具有雙重不確定性系統的聯合濾波算法

江濤　錢富才　楊恒占　胡紹林

具有雙重不確定性系統的聯合濾波算法

江濤1錢富才1楊恒占2胡紹林1

卡爾曼濾波在高斯白噪聲的假設下是一種最優濾波，基于區間數學理論的集員濾波（Set-membership filter，SMF）能夠有效處理有界噪聲假設下的濾波問題.然而，隨機噪聲和有界噪聲在許多情況下會同時干擾控制系統.由于兩種濾波算法都受到各自適用范圍的限制，使用單一濾波算法難以得到理想的估計結果.本文通過建立具有雙重不確定性系統的模型，提出了一種基于貝葉斯估計聯合濾波算法.該算法用卡爾曼濾波處理系統的隨機不確定性，用集員濾波處理系統的有界不確定性，得出一個易于實現的濾波器.最后通過對雷達跟蹤系統的仿真，結果表明，較單一濾波算法，聯合濾波具有更強的噪聲適應性和有效性.

卡爾曼濾波，集員濾波，雙重不確定性，聯合濾波

引用格式江濤，錢富才，楊恒占，胡紹林.具有雙重不確定性系統的聯合濾波算法.自動化學報，2016，42（4）:535?544

隨機噪聲與有界噪聲同時干擾自動控制系統的現象普遍存在，例如，在雷達跟蹤系統中，接收系統的熱噪聲以及天線受到陣風的影響是典型的隨機噪聲［1］，而加速度的物理特性、外界未知環境不確定干擾等噪聲因素的影響，相比其隨機統計特性獲得邊界是更加可行的［2］；單晶在生長控制過程中，一方面受到隨機對流的作用，另一方面溫度場按偏微分方程演化，而在用有限元方法求解偏微分方程時，需要對不規則區域用三角形進行分割，對于分割接近邊界鄰域的狹小部分通常會忽略，忽略的這部分是有界不確定性；對于非線性隨機系統，在用擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman filter，EKF）時，線性化過程中同樣也忽略了高階余項.這些實例都表明，系統存在兩種不確定性，一種是概率統計特性已知的隨機不確定性，而另一種是已知邊界的有界不確定性，當兩種不確定性同時存在時，本文稱之為雙重不確定性.

系統的不確定性分析存在兩種方法［3］，概率方法和非概率方法，而選擇采用哪種方法往往取決于樣本統計數據的多少及其性質.概率方法需要知道隨機變量的概率統計特性，而區間分析理論（非概率方法）解決不確定問題需要已知有界不確定參數或變量所在范圍的邊界.概率方法適合解決隨機不確定，而非概率方法適合解決有界不確定.在不確定系統的狀態估計問題中，卡爾曼濾波是一種典型的概率方法，集員濾波（Set-membership filter，SMF）［4?7］是一種典型的非概率方法.兩種濾波方法中，卡爾曼濾波以貝葉斯推理為基礎，解決了高斯白噪聲假設下線性系統狀態的最優估計問題；SMF以包含系統真實狀態的外定界橢球集合為基礎，只要求系統噪聲有界，且噪聲界已知，而不需要知道邊界內噪聲的統計特性.相比卡爾曼濾波在每一步估計得到的是一個狀態值，SMF得到的是一個橢球集合，且此集合內的值都是可行解.因此，兩種濾波方法有各自的適用范圍，且都在工程實踐中得到廣泛的應用［8?10］.對于存在兩種不確定性的混合噪聲系統，非高斯白噪聲的存在使單一卡爾曼濾波的估計結果往往過分樂觀［11］，甚至收斂性也不能保證；高斯白噪聲的存在導致單一SMF選取的噪聲邊界會過分保守，估計精度下降.總之，現有方法一般都是假設一種噪聲的存在，意味著人為地排除了另一種噪聲.為克服這些單一濾波算法的局限性，研究具有雙重不確定性系統的濾波問題有重要的理論價值和實際應用前景.

然而處理雙重不確定性噪聲模型問題的研究還處于起步階段，如何將隨機不確定性和有界不確定性整合成一個混合的數學描述，是一個挑戰性問題［12］.面對這個難題，相關文獻已經提出的能夠結合兩種不確定的數學形式有：隨機集合、集合概率密度以及其他不精確概率描述方法.Hanbeck等［13］利用隨機集合提出的統計和集合論信息（Statistical and set-theoretic information，SSI）濾波器，其特點是傳統單一的濾波方法得到的值只是SSI濾波器的邊界情況，即當隨機噪聲為零時，收斂于集合估計；當有界誤差為零時，收斂于貝葉斯估計，該方法的局限性在于只能解決線性標量狀態.Noack等［14］采用集合密度的概念來描述雙重不確定性，即用適合描述不確定集合的集合概率密度取代了單一概率密度函數.Klumpp等［15］比較了基于隨機集合的SSI濾波器和基于集合概率密度的CS（Credal state）濾波器，得出CS濾波器具有更加保守的特點.Henningsson［16］用橢球包含混合噪聲中有界集合部分的估計誤差，通過線性矩陣不等式得到最優濾波增益，該算法的性能受到一個權系數的影響，而該系數的取值取決于實際系統總體噪聲中隨機不確定和有界不確定的某種權重關系，且這種權重關系并沒有定量地給出.Liu等［17］提出的橢球集合濾波算法在解決純方位機動目標的跟蹤問題時，在集員橢球更新的過程中考慮了隨機不確定性，得到了跟蹤性能優于單一EKF的結論.

本文根據隨機不確定性和有界不確定性對估計結果影響的各自特點，將統計特性未知但有界的（Unknown but bounded，UBB）噪聲引入到卡爾曼濾波模型中，得到一組包含集合運算的卡爾曼濾波方程.其中的UBB噪聲應用SMF的思想進行處理，而隨機噪聲應用卡爾曼濾波的思想進行處理，實現了兩種濾波方法的聯合處理.文章的最后將該算法推廣到非線性系統中.

1　數學基礎

1.1數學模型

為了處理包含隨機噪聲和UBB噪聲系統，需要建立能夠正確描述該系統的數學模型，因此，系統狀態方程可寫成如下形式

測量方程

這時，我們得到了包含高斯白噪聲和UBB噪聲的雙重不確定性非線性系統.在解決非線性模型的濾波問題中，非線性模型可以通過線性化來近似表示，為了易于說明，首先考慮系統是線性的式（1）和式（2）寫成如下形式

預測估計協方差矩陣

濾波增益

更新狀態估計值

更新估計協方差矩陣

如果考慮UBB噪聲項，由于高斯白噪聲一階矩為常數，不會引起系統變量均值的變化，而UBB噪聲會引起均值的偏移，因此均值不再是唯一值，定義如下集合

式中δk為UBB噪聲均值集合，ψk為測量輸出均值集合.當系統包含UBB噪聲集合后，可以將點運算變為集合運算.那么類似于式（5）和式（8），狀態的一步預測和更新分別可寫成集合運算的形式

χk稱為條件均值集合，符號⊕表示橢球的閔可夫斯基（Minkowski）和.在隨后的內容中，我們通過適當的方法參數化這些集合，推導出一個能夠處理線性系統的估計方法.

如果考慮系統是非線性的，濾波過程中就需要對非線性系統線性化，然而在這類混合噪聲模型中，此時估計的并不是一個值，而是一個狀態集合，因此，EKF中用的線性化方法在處理該問題時并不適用，如何找到一種合適的近似方法將在第2.2節中討論.

這里建立的雙重不確定性模型，都是假定合理有效的.然而由于實際系統中噪聲的復雜性，建立合理有效的模型并不容易.事實上，隨機和有界很難嚴格地劃分，并且也可以近似地相互轉換.例如，高斯白噪聲，如果用有界的形式表示，可以采用3σ置信區間，選取的噪聲邊界為高斯白噪聲方差σ的3倍，那么噪聲在3σ區間的概率為99.73%.對于有些情況下定義的有界噪聲，并非是指邊界內噪聲的統計特性完全未知，可能的情況是統計特性已知但屬于非高斯分布，當非高斯程度較小時，這時完全可以根據有界噪聲的期望和方差來轉化為近似高斯分布的隨機噪聲.因此，只有對實際噪聲的合理劃分，才能建立合理有效的雙重不確定性模型，但這需要對系統進行大量的分析和實踐.

1.2橢球集合及其運算性質

在給出的雙重不確定性模型中，我們已經分離出模型的有界部分，SMF是一種基于集合論的估計方法，解決了有界集合如何被橢球近似包含的問題，以及濾波過程中的集合運算問題.下面介紹集員相關的定義與定理.

假設線性動態模型存在UBB噪聲，在此條件下，狀態估計由點估計變為一個狀態可行集合的估計問題，UBB噪聲集合和狀態可行集均可以用橢球集合來近似描述.

這里注意η（·）與ηβ（·）的區別，η（·）的自變量為橢球集合，ηβ（·）的自變量為向量.

去掉上式中max函數，得到不等式形式

引理1.支持函數存在如下運算性質：

根據引理1中支持函數的性質，假設式（12）中條件均值集合χk?1和UBB噪聲的邊界集合δk包含在橢球集合（閉凸集）內，將式（12）寫成如下支持函數計算形式

由于集合的線性運算保留集合“凸”的特性，那么預測條件均值集合χk，k?1為凸集.

同樣假設測量輸出集合ψk也包含在橢球集合內，那么式（13）可寫成

同理，計算得到的更新條件均值集合χk也是凸集.可以看出，支持函數將橢球集合運算中Minkowski和轉換為加法.

根據上面的內容可知，濾波模型中加入了有界集合，有界集合可以用橢球集合來包含.定義1給出了橢球集合的描述，但該描述下的兩個橢球集合不能直接進行運算，因此，定義2給出了橢球集合的支持函數，引理1給出了支持函數的運算性質.雖然引理1中的和的Minkowski和求出的是一個凸集，但并不意味著該凸集是一個確定形狀大小的集合.也就是說，兩個橢球集合的Minkowski和不會產生一個新的橢球，例如式（18）中的凸集χk，k?1形狀大小就不能確定.一般可行的方法就是找到包含兩個橢球集合和Minkowski和的外定界橢球如圖1所示.

圖1　外定界橢球Fig.1　Outer bounding ellipsoid

式中

假定一個橢球

如圖1所示，由于兩個橢球的Minkowski和并不能直接表示為一個橢球，為了使橢球F（a aa，S）能夠包含橢球和的Minkowski和，則必須滿足不等式［5］

式中η（·）為支持函數，根據支持函數的定義，則

取外定界橢球中心

取正定矩陣S為S1與S2的線性組合

那么式（26）可以表示為

顯然，當滿足下式時，不等式（30）必然成立

令可行標量p滿足γ?1=p?1，ρ?1≥p，則

即S（p）可以表示為

已知橢球集合描述中的S表征橢球的形狀大小，通過定理2可以看出，包含兩個橢球的Minkowski和的外定界橢球是關于形狀大小矩陣S（p）的函數，p為引入的可行標量，不同的p對應不同的矩陣S，不同的S又對應不同形狀大小的外定界橢球，在所有這些外定界橢球中，希望找到某種優化意義下的封閉橢球.

1）容積最小意義下的最小容積橢球可由如下方程計算

2）半軸平方和最小意義下的最小跡橢球可由如下方程計算

即等價于求取方程（35）特征值.

即等價于求取式（36）.

可以看出，p可以在不同的最優意義下計算得到.獲得最小容積橢球的計算需要求解方程（35），需要較大的計算量，而通過式（36）獲得最小跡橢球計算簡單.此外，跡是更加適當的標準，因為半軸的最大長度等價于一個有界誤差的最大邊界.

2　聯合濾波算法

基于前面集員的知識，本文提出一種包含橢球集合運算，且同時能夠處理隨機和有界噪聲的濾波算法該算法將噪聲的隨機部分和有界部分分別處理，隨機部分的處理運用卡爾曼濾波的思想，而有界部分的處理運用SMF的思想，由于該算法結合了兩種濾波思想，我們將其稱之為聯合濾波.下面將線性系統和非線性系統分別展開討論.

2.1線性系統

時間更新

狀態集合一步預測

此時的狀態用橢球集合表示.由于橢球集合δk中心為0，依據定理1及定理2，包含狀態集合χk，k?1的外定界橢球的中心值為

表征橢球形狀大小的矩陣Sk，k?1為

式中p的選擇依據定理3的結論.

協方差矩陣一步預測

測量更新

狀態估計集合

濾波增益

類似預測步驟，包含狀態集合χk的外定界橢球的中心為

表征橢球形狀大小的矩陣為

同樣，式中q的選擇依據定理3的結論.

估計誤差方差陣

對于受到隨機和有界兩種噪聲影響的線性系統，為了描述統計特性未知的有界噪聲，引入均值集合的概念：零均值的高斯白噪聲不會引起均值的偏移，而UBB噪聲會引起均值的偏移，將這些所有可能的偏移用集合的形式表達，即均值集合.因此，相比傳統的卡爾曼濾波，當利用橢球邊界來描述有界噪聲時，需要多考慮一個參數.橢球中心均值的計算（式（40）和式（45））和協方差矩陣的計算（式（43）和式（47））都是基于卡爾曼濾波方程實現，而描述橢球形狀大小的矩陣利用集員濾波的思想實現（式（41）和式（46）），且時間更新和測量更新步驟都涉及橢球Minkowski和的計算，并產生一組條件均值.本文在計算外定界橢球時采用定理3中的最小跡橢球，當然，相比較傳統的卡爾曼濾波，相應地增加了計算量.

2.2非線性系統

EKF在處理非線性濾波問題時，通過線性化逼近非線性函數，其中所述的線性化是在該點（預測值）的一階泰勒級數展開獲得.然而，這類雙重不確定性系統預測的已不再是唯一的點，當然不能再以相同的方式實現系統模型的線性化.因此，我們需要找到一種能夠線性化均值集合的方法.為了完成這個目的，將采用文獻［19］中提出的方法.

我們需要選擇一組近似點，近似點的選擇依據是：對狀態方程和測量方程仿射映射近似時參數的計算，以盡量減少非線性函數的函數值和那些選擇適當近似點的線性化值的加權平方誤差和.選擇近似點的方法依賴于估計橢球集合的形狀大小.在文獻［19］中，N維橢球建議選擇4N+1個近似點，且這些點等間距的分布在橢球的軸上，如圖2所示.在隨后討論的時間更新和測量更新過程中，將采用該方法來實現非線性函數的線性近似.

圖2　橢球集合近似點Fig.2　Ellipsoid set approximate points

非線性系統的近似仿射可寫成如下形式：狀態方程

測量方程

定義如下矩陣

通過加權最小二乘，可解得線性化后的參數

至此，包含橢球集合的非線性系統完成了線性化.

時間更新

由于線性化已得到矩陣Ak，則其余步驟與第2.1節的時間更新一致.

測量更新

同樣，由于線性化已得到矩陣Hk，其余步驟與第2.1節的測量更新一致.至此，實現了非線性系統的聯合濾波.

本節中線性化是通過最小二乘擬合的方法實現的，與EKF計算雅可比矩陣不同，該方法線性化近似的精度取決于系統的階數和選取近似點的數量，對于高階系統，這將導致矩陣Lk，Fk，Gk，βk，αk維數較大和最小平方和的計算變得復雜.在這種情況下，可以選擇以犧牲精度為代價，選取較少的近似點來減少運算量.

3　仿真實驗

3.1實驗場景

二維平面內，觀測雷達建立在坐標原點，設定飛行目標在平面內做勻速直線運動，給出非線性系統描述如下：

由于系統狀態方程為線性，而測量方程為非線性，仿真中預測步驟按照第2.1節中的時間更新，校正步驟按照第2.2節中的測量更新.

3.2仿真結果

由于實驗場景中系統存在噪聲，目標實際運動只能是近似勻速直線運動.下面分別采用EKF、擴展集員濾波（Extended set-membership filter，ESMF）［20］及本文提出的聯合濾波算法對目標運動軌跡進行跟蹤.

單獨一次實驗中，三種算法跟蹤結果如圖3所示，與EKF相比，聯合濾波算法和ESMF算法估計得到的是一個集合.仿真中，為了顯示聯合濾波估計集合，選取若干等間距橢球中心（?號表示）并畫出其表示的橢球集合.同樣，ESMF估計出的也是一個邊界集合，這里為了方便顯示，圖中只給出了ESMF估計集合的中心.為了測試濾波算法的性能，進行100次蒙特卡羅仿真，圖4和圖5分別給出了位移分量和速度分量的均方根誤差（Root mean square error，RMSE）.

圖3　目標軌跡跟蹤Fig.3　Target trajectory tracking

圖4　位移均方根誤差Fig.4　Root mean square error of displacement

圖5　速度均方根誤差Fig.5　Root mean square error of velocity

由圖4和圖5以及表1可以看出，對于本仿真設定的混合噪聲，聯合濾波算法的均方根誤差好于ESMF，接近EKF算法.相比EKF，新算法沒有獲得更好的估計結果是由于SMF算法是一種以保守性換取魯棒性的算法，而聯合濾波中處理有界部分采用了SMF的思想.雖然聯合濾波目前在精度上不存在優勢，但該算法有如下特點：1）對有界噪聲的區別處理，避免了卡爾曼濾波在非高斯假設下導致的濾波性能下降，因此，同SMF一樣，聯合濾波得到的估計結果也是一種邊界保證估計，即邊界內的值都是可靠的.如圖3中，真實值（實線）保證在橢球區域內.2）聯合濾波算法不但具有較強的魯棒性，而且未來通過進一步建模分析系統未建模誤差以及線性化誤差邊界，使得選取的噪聲邊界盡量的“緊”，從而進一步提高系統的估計精度［21］.3）允許我們從更深入的視角分析系統對非隨機噪聲的敏感度.

表1　RMSE均值對比Table 1　Comparison of RMSE means

4　結論

本文根據混合噪聲中隨機部分和有界部分的特性，提出的聯合濾波算法解決了線性系統和非線性系統存在混合噪聲情況下的濾波問題.由于高斯白噪聲一階矩陣為常數，而UBB噪聲會引起誤差均值發生偏移，因此，該算法得到估計結果可以理解為是具有一定誤差邊界的卡爾曼濾波值，且邊界內的值都是有效的.然而，聯合濾波在處理過程中，在傳統卡爾曼濾波的基礎上增加了橢球集合的相關運算，非線性系統選取近似點線性化的過程中更進一步增加了計算量，尤其是在系統維數較高以及近似點的選取數量較多時.這類非線性系統在線性化過程中，如何能夠提高近似精度和減少計算量是需要關注的問題.另外，狀態估計橢球中“點”的選取值得考慮，目前一般都是選取橢球中心點作為估計值.那么選取中心點與可行橢球集合中其他點的區別以及對濾波性能的影響也是未來需要研究的重點.

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江 濤西安理工大學自動化與信息工程學院博士研究生.主要研究方向為濾波算法，衛星導航，移動通信. E-mail:jiangtao.xaut@gmail.com

（JIANG TaoPh.D.candidate at the School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology.His research interest covers filtering algorithms，satellite navigation，and mobile communication.）

錢富才西安理工大學自動化與信息工程學院教授.主要研究方向為隨機控制，系統辨識，非線性控制，最優控制，故障診斷和全球定位系統.本文通信作者.E-mail:qianfc@xaut.edu.cn

（QIANFu-CaiProfessor at the School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology.His research interest covers stochastic control，systems identification，nonlinear control，and large-scale systems.Corresponding author of this paper.）

楊恒占西安理工大學自動化與信息工程學院博士研究生，西安工業大學講師.主要研究方向為最優控制，隨機控制，系統辨識.E-mail:yanghengzhan@xatu.edu.cn

（YANG Heng-ZhanPh.D.candidate at the School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology，and lecturer at Xi'an Technological University.His research interest covers optimal control，stochastic control，and system identification.）

胡紹林西安理工大學自動化與信息工程學院教授.主要研究方向為過程監控，系統安全，導航與控制，故障診斷與容錯計算.E-mail:hfkth@126.com

（HUShao-LinProfessor at the School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology.His research interest covers process monitoring，system safety，navigation and control，fault diagnosis，and outlier-tolerant computing.）

A New Combined Filtering Algorithm for Systems with Dual Uncertainties

JIANG Tao1QIAN Fu-Cai1YANG Heng-Zhan2HU Shao-Lin1

Kalman filter is optimal under the assumption of Gaussian white noise，while the set-membership filter（SMF），which is based on interval mathematics，can deal with bounded noise efficiently.However，in many situations，the actual control system is usually interrupted by both random noises and bounded noises simultaneously.It is not easy to obtain expected results by using only one single filter，due to the limited application fields of the two filtering algorithms.In this paper，according to the established system model with dual uncertainties，a new kind of filter named combined filter is proposed，which is based on Bayesian estimation.This algorithm can deal with random uncertainties by applying Kalman filter，and can deal with bounded uncertainties by applying set-membership filter.Accordingly，a new kind of easy filter is produced.The effectiveness of the new filtering algorithm is verified in a radar tracking simulation system.From the simulation results，the combined filter algorithm can produce better adaptability and effectiveness than any one single filter.

Kalman filter，set-membership filter（SMF），dual uncertainties，combined filter

Manuscript July 30，2015；accepted December 22，2015

10.16383/j.aas.2016.c150486

Jiang Tao，Qian Fu-Cai，Yang Heng-Zhan，Hu Shao-Lin.A new combined filtering algorithm for systems with dual uncertainties.Acta Automatica Sinica，2016，42（4）:535?544

2015-07-30錄用日期2015-12-22

國家自然科學基金（61273127，61473222，61533014），航天器在軌故障診斷與維修實驗室開放課題（SDML_OF2015004），陜西省科技創新團隊（2013KCT-04）資助

Supported by National Natural Science Foundation of China（61273127，61473222，61533014），theKeyLaboratoryfor FaultDiagnosisandMaintenanceofSpacecraftinOrbit（SDML_OF2015004），and Innovative Research Team of Shaanxi Province（2013KCT-04）

本文責任編委夏元清

Recommended by Associate Editor XIA Yuan-Qing

1.西安理工大學自動化與信息工程學院 西安 7100482.西安工業大學自主無人系統研究中心西安710021

1.School of Automation and Information Engineering，Xi'an University of Technology，Xi'an 7100482.Research Center of Autonomous Unmanned Systems，Xi'an Technological University，Xi'an 710021