平面電路中的約束條件與電路方程的獨立性分析

◆李福新

平面電路中的約束條件與電路方程的獨立性分析

◆李福新

利用數學歸納法證明僅含有兩端元件的平面電路中支路、結點、網孔之間的關系，并由此得出平面電路中方程的獨立性原則，該原則是支路電流分析法的理論基礎。

平面電路；基爾霍夫定律；數學歸納法

10.3969/j.issn.1671-489X.2016.03.156

1　序言

在直流電阻電路的分析計算方法中，支路電流法是以支路電流為求解變量的電路分析方法［1］。支路電流法是根據各個元件上的VAR（元件約束）和電路各結點的KCL、網孔的KVL（拓撲約束）關系，以電路中各條支路上的電流為未知量，建立數目足夠且相互獨立的方程組，通過求網孔電壓KVL和結點的KCL結合列出足夠且相互獨立的方程組，并求解的過程。方法指出，可以根據電路中的結點數n，列出n-1個獨立的電流方程；根據電路中的網孔個數m，列出m個獨立的電壓方程。這樣，總的方程數（n-1）+m正好可以求解出電路中全部b條支路中的電路，即b=（n-1）+m。

考慮到拓撲約束證明的數學內容并非機電類工科學生的必修內容，且比較難掌握，在教學中通常只是讓學生記住此結論，而并不加以證明。有學生對此提出疑問：“電路的支路條數b、網孔數m和結點個數n肯定滿足以上關系嗎？如果有特例，豈不是無法正確求解？”

為了解答學生的疑問，筆者首先用數學方法證明以上結論的正確性，并在此基礎上討論平面電路方程的獨立性問題。

2　電路中的常用名詞

先明確電路中的幾個常用名詞的概念，這一點很重要。因為在不同的依據中，某些名詞概念的含義是不同的，特別是支路、結點的概念。本文中的支路是按照電路中同一電流習慣給出的，有別與網絡拓撲分析中的定義［2］。

1）平面電路：對于任意扭動電路的分支，將之鋪在一個平面上，若可以避免相交叉而又不連接的現象發生，則稱該電路為平面電路。換言之，平面電路就是可以畫在一個平面上而不使任何電路分支交叉的電路。本文中只討論僅含有兩端元件的平面電路，如圖1平面電路所示。

圖1　平面電路

2）支路（branch）：電路中同一電流流過的分支電路全部。圖1電路中共有六個電流i1、i2、i3、i4、i5、i6，故此有六條支路。

3）結點（node）：電路中三條或三條以上支路的公共連接點。圖1電路中有四個結點，分別是a、b、c和d，而e、f、g不是結點。

4）網孔（mesh）：平面電路中的一個內部無任何支路的閉合回路。圖1電路中有三個網孔，分別是回路a→b→d→e→a、b→c→f→d→b、a→g→c→b→a。

5）基爾霍夫電流定律（KCL）：靜態電路中，流經電路中任一結點的電流代數和恒等于0。

6）基爾霍夫電壓定律（KVL）：任意時刻，沿電路任一回路繞行一周，回路中各個元件上的電壓的代數和恒等于0。

3　數學歸納法（Mathematical Induction）

數學歸納法是一種證明與自然數有關的命題的重要方法。一般的，證明一個與自然數n有關的命題P（n），有如下步驟：

1）證明當n取第一個值n0時命題成立，n0取0或1，或指定的某一具體數；

2）假設n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明n=k+1時命題也成立；

3）綜合前兩步，對一切自然數n（n≥n0）都成立。

數學歸納法的三個步驟中，第一步是證明的奠基，第二步是遞推的依據，這兩個步驟都非常重要，缺一不可。

4　利用數學歸納法證明平面電路中的數學關系

根據以上所介紹的平面電路的基本概念及數學歸納法的證明步驟，若想證明b=（n-1）+m關系式對于任意平面電路都成立，不妨從m=1開始，電路如圖2所示。此電路中n=0，b=1，顯然滿足關系式b=（n-1）+m。

圖2　平面電路m=1

圖2電路是通過增加一條新支路的方法，得到兩個網孔的電路，即m=2。如圖3電路所示，此電路中支路條數b=3，結點個數n=2，很明顯也滿足b=（n-1）+m。

圖3　平面電路m=2

依然通過增加新支路的方法，得到三個網孔電路，即m=3，將會出現三種不同的電路，分別如圖4（a）（b）（c）所示。其中，圖4（a）中電路的結點數不變，即新增的支路是由原電路中的兩個結點之間接入，即n=2，此時支路數變為b=3+1=4；圖4（b）中電路的結點數n=3，即新增的支路是由原電路中的一個結點和增加一個新的結點（可以理解為原電路中的某一條支路上的一個點變為結點）之間接入，此時新電路的支路數b=3+1+2-1=5；圖4（c）中電路的結點數n=4，是由增加的連個新結點之間引入一條支路，則新電路支路數b=3+1+4-2=6。

圖4　兩個網孔的平面電路

通過計算可以得出結論：三種情況中，均滿足關系式b=（n-1）+m。

現在假設某平面電路中的網孔數滿足m=μ（μ≥3，μ為自然數），結點數n=ν（ν為自然數）時，電路中支路條數b=（n-1）+m=（ν-1）+μ關系式成立，則通過增加一條新支路的方法使得網孔數增加1，即m=μ+1。如前所述分析可知，新電路會有三種情況出現：圖5（a）電路中n=ν，b=（ν-1）+ μ+1=（n-1）+m；圖5（b）電路中n=ν+1，b=（ν-1）+μ+1+2-1=（n-1）+m；圖5（c）電路中n=ν+2，b=（ν-1）+μ+1+4-2=（n-1）+m。

可見，對與網孔數為m=μ+1的平面電路，上述關系式依然成立。由以上分析，可知結論b=（n-1）+m對所有平面電阻電路均適用。

圖5　兩個網孔的平面電路

5　平面電阻電路中方程的獨立性

所謂的獨立方程，即任意一個方程都不能由所列的其他方程組合得到［4］。事實上，在一般情況下，對于有n個結點、b條支路的平面電路，可以列出n-1個獨立的KCL方程，這是因為對于n個結點中的前n-1個，可以分別列出獨立的KCL方程，而對于第n個結點，流入的電流其實可以表示為其他所有結點流出電流之和，流出的電流可以表示為其他所有結點流入電流之和，故此并非獨立方程；而在所列的各KVL方程中，可以確定的是以m個網孔為回路所列的KVL方程一定是相互獨立的，即b-（n-1）=m個，其他非網孔的回路所列的KVL方程可以由這m的獨立方程相加得到。因此，通過KCL和KVL所列的（n-1）+m個獨立方程，再加上VAR元件約束條件，可以求解出來任一平面電阻電路中全部b條支路上的電流。

［1］陸國和.電路與電工技術［M］.3版.北京：高等教育出版社，2010.

［2］陳自力，劉學軍.克希霍夫獨立方程數定理的證明［J］.電工教育，1995（3）.

G 712

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1671-489X（2016）03-0156-02

作者：李福新，天津中德職業技術學院基礎課部講師（300350）。