抽絲剝繭其義自見

章薇薇

抽絲剝繭其義自見

章薇薇

平移、旋轉、軸對稱是初中數學中三種基本的圖形變換，許多中考題也圍繞著這三種變換進行命題，軸對稱圖形作為重要的考點之一，常常以不同的形式出現在我們的中考題中，下面以近年來各地的幾個有代表性的中考題為例進行分析，讓我們走進軸對稱圖形的世界，抽絲剝繭，一起來揭開它神秘的面紗..

責任編輯：沈紅艷 見習編輯：李詩 email：czsshy@126.com

一、一題為基——關于軸對稱圖形的基礎題

【原題】如圖1，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E、D兩點，EC=4，△ABC的周長為23，則△ABD的周長為（）.

A.13B.15C.17D.19

圖1

【分析】根據線段的垂直平分線性質可得出，AD=CD，AE=CE，則AC=8，由△ABC的周長為23，EC=4，易得△ABD的周長.

解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AE=CE=4，則AC=8.∵△ABC的周長為23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=15，∴△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC= 15，故選B.

【變式】如圖1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC的周長為19cm，△ABD的周長為13cm，則（1）AE的長為多少？（2）若AD= BD，∠C=30°，則∠B是多少度？此時AB與DE有何位置關系？

二、一圖為主——關于軸對稱圖形的作圖題

【原題】如圖2，在10×10的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC位置如圖所示.（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）將△A1B1C1向左平移3個單位后得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2.

圖2

【分析】利用軸對稱的性質可得出三角形各頂點的對應位置，再用平移的性質得出各對應點的位置.

解：如圖3，△A1B1C1，△A2B2C2即為所求.

圖3

【變式】如圖2，在10×10的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC位置如圖所示.（1）請求出圖中△ABC的面積；

（2）請在x軸上找出點P，使得PA+PB的值最小；

（3）在方格紙中找出點D（點C除外），使得△ABD為等腰三角形，并畫出所有符合條件的點D.

三、一法為本——關于軸對稱圖形的綜合題

【原題】如圖4，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，①求證：AD= BE；②求出∠AEB的度數.

【分析】①證明兩條線段相等是中考常見題型，而通法是證這兩條線段所在的兩個三角形全等.②結合①中所證的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通過角的計算即可算出∠AEB的度數.

解：①∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC.在△ACD和△BCE中，有AC =BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE.

②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵點A、D、E在同一條直線上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-∠CDE=130°，∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB =∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.

【變式】如圖4，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE.（1）求證：AD=BE；（2）若AD=CD，求∠ABE的度數，此時CD與BE有什么關系？

圖4

【變式答案】

一、（1）AE=3；（2）∠B=60°，AB∥DE.

二、（1）△ABC的面積為4；（2）作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B與x軸的交點為點P；（3）AB為腰，點A為頂點，這樣的點D有5個；AB為腰，點B為頂點，這樣的點D也有5個；AB為底，這樣的點D有2個，所以符合條件的點D共有12個.

三、（1）證△ACD≌△BCE，可得AD=BE，（2）∠ABE=90°，CD∥BE且CD=BE.

（作者單位：江蘇省無錫市旺莊中學）