一類具記憶項的二階非線性發(fā)展方程的能量衰減估計

吳佳睿，蒲志林

（四川師范大學　數(shù)學與軟件科學學院，成都 610066）

一類具記憶項的二階非線性發(fā)展方程的能量衰減估計

吳佳睿，蒲志林

（四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院，成都 610066）

主要研究一類具有記憶項的二階非線性發(fā)展方程的能量衰減估計，通過運用積分不等式以及索布列夫空間嵌入定理，證明該方程柔和解的能量呈指數(shù)衰減。

全局存在性；指數(shù)衰減；非線性波方程；積分微分方程

0 引 言

設Ω?Rn是具有光滑邊界Γ的有界區(qū)域，考慮以下的粘彈性膜方程：

問題（1）描述的是具記憶項的材料力學問題。其中γ是正常數(shù)，△是拉普拉斯算子，β稱為記憶項。文獻［1-3］通過Lyapunov方法研究了方程（1）的某種擾動能量，得出了解的存在性及能量衰減性質，文獻［4］研究了方程（1）的原始能量，得出了能量的衰減估計，但添加了對記憶項的限制：β（0）＞0，β′（t）≤0，。本文弱化了限制條件，使其結果可運用到更廣泛的情況。

為此考慮抽象空間X（X是一個Hilbert空間）上的抽象方程：

其中A=-△是自共軛線性算子，并且在其定義域稠密。▽F是Gateaux可微泛函F的梯度算子。

本文的主要目的是在對記憶項β具有更弱的限制條件下，對方程（2）的能量作出衰減估計。這個弱化的限制條件是：

β∶［0，∞）→［0，∞）是局部絕對連續(xù)函數(shù)，且存在α（t）≥0，使得下列條件滿足：

為了方便研究，下面一節(jié)將介紹必要的預備知識與基本假設，最后將給出文章的主要結論及證明。

1 預備知識與基本假設

假設X是一實H ilbert空間，內(nèi)積記為〈·，·〉，范數(shù)記為‖·‖，L1（0，T）是通常的取實值的Lebegue空間。對任意f∈L1（0，T）和任意的

考慮下列抽象二階微分方程：

作以下假設：

（H1）A在 X上是自共軛線性算子，D（A）是稠密的，?M ＞0使得

（H2）β∶［0，∞）→［0，∞）滿足：

（b）存在函數(shù) α（t）≥0使得

（c）?R＞0，?常數(shù)CR＞0使得有

（d）F（0）=0，▽F（0）=0，且存在一個嚴格單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù) ψ∶［0，∞）→［0，∞）使得：

假設x0，x1∈X，考慮柯西問題：

引 理1［5，6］若x0∈D（），x1∈X，T＞0，則方程（8）在［0，T］上存在唯一的柔和解x，并且x∈C1（［0，T］；X）。如果x0∈D（），x1∈D（），則方程（8）的柔和解也是強解，并且x∈C1（［0，T］；D（））。

根椐文獻［7］，我們把方程（8）的能量定義為：

引理2［4］在假設（H1-H3）下，方程（8）的能量 Ex（t）單調(diào)遞減，并且：

則存在ρ0＞0，使得當x0∈D（），x1∈X，且

引理3［4］若假設（H1-H3）成立，并且存在一嚴格遞增的連續(xù)函數(shù) ψ∶［0，∞）→［0，∞），使得時，能量Ex滿足：

注：假設（7）確保了條件（10）的成立。

引理 4［8-11］假設Ex在［0，∞）上是非負的單調(diào)遞減函數(shù)，如果?常數(shù)S0，C＞0，使得

2 主要結論及證明

定理1 若假設（H1-H3）成立，且S0＞0，則存在正數(shù)ρ0和 C，使得當 x0∈D（A），x1∈X且時，方程（8）的柔和解x的能量Ex（t）滿足：

定理2 若假設（H1-H3）成立，則存在正數(shù)ρ0和 C，使得當x0∈D（A），x1∈X且ρ0時，方程（8）的柔和解x的能量Ex（t）滿足：Ex（t）≤Ex（0）exp（1-Ct），?t≥0。

定理1的證明：

下面先對方程（14）右邊第一項進行估計，用x（t）與方程（3）作內(nèi)積再在（S，T）上積分，可得：

即有：

因此可得：

下面對（15）右邊第三項進行估計，注意到對任意的ε＞0，有：

而根椐條件（5）和（9），我們有：

定理1得證，再結合引理4，定理2顯然成立。

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The Energy Decay Estimates for General Second Order Nonlinear Evolution Equations w ith M emory

WU Jiarui，PU Zhilin
（College of Mathematic and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China）

The paper studied the energy decay estimates for general second order nonlinear evolution equations with memory.Based on the integral inequality and Sobolev embedding theorem，it has been confirmed that the energy of m ild solution decays with exponential rate.

global existence；exponential decay；nonlinear wave equations；integro-differential equations

O19

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.01.002

1673-5072（2016）01-0010-07

2016-03-02

四川省科技計劃項目（2015JY0125）

吳佳睿（1990—），女，四川成都人，碩士，主要從事偏微分方程穩(wěn)定性研究。E-mail：287694855@qq.com

蒲志林（1963—），男，四川萬源人，博士，教授，博士生導師，主要從事非線性微分方程與無窮維動力系統(tǒng)理論研究。E-mail：411296267@qq.com