“三類思維”互相轉化：數學概念的形成路徑

孟霞

“三類思維”互相轉化：數學概念的形成路徑

孟霞

數學概念是構成數學基礎知識的重要內容，對抽象思維能力偏弱的小學生來說，數學概念是難以理解的。“三類思維”互相轉化，即具象思維、形象思維、抽象思維三者之間互相轉化，是數學概念在學生心中由內而外自然生長的形成路徑。

具象思維；形象思維；抽象思維；數學概念；形成路徑

數學概念是客觀現實中的數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映。小學數學中的概念是構成小學數學基礎知識的重要內容，但對抽象思維能力偏弱的小學生來說，數學概念是難以理解的。因此，“數學概念不足”被列為小學生數學學習困難的一大原因。

“三類思維”互相轉化，是指具象思維、形象思維、抽象思維三者之間互相轉化。具象思維是指為達到認識目的，運用具象的材料或因素進行的思維，需要借助物象（即感官對于事物具體形象的感知）。形象思維是指在思維過程中借助于表象而進行的思維。抽象思維是指在思維過程中以概念、判斷、推理的形式來反映事物本質屬性和內在規律的思維，需要借助詞語、符號。

在人類思維形式的發展史上，最先形成的是具象思維，而后是形象思維，再后是抽象思維。據此，我們應該遵循學生具象思維—形象思維—抽象思維—具象思維的發展路徑（如圖1），讓數學概念在學生心中由內而外自然形成。

（圖1）

一、從具象到形象：讓數學概念在“直觀”中“顯影”

何謂具象？《現代漢語詞典》（第6版）中的解釋是：①具體的；不抽象的。②具體的形象。具象思維是人類的一種特殊的精神活動現象，它是用具體生動的整體形象揭示事物本質、表述認識結果的一種思維。小學生的思維以直觀動作思維為主，這是具象思維的初級階段。因此，小學數學概念教學應加強直觀教學，豐富學生的數學表象，促進其具象思維向形象思維發展，讓數學概念在“直觀”中“顯影”。

1.追根溯源，引導概念生長。

捷克教育家夸美紐斯說：“我們由此可以為教師們找出一條金科玉律，在可能的范圍內，一切事物都應該盡量地放在感官跟前。”“這是因為知識的開端永遠必須來自感官。”概念教學應呈現具象的知識，以此來刺激學生的感官，促使表象形成，為概念的生長鋪平道路。

教學蘇教版四下《平行四邊形的認識》時，我把它和《梯形的認識》整合成一個課時進行教學。

出示下列圖形：

師：你能一眼看出哪個不是四邊形嗎？（三角形）你能把對邊平行的四邊形的組數做一個統計嗎？

師：根據對邊平行的組數，你能把這些圖形分分類嗎？

學生很快把這些四邊形分成“有兩組對邊平行”和“只有一組對邊平行”兩類。

在揭示平行四邊形和梯形的定義后，教師追問：“為什么說只有一組對邊平行的是梯形？能不能把這個‘只'字去掉？”

生1：不能。因為梯形是一組對邊平行，另一組對邊不平行，去掉這個“只”字，意義就表達不明確了。

生2：這個“只”字強調梯形是一組對邊平行，另一組對邊不平行，所以不能去掉。

教師從學生的學習起點出發，將具象的學習素材轉化為學生頭腦中的表象，在一次次智慧的碰撞中，概念自然生長于學生的腦海，悄然生長的還有學生的數學精神。

2.虛實相生，直擊概念內核。

虛實相生是指兩者處于一種互動的狀態，其中，實是具象，虛是表象。有些數學概念的教學，可以借用虛實相生的方法，讓學生經歷由 “實”的具象到“虛”的表象的過程，促進學生深刻地理解概念，巧妙地建構新的知識生長點，從而由此及彼、由具象到表象地掌握知識。

教學蘇教版二上《認識線段》時，我利用毛線、直尺的邊等具象的材料，幫助學生經歷線段表象的建立到線段概念的形成過程。鞏固階段，我請學生判斷生活中一些現象形成的是不是線段，其中包括水龍頭水流的軌跡。

水流軌跡在學生腦中虛實相生，直擊線段的概念內核，幫助學生的思維實現從具象到表象的轉變。

二、從形象到抽象：讓數學概念在“理性”中“定格”

抽象思維是對客觀現實進行間接的、概括的反映的過程，屬于理性認識階段。因此，在教學中，只有找準學生的認知難點，借助形象，適時抽象，才能幫助學生跨越從形象到抽象的思維障礙，促使數學概念在“理性”中“定格”。

1.突出現象，鋪設概念形成的通達之路。

概念學習需要依賴學生積累的數學表象，引發學生的數學思考，以促進學生對數學概念的感悟和建構。

教學蘇教版五上《循環小數的認識》時，我首先讓學生觀看馬路兩邊廣告牌和欄桿一一間隔排列、人行道地磚紅白相間排列等生活現象的圖片，使學生獲得對“循環”含義的初步理解。接著，我啟發學生：“像這樣的事例，你們還能舉出一些嗎？”有的學生說：“春夏秋冬四季輪換，太陽東升西落。”我接著啟發：“那么數學中有沒有循環呢？請試著計算1÷ 3、40÷6。”

利用 “循環小數”這一概念的現實原型引入新課，緊緊抓住概念的——循環，喚醒學生關于“循環”的生活經驗，為概念的順利理解鋪平了道路。

2.促使遷移，營造概念形成的酣暢之境。

新課標指出：課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。概念教學應從學生熟悉的生活情景中尋找數學現象，使學生感受到數學無處不在，感受到學習數學的樂趣，并使學生學會在生活和數學中互相遷移。

教學蘇教版六上《長方體和正方體的認識》時，我先以“我們學過哪些圖形？”這個問題引入，讓學生回憶學過的平面圖形，再出示兩個立體圖形，從而揭示課題。接著讓學生找出生活中的長方體或正方體，再拿出長方體模型，讓學生通過摸一摸、數一數，初步認識長方體的面、棱和頂點，在數的時候讓學生思考：怎樣數才能既不重復也不遺漏？著重引導學生養成有序思維的好習慣。在學習正方體的特征時，放手讓學生運用學習長方體的經驗自學。

學生把學習長方體的方法遷移到正方體，不但明晰了正方體的特征，還厘清了長方體和正方體的聯系與區別。

三、從抽象到具象：讓數學概念在“物化”中“成像”

抽象思維是人們進行理性認識的一種工具，但在人類社會的發展史中，具象思維的發生無處不在，人們在自覺和不自覺中無數次地運用著具象思維。培養學生的抽象思維不是終點，而能把抽象化的概念以具象化的直觀形式表達出來，則表明學生對概念的理解達到了爐火純青的境界。圖形分析是解讀概念的一種形式，既可以反映學生對概念的理解程度，有助于培養他們的幾何直觀能力，又可以讓數學概念得以拓展延伸，讓數學概念在“物化”中“成像”。

1.化數為形，拓展圖形分析時空。

“數”和“形”是貫穿小學數學教學始終的基本內容。解決數學問題時，應把問題的數量關系與空間形式結合起來，化數為形，彌補抽象思維的不足，變抽象為具象，深化學生對數學問題本質的認識，提高其解決問題的能力。教學蘇教版五下 《解決問題的策略：轉化》一課時，出示以下三道計算題：

（圖2）

一圖抵百語，化數為形抓住了數與形之間的聯系，以具象的形表達抽象的數，在問題得以解決的同時，還幫助學生感悟到以具象的圖形語言思考問題的價值。

2.化難為易，提高概念理解能力。

將圖形和等式結合起來分析，不但可以幫助學生較好地理解數學本質，促進他們思維的發展，還能啟迪其思路，化難為易，深化學生對概念的理解，為學生創造主動思考的機會，使學生經歷數學探索、發現和再創造的過程。

（圖3）

圖3所示的是 “解決問題的策略：轉化”單元中的一道思考題：涂色部分是正方形，你能求出圖中最大長方形的周長嗎？

師：涂色正方形的邊長與大長方形的邊有什么關系？

生：涂色正方形的邊長等于大長方形的寬。

師：27+19表示什么意思？

生：27+19=大長方形的長+大長方形的寬。

師：現在你知道圖中大長方形的周長了嗎？

生（異口同聲地）：知道！大長方形的周長是（27+ 19）×2=92（厘米）。

上述案例，如果從常規思路——長方形的周長計算公式出發，先求出長方形的長和寬，再計算周長，就會陷入死胡同。改用推理的方法，很快就會發現：給出的兩條線段之和恰好是長方形一條長與一條寬的和。用轉化的策略將圖形和等式結合起來，是解決問題的突破口。

有學者把數學概念的學習分為具體期、確認期、分類期、生產期和形式期五個階段，其中，形式期是最高級的階段，處于這一階段的學生可以說出概念的定義。其實，學生的概念學習是貫穿其數學學習始終的，是漸進的。我認為還應該有第六階段——創生期，在這一階段，學生不但能流利地說出概念的定義，這個定義還帶有學生個性化、創生性的理解。學生只有多角度、多層面地理解了概念，才能順利地向創生期過渡，“三類思維”互相轉化不失為一條有效的路徑。

［1］覃可霖.試論寫作活動中的具象思維［J］.廣西師范大學學報:哲學社會科學版，2012（2）.

［2］劉天君.具象思維是中醫學基本的思維形式［J］.中國中醫基礎醫學雜志，1995（2）.

［3］劉天君.具象思維的概念及其意義探討［J］.北京中醫藥大學學報，2011（9）.

［4］魏玉龍.具象思維的形成、發展和研究［J］.中醫學報，2009（24）.

［5］孔凡哲，曾崢.數學學習心理學［M］.北京:北京大學出版社，2013.

［6］楊曉榮.重視培養幾何直觀能力［J］.教育研究與評論，2011（8）.

［7］蘇瑜.小學數學概念的教與學［J］.教育研究與評論，2015（4）.

注：本文獲2015江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。

G623.5

A

1005-6009（2016）36-0034-03

孟霞，江蘇省連云港市墟溝中心小學（江蘇連云港，222042），高級教師，連云港市名教師，江蘇省優秀教育工作者。