基于卡爾曼濾波的北斗偽距單點定位算法研究

唐衛明，張先春，惠孟堂，鄧辰龍，徐　坤，崔健慧

(武漢大學衛星導航定位技術研究中心，湖北 武漢 430079)

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基于卡爾曼濾波的北斗偽距單點定位算法研究

唐衛明，張先春，惠孟堂，鄧辰龍，徐坤，崔健慧

(武漢大學衛星導航定位技術研究中心，湖北 武漢 430079)

為了提高北斗偽距單點定位的精度，提出了一種基于多普勒頻移和偽距觀測值的北斗卡爾曼濾波單點定位算法，并利用實測數據對該算法的可行性與穩定性進行了驗證。試驗結果表明，該算法在一定程度上提高了偽距單點定位的定位性能。其中，靜態定位在平面方向提高42%，高程提高22%；動態定位在平面方向提高33%，高程提高21%。

北斗衛星導航系統；偽距單點定位；多普勒頻移；卡爾曼濾波；精度

北斗衛星導航系統(Beidou Navigation Satellite System，BDS)是中國正在實施的自主發展、獨立運行的全球衛星導航系統[1]。截至2015年7月，北斗系統在軌工作衛星為13顆，形成區域服務能力，面向我國及周邊部分地區提供無源定位、導航和授時等服務。北斗偽距單點定位具有速度快、數據處理簡單等優點，其定位精度為10 m[1]，是導航與低精度測量中常用的一種定位方法。常見的偽距單點定位算法有高斯牛頓迭代最小二乘(Gauss-Newton isterative least squares,GNILS)定位算法，加權最小二乘(weighted least squares,WLS)快速算法[2]。通過前人的研究，北斗偽距單點定位平面精度優于3.5 m，高程精度優于8 m[3]。

卡爾曼濾波作為一種降低、分離衛星信號中所含有噪聲量的技術，可以用來提高北斗偽距單點定位的精度。由于最小二乘法沒有將不同時刻的定位值聯系起來相互制約，使得其定位結果通常會顯得非常粗糙。所謂濾波，就是將一個信號中的某些成分過濾掉，并保留所需要的信號成分。所有濾波的一個共同特點是將用戶在相鄰時刻的位置狀態聯系起來，從而克服最小二乘法在不同時刻的定位值之間不互相關聯的這一缺點，使濾波后的定位結果顯得更加平滑、準確。卡爾曼濾波技術是一種線性最小方差濾波估計，它只需要通過上一時刻狀態向量的最優估計和現在時刻的觀測值就可以得到當前時刻狀態向量的最優估計值[4-6]。

本文通過建立單點定位和卡爾曼濾波數學模型，對采集的數據分別進行最小二乘偽距單點定位解算和卡爾曼濾波解算，得出各自的處理結果，并比較分析兩者的區別，得出相應的結論。

一、數學模型

1. 偽距單點定位原理

偽距測量的觀測方程可表示為[7]

P=ρ+c·dtr-c·dts+I+T+ε

(1)

式中，P為偽距觀測值；ρ為衛星與接收機之間的真正距離；c為光速；dtr和dts分別為接收機鐘和衛星鐘差；I為電離層延遲改正；T為對流層延遲改正；ε表示偽距的觀測噪聲和多路徑延遲的影響。

線性化后式(1)可表示為

P=l·dX+m·dY+n·dZ+ρ0+c·dtr-c·dts+I+T

(2)

2. 多普勒單點測速原理

由于接收機和衛星的相對運動，造成傳播路程差，導致相位和頻率的變化，這種變化稱為多普勒頻移[8]。通過多普勒頻移可以求出接收機的速度。

觀測方程可以從偽距觀測方程推導出來，式(2)對時間進行微分可得

λD=l(vX-vX)+m(vY-vY)+n(vZ-vZ)+c·dtf-c·dtf

(3)

式中，λ為載波相位的波長;D為衛星的多普勒觀測值；(vX,vY,vZ)表示接收機的運動速度；(vX,vY,vZ)表示衛星的運動速度;dtf和dtf分別表示接收機和衛星鐘差的變化率。利用多普勒觀測方程進行最小二乘平差即可求出接收機的速度和鐘速。

3. 卡爾曼濾波原理

隨著對卡爾曼濾波器的深入研究，卡爾曼濾波技術已被運用于求解GPS位置、速度和時間，在北斗偽距單點定位中仍然適用。假設接收機低速運動，則其運動狀態可采用常速模型(歷元間接收機速度不變)表示為

Xk+1=Φk+1,kXk+W

(4)

式中，下角標k表示歷元號；X為描述接收機運動狀態的向量；Φ為前后歷元的狀態轉移矩陣；W表示過程噪聲向量。假設T為采樣間隔，則有

(5)

聯合偽距和多普勒的觀測方程，即可得到系統的觀測方程為

Zk+1=Hk+1Xk+1+υk+1

(6)

式中，Z為觀測值向量，分別由偽距和多普勒觀測值組成；Hk+1代表觀測量與系統狀態之間的關系矩陣，且有

(7)

結合式(4)和式(6)即可組成卡爾曼濾波系統，然后按照卡爾曼濾波的遞推公式即可依次求出每個歷元的狀態向量及其協方差陣。本文濾波過程噪聲W的方差矩陣定義為

觀測噪聲的方差矩陣R[7]定義為

(9)

二、算例分析

1. 靜態數據分析

靜態數據采用2015年1月16日武漢大學教學實驗大樓樓頂的觀測數據，接收機為Trimble NetR9，采樣率為1 Hz，采樣時間為8：00—9：00(GPS時)。對于偽距單點定位，對流層延遲改正采用簡化的Hopfield模型[9]，電離層延遲改正采用Klobuchar模型[10]。平差過程采用標準最小二乘和卡爾曼濾波兩種處理方式，其定位結果與事先已知的測站精確坐標進行對比，并將三維坐標偏差轉換到站心坐標系，得到兩種解算模式下的定位結果在N、E、U方向上的偏差，如圖1所示。

圖1　兩種定位結果的精度比較

從圖1可以看出，在濾波初始階段偏差很大，但是經過10多個歷元后趨于穩定，出現這種現象是因為給定的濾波初始值不準確，且用的是動態濾波模型處理靜態數據，因此會有一個濾波收斂的過程；經過對比，卡爾曼濾波的處理結果明顯比最小二乘估計平滑，波動幅度更小，更加趨近于實際，精度更高，可靠性更好。通過兩種處理方式獲得的定位結果與已知的測站精確坐標，計算出各自的均方根誤差(RMS值)見表1。

表1　偽距單點定位RMS精度　m

表1的數據可以反映出卡爾曼濾波解算的定位結果比最小二乘解算結果更優，在平面方向上的精度提高42%，高程方向提高22%。但是，從偏差的大小來看，卡爾曼濾波的結果仍存在一定偏差，其原因在于所采用的定位數據為靜態數據，而本文所建立的濾波器模型為低動態濾波模型，與實際情況存在一定偏差，從而導致濾波估值未能達到最優。

2. 動態數據分析

動態數據采用2015年1月16日在武漢大學信息學部操場繞行的觀測數據，接收機為Trimble NetR9，采樣率為1 Hz，采樣時間為8：00—9：00(GPS時)。圍繞學校操場走圈而獲得接收機的運動軌跡，所采用的數學模型與靜態數據所采用的模型一致，經過數據處理，得到最小二乘與卡爾曼濾波的解算結果。兩種方法得到的軌跡如圖2和圖3所示，其中灰色為最小二乘解，深灰色為卡爾曼濾波解。表2是通過GrafNav精密軟件處理得到的操場運動軌跡的參考坐標，分別與最小二乘和卡爾曼濾波解算結果定量進行對比分析，計算出各自的RMS值。

圖2　軌跡全局

圖3　操場中間圓圈細節

根據偽距觀測值解算出的接收機軌跡如圖2所示，經過數據處理，卡爾曼濾波的定位軌跡相比最小二乘解的定位軌跡更加平滑、集聚，定位偏差更小、可靠性更高。為了更好地證明以上結論，特取信息學部操場中間的圓圈軌道細節圖，如圖3所示，卡爾曼濾波解較最小二乘解軌跡偏差更小，波動幅度小，各個點位之間更加連續，更加趨近于實際運動軌跡，定位結果更好。從表2也可以看出，卡爾曼濾波定位結果在平面方向精度提高33%，高程方向提高21%。總的來說，相對于最小二乘解算結果，經卡爾曼濾波處理后可獲得更好的結果。

表2　偽距單點定位RMS精度　m

三、結　論

通過分析卡爾曼濾波對靜態數據和動態數據的處理結果，得出以下結論：

1) 該濾波模型對于靜態數據和動態數據的處理，一定程度達到了平滑和提高精度的作用。從對靜態數據的處理結果來看，由于模型誤差及給定的濾波初值不夠準確，導致濾波初始階段存在很大偏差，經過一段歷元之后回歸正常，但相比最小二乘解算結果來說，卡爾曼濾波解算結果精度更高，更平滑，平面及高程方向的可靠性均有所提高。從對動態數據的處理結果分析可知，卡爾曼濾波解算結果較最小二乘解算結果軌跡偏差更小，波動幅度小，各個點位之間更加連續，過渡更自然，更加趨近于實際運動軌跡，定位結果更優。

2) 與最小二乘結果相比，使用卡爾曼濾波算法對觀測數據進行處理的精度和可靠性都更高，結果更加平滑，對于實際應用具有一定的參考意義。

本文對獲取的動態數據和靜態數據的卡爾曼濾波分別進行處理與分析，最后得出結論：卡爾曼濾波估計對最小二乘結果具有平滑和提高精度的作用，對于實際應用來說具有一定的參考價值。

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Research on BDS Pseudo-range Single Point Positioning Algorithm Based on Kalman Filtering

TANG Weiming,ZHANG Xianchun，HUI Mengtang，DENG Chenlong，XU Kun，CUI Jianhui

唐衛明，張先春，惠孟堂,等.基于卡爾曼濾波的北斗偽距單點定位算法研究[J].測繪通報，2016(10)：6-8.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0317.

2015-11-17；

2016-04-07

水利部公益性行業科研專項(201401072)

唐衛明(1978—)，男，博士，教授，從事GNSS實時動態定位應用開發和系統集成等教學科研工作。E-mail: wmt@whu.edu.cn

P228

B

0494-0911(2016)10-0006-03