感受“軸對稱”的洪荒之力

張文珠 浦敘德

感受“軸對稱”的洪荒之力

張文珠 浦敘德

在圖形世界中，有著“點”的靈動、“線”的灑脫、“面”的恢弘，其中，有一類圖形變換，看上去成雙成對，在圖形世界中獨放異彩.在此，讓我們以“將軍飲馬”為模型，感受一下“軸對稱”帶給我們的“洪荒之力”吧！

數學模型

傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者海倫，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個問題.如圖1，將軍每天從軍營A出發，先到河邊l飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳，據說海倫略加思索就解決了它.

圖1

圖2

解決方法

如圖2，過點A作關于l的對稱點A′，連接A′B，與l相交于C，則C點就是飲馬的地方，經過C點走，行走路程最短，為AC+CB=A′C+CB= A′B的長度.

如果將軍在點C外任一點C′處飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，連接A′C′，由于AC′+ C′B=A′C′+C′B＞A′B.可見，在C點外任何一點C′處飲馬，所走的路程都要遠一些.

這里有兩點需要說明：（1）由作法可知，河流l相當于線段AA′的中垂線，所以AC=A′C，AC′=A′C′，理論依據為“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”；（2）A′C′+C′B＞A′B的理論依據為“兩點之間線段最短”.

方法總結

1.審題確定關鍵要素：定點（A、B）、動點（C）、對稱軸（l）；2.根據動點（C）所在直線確定對稱軸（l）；3.畫出定點（A）關于對稱軸（l）的對稱點（A′）；4.連接所畫對稱點（A′）和另一個定點（B），所得線段（A′B）的長度即為最短距離.

這是“將軍飲馬”模型的解決方法，其解題核心是借助“軸對稱”的性質將線段“化折為直”.但數學的魅力在于它的變化莫測，題中定點和動點的個數、位置的變化都會影響解題，但“萬變不離其宗”，接下來讓我們看一看由此模型帶來的演變和拓展吧！

例1如圖3，在△ABC中，AC=BC，∠ACB= 90°，D是BC邊中點，E是AB邊上一動點，要使EC+ED值最小，請畫出滿足該條件的點E的具體位置.

圖3

圖4

解析：如圖4，在線段EC、ED端點中，E為動點，C、D為定點；動點E所在直線AB為對稱軸；在定點C、D中任取一點C作關于直線AB的對稱點C′；連接所作對稱點C′與另外一定點D，線段C′D的長度即為EC+ED的最小值，C′D與對稱軸AB的交點即為點E.

說明：動點的作用是確定對稱軸，一定點的作用是確定該定點的對稱點，另一定點的作用是連接它與所作對稱點得一線段，該線段即為“最短距離”；動點的具體位置為連線和對稱軸的交點.本題關鍵首先是利用“軸對稱”的性質“化折為直”，其次是依據“兩點之間，線段最短”.

例2如圖5，在等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD上一動點，E是AC邊上一動點，如果使ME+MC值最小，請在圖中畫出動點E和M的具體位置.

圖5

圖6

解析：如圖6，線段ME、MC端點中的M、E為動點，C為定點；動點M、E所在直線AD或AC為對稱軸，但定點C在AC上，所以確定直線AD為對稱軸；作定點C關于直線AD的對稱點C′

（由等邊三角形的軸對稱性可知點C′與點B重合）；連接所作對稱點C′與另外一動點E，得一線段（如圖C′E），因為點E在AC邊上滑動，所以當C′E⊥AC時，C′E才是最短的，此時E在E′處，C′E′的長度即為ME+MC的最小值，垂足E′即為動點E的具體位置，C′E′與AD的交點M′即為動點M的具體位置.

說明：例2與例1不同之處在于首先出現2個動點，因此在對稱軸的確定上需根據定點C的位置確定（若以直線AC為對稱軸，則定點C的對稱點為本身，從而無法深入解題）；其次例1連接的是兩定點，而本例連接的是一定（C′）一動（E），因此解題關鍵在于利用“軸對稱”的“化折為直”，再利用“點線之間，垂線段最短”.

例3如圖7，在四邊形ABCD中，∠BAD= 120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使得△AMN的周長最小，并求此時∠AMN+∠ANM的度數.

圖7

圖8

解析：如圖8，△AMN三頂點中M、N為動點，A為定點；動點M、N所在直線BC、DC為對稱軸；作定點A關于直線BC的對稱點A′，作定點A關于直線CD的對稱點A″；連接所作對稱點A′與A″，線段A′A″的長度即為△AMN周長的最小值，A′A″與BC、DC的交點即為動點M、N的具體位置；利用三角形和軸對稱的相關性質求得∠AMN+∠ANM的度數為120°.

說明：例3與例1、例2的不同在于△AMN周長為三邊長之和，是求AM+AN+MN的最小值，因此在“化折為直”的宗旨下，作了兩次軸對稱，將三條線段拼在了一條線段A′A″上，因為點A′、A″均為定點A的對稱點，所以本題的理論依據為“點點之間，線段最短”.

以上3例均是圍繞“將軍飲馬”模型而展開的，似變非變，各放異彩.同學們在學習本章內容、解決相關問題時，如果充分利用“軸對稱”的“洪荒之力”，必定會在“將軍飲馬”模型類題目的解決中所向披靡，百戰百勝！

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區第一實驗學校、江蘇省無錫市新吳區教師發展中心）