超視距防空導彈中末制導交接班時的目標捕獲概率研究

劉少波，趙良玉

(1.北京理工大學 宇航學院，北京　100081；2.北京電子工程總體研究所，北京　100854；3.飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京　100081)

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超視距防空導彈中末制導交接班時的目標捕獲概率研究

劉少波1,2，趙良玉1,3

(1.北京理工大學 宇航學院，北京100081；2.北京電子工程總體研究所，北京100854；3.飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京100081)

中末制導交接班時的目標捕獲概率是超視距防空導彈作戰過程中的一個重要指標。為了快速計算中末制導交接班時的目標捕獲概率，通過將導彈和目標的三維空間散布轉換為視線坐標系下彈目相對位置向量的均值和方差，建立了一種紅外導引頭中末制導交接班時的目標捕獲概率解析計算模型，并利用蒙特卡洛方法驗證了其有效性。以此模型為基礎，采用正交試驗方法完成了目標捕獲概率的靈敏度分析，極差和方差分析結果均表明，導引頭視場角對目標捕獲概率的影響最顯著，彈目相對位置向量在視線坐標系OyL軸和OzL軸上投影的方差次之。

防空導彈；中末制導交接班；目標捕獲概率；正交試驗；方差分析

0　引言

在新軍事變革的牽引和推動下，超視距作戰將是當下及未來防空導彈的重要模式和發展趨勢，近年來的多次局部戰爭也很好地證明了超視距防空作戰的必要性。復合制導是防空導彈實現超視距作戰的重要基礎，其基本思想是在導彈成功發射后，依據設定的中制導律接近并捕獲目標，繼而轉入末制導飛行最終成功擊毀目標。導引頭在中末制導交接班時對目標的可靠捕獲是末制導得以順利實施的關鍵[1]，如何準確評估中末制導交接班時的目標捕獲概率(也稱為目標截獲概率)是復合制導體制中的一項重要研究內容[2]。

采用蒙特卡洛方法進行大量的制導控制彈道仿真無疑是求取目標捕獲概率的途徑之一[3]，但這種方法需要建立完整的制導控制系統仿真模型，以及成千上萬次的重復仿真才能得到較為可靠的結果。如文獻[4]，針對不同的初始條件對導彈攻擊目標過程進行蒙特卡洛仿真，根據置信水平選取仿真次數，并通過統計分析得到導引頭捕獲目標概率。制導控制系統完整模型在導彈總體方案設計階段的不完備及其巨大的計算量一定程度上限制了該方法的應用范圍。為了彌補蒙特卡洛方法計算目標捕獲概率的不足，可采用目標指示誤差來描述影響目標捕獲概率的主要誤差源，從而利用各誤差的概率分布特點，通過一次彈道計算來獲得目標捕獲概率[5]。如文獻[6]，假設目標指示誤差服從瑞利分布，建立了導引頭的角度捕獲概率模型，并借助誤差傳遞模型解算目標捕獲概率。同樣也可將影響目標捕獲概率的各種誤差源等效為導彈位置的散布和偏差，從而推導得到導引頭開機捕獲概率的計算模型和簡化模型[7]。

本文以某型采用紅外導引頭的超視距防空導彈為研究對象，首先由彈目相對位置關系建立了目標捕獲模型；接著給出了目標捕獲概率的解析式近似計算模型，并采用蒙特卡洛方法驗證了所建立模型的有效性；最后以此模型為基礎對目標捕獲概率進行了靈敏度分析。結果表明，紅外導引頭的視場角對目標捕獲概率影響最顯著，彈目相對位置向量在視線坐標系OyL軸和OzL軸投影的方差次之。

1　目標捕獲誤差及捕獲條件

對于采用紅外導引頭作為敏感裝置的末制導體制而言，目標捕獲只需考慮角度捕獲和距離捕獲即可[8]。超視距防空導彈在中末制導交接班時的目標捕獲概率主要受以下不確定因素的影響[7]：

(1)導彈位置、姿態和速度的不確定性：導彈初始值裝定誤差、慣導儀器測量誤差、指令的延遲等均可能造成中末制導交接班時的導彈位置、姿態和速度偏差。

(2)目標位置、姿態和速度的不確定性：地面觀測站的測量誤差、目標的機動飛行、目標運動預測誤差等因素將造成中末制導交接班時的目標位置、姿態和速度偏差。

(3)導引頭指向不確定性：導引頭的安裝誤差、陀螺漂移誤差及光學系統測量誤差、伺服機構誤差和導引頭內部各部件的不一致等因素將造成中末制導交接班時的導引頭指向存在一定偏差。

綜合考慮以上偏差，中末制導交接班時的導引頭目標捕獲模型可示于圖1，圖中X、μ分別為彈目相對位置的向量及其期望，D0為導引頭的指向分布中心向量，D為導引頭實際指向向量，εL為彈目視線誤差角，εd為導引頭實際指向和實際彈目相對位置向量的夾角，φd為導引頭指向誤差角，φdd0為導引頭實際指向與導引頭指向向量分布中心向量的夾角。

圖1　導引頭捕獲目標示意圖

將導彈和目標在地面坐標系下的實際位置向量XM和XT分別為

導彈和目標的位置分布中心μM和μT分別為

將紅外導引頭在中末制導交接班時成功捕獲目標需要滿足的距離捕獲和角度捕獲條件描述如下：

(1)距離捕獲：彈目間的距離R小于等于導引頭最大捕獲距離Rsmax；

(2)角度捕獲：εd小于等于導引頭視場角αf。

2　目標捕獲概率模型

為了便于建立目標捕獲概率的解析式模型，基于圖1做如下合理假設：

(1)導彈和目標在空間中服從三維正態分布；

(2)假設導引頭自身的伺服系統可修正其指向誤差，即假設εd=εL。

則由紅外導引頭中末制導交接班時的捕獲條件可得目標捕獲概率為

(1)

將導彈和目標所服從三維正態分布的概率密度函數分別寫為

式中BM和BT分別為導彈和目標位置的誤差協方差矩陣。

由正態分布的性質，彈目相對位置向量X也將服從正態分布，且其均值μ和協方差矩陣B可分別寫為

則彈目相對位置向量X的概率密度函數為

(2)

將式(2)代入式(1)，即得紅外導引頭的目標捕獲概率表達式為

從式(3)和積分性質可知，當αf或者Rsmax增大時，積分區域變大，式(3)的積分結果也會變大，即捕獲概率P和αf、Rsmax正相關。

需要指出的是，在式(3)的推導過程中，設計者需要知道的信息為中末制導交接班時的導彈散布信息和目標散布信息。其中，導彈的散布信息由研制人員提供，可保證準確性；而目標的散布信息取決于攻擊方對其性能的了解程度及對其運動狀態的監測和預測精度，難免存在一些偏差，但從統計學的角度來講，可適當放寬方差的要求，對獲得較為可靠的目標捕獲概率計算結果影響較小。

為求取積分(3)，可用面積相等的橢圓域

考慮一般情況下存在σyL≈σzL，可將式(3)最終寫為

(4)

其中

式(4)即為本文推導得到的紅外導引頭在中末制導交接班時的目標捕獲概率解析表達式。為書寫方便，下文略去下標L。和蒙特卡洛方法計算目標捕獲概率相比，完成一次目標捕獲概率的解算可能需要進行多達800次的導彈攻擊過程蒙特卡洛仿真[4]，而本文提出的解析模型只需要知道μx、σx、σy、σz、αf、Rsmax的值即可通過式(4)求得目標捕獲概率，大大減少了計算量。

圖2　視線坐標系下的積分區域

同時，由式(4)可看出，影響目標捕獲概率的因素主要包括μx、σx、σy、σz、αf、Rsmax，但由于式(4)是高度非線性的，很難直觀判斷各因素對其影響的顯著程度，下面在完成該計算模型的驗證后將通過數值仿真方法來分析各因素對目標捕獲概的影響程度。

3　目標捕獲概率模型驗證

和基于制導控制彈道計算目標捕獲概率的蒙特卡洛方法不同，將用于驗證式(4)有效性的蒙特卡洛仿真方法描述如下：依據給定分布的μx、σx、σy、σz，可生成n個服從三維正態分布的向量，若該向量落在指定區域內的次數為m，則導引頭的目標捕獲概率為

取αf=3°、Rsmax=8 km、σy=σz=120 m、μx=6 km，當σx從1 m取到500 m，分別采用蒙特卡洛方法(結果記為P1)和式(4)計算目標捕獲概率(結果記為P2)。其中，蒙特卡洛方法在每一個σx處進行100 000次的數學仿真，2種計算方法的結果如圖3所示，圖4為本文建立的目標捕獲概率近似模型與蒙特卡洛方法的計算結果殘差。從圖3和圖4可見，式(4)的計算結果和由蒙特卡洛方法獲得的計算結果趨勢相同，2種方法的殘差數量級為10-3，解析表達式的計算結果準確性可以接受。

圖3　蒙特卡洛方法和解析式計算結果對比

圖4　蒙特卡洛方法和解析式計算結果的殘差

圖5是其他變量不變時目標捕獲概率P分別隨αf、Rsmax、μx、σy的變化趨勢，其中蒙特卡洛方法的計算結果記為P1，式(4)的計算結果記為P2。從圖5可見，一方面，2種方法的計算結果相差不大，證明了式(4)的正確性，另一方面可結合圖4定性分析各因素對目標捕獲概率的影響情況：位置誤差σx、σy、σz的增大會導致P減小，且σy、σz的(其中σz的影響等同于σy，圖5中不再列出)影響明顯大于σx；隨著μx增大P先增大，但當μx大于最大捕獲距離后，P急劇減小；當最大捕獲距離在μx的3σ之內時，P隨Rsmax增大而增大，在此范圍外基本不受影響；P隨αf增大而增大并趨近于1.0。

4　目標捕獲概率靈敏度分析

4.1正交試驗設計

為進一步定量分析μx、σx、σy、σz、αf、Rsmax對中末制導交接班時目標捕獲概率的影響，找出影響最顯著的因素，設計正交試驗來進行仿真和靈敏度分析[9]。以某型采用紅外導引頭的超視距防空導彈為例，將上述每個因素取5水平，得到因素水平表如表1所示。

本實驗為6因素5水平實驗，可選用L25(56)標準正交表[10]。正交表和采用近似目標捕獲概率計算模型式(4)計算得到的目標捕獲概率如表2所示。

表1　因素水平表

表2　正交試驗結果

圖5　目標捕獲概率的變化趨勢

4.2極差分析

極差R反映了各因素水平變動時，試驗指標的變動幅度，R越大，則這個因素對試驗指標的影響也越大。故可依據R的大小，來判斷影響因素的主次[11]。

設因素μx所在列為Ti(1)，且ti(1)(i=1,2,3,4,5)的計算公式為

(5)

則極差的計算公式為

(6)

式中μxi代表μx第i個水平的取值；j代表第j個因素。

μx、σx、σy、σz、αf、Rsmax利用式(5)和式(6)可計算得到表3。由表3最后一行的數據可看出，αf對目標捕獲概率的影響最大，其次是σy和σz，μx和σx更次之，Rsmax對目標捕獲概率的影響最小。各因素與捕獲概率的趨勢如圖6所示，可看出αf越大，捕獲概率越大；αy和σz越大，捕獲概率越小。各因素的最優水平分別為5、1、1、1、5、3，對應各因素的值分別為μx=7.5 km、σx=200 m、σy=σz=120 m、αf=5°、Rsmax=10 km。

圖6　各因素水平與捕獲概率的變化圖

μxσxσyσzαfRsmaxT(1～6)14.13364.59904.88444.88453.87144.3877T(1～6)24.25424.13314.58134.46344.22234.410T(1～6)34.55504.43744.48694.46574.44514.4832T(1～6)44.49624.44724.15844.28694.62824.2951T(1～6)54.60604.42833.93393.94464.87804.4680t(1～6)10.82670.91980.97690.97690.77430.8775t(1～6)20.85080.82660.91630.89270.84450.8822t(1～6)30.91100.88750.89740.89310.88900.8966t(1～6)40.89920.88940.83170.85740.92560.8590t(1～6)50.92120.88570.78680.78890.97560.8936R(1～6)0.09450.09320.19010.18800.20130.0376

4.3方差分析

極差分析簡單有效，但它不能估計誤差的大小，即不能精確的估計哪些因素對試驗指標有顯著影響，特別是對于水平數大于等于3且需要考慮交互作用的試驗，極差分析法有其局限性[11]。方差分析可用于檢驗多組樣本均值間的差異是否具有統計意義，以彌補極差分析的不足。

方差分析的基本原理是用總偏差平方和SST來表征25組樣本間的捕獲概率與其總均值偏差的和，總偏差平方和的計算公式和總自由度fT分別為

式中r為任一列上各水平出現的次數；m為各因素水平數。

二是誤差平方和，為25組樣本的目標捕獲概率與其相應水平的目標捕獲概率均值偏差的和，用于表征組內差異，其計算方法和自由度fe為

式中k為因素個數。

本試驗次數n=25，總自由度fT=24，各因素及誤差自由度分別為4和0。為估計試驗誤差，增加一組試驗：σy=σz=600 m、σx=600 m、αf=3°、Rsmax=8 km、μx=7.5 km，對應的目標捕獲概率為0.482 1。則總試驗次數變為26，各因素及誤差自由度分別變為4和1，得方差分析結果如表4所示。

表4　方差分析結果

根據各因素的偏差平方和可知，各因素影響重要程度排序為αf>σy>σz>μx>σx>Rsmax。方差分析結果與極差分析結果一致。

從方差分析結果還可看出，視線坐標系下彈目相對位置向量的均值、其在OxL方向的方差及導引頭的最大捕獲距離這3個因素對應的均方差很小，說明對試驗結果的影響很小，這些小的均方差通常可作為誤差處理，同時將相應的自由度也并入誤差自由度，從而提高誤差估計的精度。將μx、σx、Rsmax并入誤差，得到誤差e′。根據顯著性分布表得F0.05(4,13)=3.18，可看出導引頭視場角和彈目相對位置向量在OyL方向的方差是顯著因子，即它們對目標捕獲概率的影響顯著。

5　結論

(1)通過將導彈和目標的三維空間散布轉換為視線坐標系下彈目相對位置向量的均值和方差，建立了一類超視距防空導彈中末制導交接班時的目標捕獲概率解析計算模型，利用蒙特卡洛方法驗證了其有效性。該解析模型大幅度降低了目標捕獲概率的計算量，可用于工程實踐中快速計算中末制導交接班時的目標捕獲概率。

(2)以本文建立的目標捕獲概率模型為基礎，采用正交試驗方法完成了目標捕獲概率的靈敏度分析，極差和方差分析結果均表明，導引頭視場角對目標捕獲概率的影響最顯著，彈目相對位置向量在視線坐標系OyL軸和OzL軸上投影的方差次之，彈目相對位置向量的均值、其在OxL方向的方差及導引頭的最大捕獲距離的影響較小。

[1]劉驍, 唐勝景, 朱大林, 等. 制導彈藥末段目標截獲概率研究[J]. 兵工學報, 2015,36(2): 287-293.

[2]張鑫, 張丕旭. 防空導彈中末制導交班成功概率評估方法[J]. 四川兵工學報, 2013,34(2): 41-44.

[3]秦榮華. 遠程攻擊末制導目標截獲概率數字仿真[J]. 上海航天, 2005(3): 26-28.

[4]趙曉睿, 高曉光, 張建東. 主動雷達型空空導彈截獲概率分析[J]. 飛行力學, 2002,20(3): 59-62.

[5]樊會濤. 復合制導空空導彈截獲目標概率研究[J]. 航空學報, 2010,31(6):1125-1129.

[6]謝希權, 易華. 多目標攻擊空空導彈的目標截獲概率分析[J]. 電光與控制, 2001(2): 33-36.

[7]張大元, 雷虎民, 李海寧, 等. 復合制導導引頭開機截獲概率估算[J]. 固體火箭技術, 2014,37(2): 150-155.

[8]李友年, 王霞, 李記新, 等. 無數據鏈情況下紅外空空導彈射后截獲概率研究[J]. 四川兵工學報, 2013,34(10): 4-7;15.

[9]唐明南, 張維剛, 宋海凌, 等. 防空導彈武器中末制導交班靈敏度分析[J]. 現代防御技術, 2012,40(2): 36-40;64.

[10]王巖, 隋思漣. 試驗設計與MATLAB數據分析[M]. 北京: 清華大學出版社, 2012.

[11]Weiss M, Bucco D. Handover analysis for tactical guided weapons using the adjoint method [C]//AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit,2005: 6157.

(編輯：呂耀輝)

Target acquisition probability at hand-off from midcourse to terminal guidance of a BVR air defense missile

LIU Shao-bo1,2，ZHAO Liang-yu1,3

(1.School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing100081, China; 2.Beijing Institute of Electronic System Engineering, Beijing100854, China;3.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle, Ministry of Education, Beijing100081, China)

The target acquisition probability is an important parameter at hand-off from midcourse to terminal guidance of a beyond visual range (BVR) air defense missile. In order to calculate the target acquisition probability with low computational cost, the distributions of the missile and the target in three-dimensional space were transformed to the mean and variance of relative range vector in line-of-sight coordinate firstly, and then an analytical model was established to calculate the target acquisition probability of a kind of missile with an infrared seeker. After the analytical model was verified by the Monte Carlo method, it was employed to investigate the sensitivity of the target acquisition probability by means of orthogonal experiments. The results of range analysis and variance analysis both prove that the influence of seeker field angle on the target acquisition probability is dominated, and influences of variances of projections of relative range vector alongOyLandOzLdirection in line-of-sight coordinate are the second.

air defense missile；hand-off from midcourse to terminal guidance；target acquisition probability；orthogonal experiment；variance analysis

2015-06-19；

2015-07-20。

國家自然科學基金(11202023)。

劉少波(1994—)，男，碩士生，研究方向為飛行器總體設計。E-mail:1120113088@bit.edu.cn

趙良玉(1981—)，男，博士/副教授，研究方向為飛行器總體設計。E-mail:zhaoly@bit.edu.cn

V448

A

1006-2793(2016)05-0723-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.05.022