解決了黎曼難題，實際上就是將大數因子化的一種方法。

順便講一句，原則上講RSA系統（以及任何其他系統）加的密，無一例外都是可以破解的，只不過是時間長一些罷了，要花上幾十年、甚至幾個世紀。惟一從本質上講無法解密的加密系統，只有一個，即目前還處于開發階段的“量子密鑰”。量子體系有一個奇特的性質：一個狀態下，只要對它進行“測量”，它就會變掉。要破解量子密鑰，就要對它“測量”，但一經“測量”它就變掉了，所以量子密鑰是永遠無法破解的。量子密鑰是量子信息理論中的一個部分。我國在量子信息的研究方面，處于國際領先地位。

（本文材料主要取自《數學緝兇》一書，上海科技教育出版社2011年第1版）