抽絲剝繭其義自見

章薇薇

抽絲剝繭其義自見

章薇薇

平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱是初中數(shù)學(xué)中三種基本的圖形變換，許多中考題也圍繞著這三種變換進(jìn)行命題，軸對(duì)稱圖形作為重要的考點(diǎn)之一，常常以不同的形式出現(xiàn)在我們的中考題中，下面以近年來各地的幾個(gè)有代表性的中考題為例進(jìn)行分析，讓我們走進(jìn)軸對(duì)稱圖形的世界，抽絲剝繭，一起來揭開它神秘的面紗..

責(zé)任編輯：沈紅艷 見習(xí)編輯：李詩(shī) email：czsshy@126.com

一、一題為基——關(guān)于軸對(duì)稱圖形的基礎(chǔ)題

【原題】如圖1，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E、D兩點(diǎn)，EC=4，△ABC的周長(zhǎng)為23，則△ABD的周長(zhǎng)為（）.

A.13B.15C.17D.19

圖1

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)可得出，AD=CD，AE=CE，則AC=8，由△ABC的周長(zhǎng)為23，EC=4，易得△ABD的周長(zhǎng).

解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AE=CE=4，則AC=8.∵△ABC的周長(zhǎng)為23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=15，∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC= 15，故選B.

【變式】如圖1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC的周長(zhǎng)為19cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則（1）AE的長(zhǎng)為多少？（2）若AD= BD，∠C=30°，則∠B是多少度？此時(shí)AB與DE有何位置關(guān)系？

二、一圖為主——關(guān)于軸對(duì)稱圖形的作圖題

【原題】如圖2，在10×10的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC位置如圖所示.（1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（2）將△A1B1C1向左平移3個(gè)單位后得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2.

圖2

【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得出三角形各頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)位置，再用平移的性質(zhì)得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置.

解：如圖3，△A1B1C1，△A2B2C2即為所求.

圖3

【變式】如圖2，在10×10的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC位置如圖所示.（1）請(qǐng)求出圖中△ABC的面積；

（2）請(qǐng)?jiān)趚軸上找出點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小；

（3）在方格紙中找出點(diǎn)D（點(diǎn)C除外），使得△ABD為等腰三角形，并畫出所有符合條件的點(diǎn)D.

三、一法為本——關(guān)于軸對(duì)稱圖形的綜合題

【原題】如圖4，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，①求證：AD= BE；②求出∠AEB的度數(shù).

【分析】①證明兩條線段相等是中考常見題型，而通法是證這兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.②結(jié)合①中所證的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通過角的計(jì)算即可算出∠AEB的度數(shù).

解：①∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC.在△ACD和△BCE中，有AC =BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE.

②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-∠CDE=130°，∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB =∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.

【變式】如圖4，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE.（1）求證：AD=BE；（2）若AD=CD，求∠ABE的度數(shù)，此時(shí)CD與BE有什么關(guān)系？

圖4

【變式答案】

一、（1）AE=3；（2）∠B=60°，AB∥DE.

二、（1）△ABC的面積為4；（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P；（3）AB為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)，這樣的點(diǎn)D有5個(gè)；AB為腰，點(diǎn)B為頂點(diǎn)，這樣的點(diǎn)D也有5個(gè)；AB為底，這樣的點(diǎn)D有2個(gè)，所以符合條件的點(diǎn)D共有12個(gè).

三、（1）證△ACD≌△BCE，可得AD=BE，（2）∠ABE=90°，CD∥BE且CD=BE.

（作者單位：江蘇省無錫市旺莊中學(xué)）