兩種響應(yīng)型船舶運動模型的對比及適用性分析

孫　健，陳永冰，周　崗，李文魁

（海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北　武漢 430033）

兩種響應(yīng)型船舶運動模型的對比及適用性分析

孫健，陳永冰，周崗，李文魁

（海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北武漢 430033）

船舶運動模型作為自動舵性能檢測平臺的基礎(chǔ)與核心，對于自動舵的研發(fā)、調(diào)試及船舶運動控制算法的設(shè)計都有非常重要的意義。現(xiàn)有的航跡航向自動舵檢測平臺普遍使用簡化的一階線性KT方程。由于忽略船舶回轉(zhuǎn)運動中的縱向速度變化以及首搖角與橫向速度之間的耦合，在實際使用中具有一定的局限性。本文引用國際電工委員會制定的航跡自動舵標(biāo)準(zhǔn)（IEC62065）中提出的船舶運動模型，并對其進行仿真，將仿真結(jié)果與一階線性KT方程的仿真結(jié)果進行對比分析，討論一階線性KT方程的適用范圍。同時介紹改進的一階非線性KT方程的形式并進行仿真試驗，結(jié)果表明其與 IEC62065 中非線性模型相似度較好，且減少了計算量。

船舶運動模型；自動舵；KT方程

0　引　言

陸基條件下的自動舵性能檢測平臺對于自動舵的研發(fā)調(diào)試及檢修具有非常重要的意義［1］。船舶運動模型作為該平臺的基礎(chǔ)與核心，對于其適用性的研究必不可少。描述艦船操縱性的運動模型主要分為 3 類［2］：1）以 Abkowitz 為代表的整體型結(jié)構(gòu)模型；2）日本拖拽水池委員會提出的分離型結(jié)構(gòu)模型；3）20 世紀(jì) 50年代末野本謙作提出的響應(yīng)性模型。

響應(yīng)型船舶運動模型是從控制工程的觀點將船舶看成一個動態(tài)系統(tǒng)而提出的。以舵角為系統(tǒng)輸入，首搖角速度為系統(tǒng)輸出。使用分離型模型對船舶運動進行建模和仿真，需要大量詳盡的船型（包括舵和槳）數(shù)據(jù)和繁雜的計算，而整體性模型同樣需要進行全面的船模試驗以測定流體動力導(dǎo)數(shù)。相比于分離型模型或整體型模型，響應(yīng)型船舶運動模型除了形式簡潔，便于使用，其參數(shù)可直接從實船試驗獲得而無需模型試驗，自動消除了尺度效應(yīng)，在船舶操縱性研究以及航跡自動控制研究方面都得到廣泛應(yīng)用。

現(xiàn)有的航向航跡自動舵檢測平臺使用的一階線性KT 方程，由于其忽略了回轉(zhuǎn)過程縱向速度的變化以及橫向速度與首搖角之間的耦合等，在對于大舵角操舵運動仿真以及高速船的運動仿真時誤差較大，在實際使用中具有一定的局限性。國際電工委員會制定的航跡系統(tǒng)性能標(biāo)準(zhǔn)（IEC62065）中提出了包括縱向速度及橫向速度的船舶三自由度運動模型，本文利用該模型對不同船型在不同條件下的操舵運動進行仿真試驗，并且與現(xiàn)有的一階線性 KT 方程及加入非線性項的一階 KT 方程的仿真結(jié)果作比較分析，討論船舶回轉(zhuǎn)運動中橫向速度對于首搖運動的耦合作用，KT 方程的非線性項對運動模型輸出的首搖角誤差大小的影響。

1　IEC62065 運動模型的建立及仿真試驗

國際電工委員會制定的航跡系統(tǒng)性能標(biāo)準(zhǔn)（IEC62065）中［3］提出了包括縱向速度及橫向速度的船舶三自由度運動模型，它是以指令舵角和指令推力桿位置作為系統(tǒng)的輸入，以首搖角速度縱向速度以及橫向速度等運動參數(shù)作為系統(tǒng)輸出，將這些速度參數(shù)經(jīng)過積分及坐標(biāo)變換等一系列計算可以得到船舶的航向角、坐標(biāo)和軌跡等運動參數(shù)。模型的主要組成部分為推力桿響應(yīng)模型、舵機響應(yīng)模型、縱移響應(yīng)模型、橫移響應(yīng)模型及首搖響應(yīng)模型等 5 個基本模塊。原理如圖1 所示。

圖1　船舶運動模型原理框圖Fig.1　The principle block diagram of ship model

1.1推力桿和舵機模型

IEC62065 中提出的船舶運動模型將復(fù)雜的螺旋槳推進力模型簡化為線性的推進裝置響應(yīng)方程，并進行歸一化處理，經(jīng)處理后的響應(yīng)模型如下：

式中：X' 為歸一化的推力桿位置，取值為-1～1；Pd'為歸一化的推力桿指令；TP為推進裝置時間常數(shù)，和推力裝置的響應(yīng)速率有關(guān)。

舵機的響應(yīng)特性采用簡化的線性方程表達，模型如下：

式中：δa為實際舵角；δmax為最大舵角；δd為指令舵角；Δ為舵角偏差；Tδ為舵機的響應(yīng)時間常數(shù)，即舵機從左滿舵到右滿舵所經(jīng)歷的時間。

1.2船舶運動方程

船舶沿附體坐標(biāo)系的 x 軸方向，即船首方向的運動稱為船舶的縱移運動。縱向運動速度的微分方程為：

式中，Mu為船舶的質(zhì)量和 x 軸方向上附加質(zhì)量總和；u，v，r 分別為船的縱移速度、橫移速度以及首搖角速度；X 為推進力；Ru為 x 軸方向上的阻力系數(shù)。

對于 Ru，當(dāng)船舶以最大速度運動時，有 Ru=Xmax/ umax。令 τu=Mu/ Ru，代入上式可得：

船舶沿附體坐標(biāo)系的 y 軸方向的運動稱為船舶的橫移運動。橫向速度的微分表達式如下：

式中：Mv為船舶質(zhì)量和 y 軸方向上附加質(zhì)量總和；Rv為 y 軸方向上的阻力系數(shù)。令 τv=Mv/Rv，代入上式可得：

船舶的首搖運動即船舶繞附體坐標(biāo)系中的 z 軸所做的旋轉(zhuǎn)運動。在靜水條件下，首搖角速度的微分表達式為：

首搖運動方程的等式右邊包含了 3 個方面的力矩作用，即水流的阻力矩，橫移速度造成的力矩γLRv（v-γLr ）和舵提供的轉(zhuǎn)向力矩。其中，Iz為首搖轉(zhuǎn)動力矩，Kr為一個比例常數(shù)，L 為船長，γ 表示阻力中心偏離重心的程度，Rr為阻力矩系數(shù)。令 τr=Iz/ Rr，K'r=Kγδmax/ Iz，可得：

根據(jù)上述運動方程，可通過坐標(biāo)變換求出船舶相對于固定坐標(biāo)系的速度，進而求得船舶運動的軌跡方程。

2　一階線性 KT 方程的建立

一階線性 KT 方程根據(jù) MMG 模型，由船舶運動特點簡化成線性船舶運動數(shù)學(xué)模型［3］。當(dāng)附體坐標(biāo)系原點與船舶重心重合時，MMG 模型可歸結(jié)為下式：

式中：mx，my，Jxx，Jzz分別為附加質(zhì)量與附加慣性矩；FHFPFR分別為各自由度上流體粘性力、推進力和舵力。

將作用于船體、槳和舵上的流體動力，螺旋槳推力及舵力進行泰勒級數(shù)展開，略去 2 階及以上高階小量，只保留 1 階項，并且忽略縱向運動速度的變化，將縱向運動的表達式與橫向運動，首搖運動的表達式解耦，經(jīng)整理可將上面的 MMG 模型可簡化為下式：

將上述方程進行拉普拉斯變化并求解即可得到舵角到首搖角速度的傳遞函數(shù)：

經(jīng)泰勒公式展開并化簡，令 T=T1+ T2-T3，忽略高階小量，可以將傳遞函數(shù)降為一階，即

進一步可計算船舶的運動軌跡坐標(biāo)：

3　兩種模型的輸出首搖角對比分析

本文使用 Simulink 對 IEC62065 標(biāo)準(zhǔn)中的給出的 2種船型分別進行操舵運動仿真［4］，使用 Matlab 軟件的系統(tǒng)識別工具箱計算出與原模型擬合程度最高的 K 和T 參數(shù)，比較分析一階線性 KT 模型在不同船型，不同操舵運動下的誤差，討論一階線性 KT 方程的應(yīng)用的局限性。

2 種船型的模型參數(shù)如表1 所示。

表1　船型參數(shù)Tab.1　The parameters of ships

對于 B 型集裝箱船，首搖穩(wěn)定系數(shù)為 0，即橫移阻力對船舶的作用點與船舶重心基本重合，不會產(chǎn)生繞 Z 軸的力矩從而影響船舶的首搖運動。故 B 型集裝箱船的首搖運動響應(yīng)模型可直接簡化為以舵角作為系統(tǒng)輸入，首搖角作為系統(tǒng)輸出的一階線性響應(yīng)方程，其 K 和 T 參數(shù)可直接由原模型計算得到。對 B 型船進行階躍操舵運動的仿真試驗，并使用 Matlab 進行系統(tǒng)辨識得到 K=0.02，T=23，2 種模型首搖角輸出曲線可完全擬合。對 B 型船進行 Z 型操舵運動仿真試驗，得到的輸入舵角和輸出首搖角的時間歷史曲線如圖2所示。

圖2　B 型船的 Z 型運動仿真試驗Fig.2　Z-maneuver test of ship B

對于 A 型渡輪，首搖角穩(wěn)定系數(shù)不為 0，即橫移阻力對船舶的作用點與船舶重心稍有偏移，從而影響了船舶的首搖運動，原模型的首搖方程不能直接化為一階線性響應(yīng)模型的形式。對 A 型渡輪進行 10° 舵角的階躍操舵運動仿真試驗，將舵角作為輸入，艏搖角作為輸出，對系統(tǒng)進行參數(shù)辨識，得到 K=0.08，T=10.8。分別對原模型和一階線性 KT 方程進行不同舵角下的回轉(zhuǎn)試驗。圖3 所示為在不同舵角（5°，10°，25°，35°）下分別用 2 種模型仿真得到的首搖角時間歷史曲線。

圖3　不同舵角下首搖角時間歷史曲線Fig.3　The yawing angle-time curve of different rudder angle

在 500 s 以內(nèi)，不同舵角下一階線性 KT 方程輸出首搖角的最大誤差如表2 所示。

表2　A 型船在不同舵角下的輸出首搖角誤差Tab.2　The error of yawing angle of ship A under different rudder angles

可以看出，簡化一階線性 KT 模型只在 10° 舵角附近與原模型擬合度較高，10° 時輸出首搖角的誤差百分比最大為 2.3%，而在其他舵角下的誤差較大，相似度較低。在 35° 舵角下 2 模型的輸出首搖角的誤差百分比達到 25.9%。由于橫移阻力對首搖力矩的影響，K 和T 的值較明顯地依賴于輸入舵角的變化。因此對于 A型渡輪，一階線性 KT 方程不適用。此時需引入非線性項 ar3，其中 a 為新引入的常數(shù)，r 為首搖角速度。加入非線性項的一階 KT 方程形式如下：

對 A 型渡輪進行一系列給定舵角下的定常回轉(zhuǎn)運動試驗，得到在不同舵角下的定常回轉(zhuǎn)運動狀態(tài)時的穩(wěn)定艏搖角速度如表 3 所示。

表3　定常回轉(zhuǎn)狀態(tài)下的首搖角速度Tab.3　The angular velocity of yawing angle during constant turning

應(yīng)用最小二乘法對上表中的數(shù)據(jù)進行擬合，取 a=0.073，K=0.09。分別對原模型和加入非線性項的一階KT 方程進行不同舵角下的回轉(zhuǎn)試驗。如圖3（c）所示，是在不同舵角（5°，10°，25°，35°）下分別用 2種模型仿真得到的首搖角時間歷史曲線。

在 500 s 以內(nèi)，不同舵角下非線性的一階 KT 方程輸出艏搖角的最大誤差如表 4 所示。

比較上述 2 次試驗的圖形和數(shù)據(jù)。相較于一階線性 KT 方程，加入非線性項的一階 KT 方程得到的首搖角時間曲線和使用 IEC62065 提供模型得到的首搖角時間曲線的擬合度明顯提高。上述試驗中，舵角為 35°時，2 種模型仿真得到的首搖角的最大誤差為 4.7%，在 5% 的范圍內(nèi)，可以認(rèn)為 2 種模型具有較好的相似度。

圖4　不同舵角下艏搖角時間歷史曲線Fig.4　The yawing angle-time curve of different rudder angle

表4　B 型船在不同舵角下的輸出首向角誤差Tab.4　The error of yawing of ship B under different rudder angles

4　結(jié)　語

本文對國際電工委員會制定的航跡自動舵標(biāo)準(zhǔn)（IEC62065）中提供的船舶運動模型進行仿真試驗，并與一階線性 KT 方程的仿真結(jié)果進行比較，介紹了加入非線性項的一階 KT 方程，探討了非線性項對不同船型在不同舵角操舵運動狀態(tài)下的影響。得出結(jié)論如下：

1）對于上述仿真實驗中 B 型船這樣的中速集裝箱船，其受力特點是橫向力作用點與船舶重心基本重合，故可以忽略橫向速度對轉(zhuǎn)首力矩的影響，進而兩模型可以等價轉(zhuǎn)換。然而對于 A 型船這樣的小型高速渡輪，橫向力對轉(zhuǎn)首力矩的影響較大，首搖角速度與橫向速度之間的耦合不可以忽略，故兩運動模型輸出首搖角的誤差隨輸入舵角的變化而產(chǎn)生的變化較大，在 35° 舵角下，500 s 內(nèi)，輸出首搖角的最大誤差達到25.9%。

2）加入非線性項的一階 KT 方程能夠較好地對線性 KT 方程進行修正。在小舵角范圍內(nèi)誤差和線性 KT方程相近，而在 35° 舵角下，500 s 內(nèi)，輸出首搖角的最大誤差縮小至 4.7%，可以認(rèn)為與 IEC62065 提供的運動模型有較好的相似度。對于航跡航向舵自動檢測平臺而言，非線性的一階 KT 方程考慮到了船舶運動方程中的非線性項，能夠更好地模擬船舶的真實運動狀態(tài)，同時減少了計算量，使用較為方便。

船舶的運動特性從本質(zhì)上來看是非線性的，而使用一階線性 KT 方程是建立在忽略流體動力的非線性特性以及縱向速度變化的基礎(chǔ)之上。實驗表明，對于部分船型，忽略流體動力的非線性特性會帶來較大的誤差。另一方面，對于高速船，回轉(zhuǎn)時會產(chǎn)生較大的橫傾，這時橫傾會對首搖運動產(chǎn)生較大影響，這時需要考慮二者之間的耦合。關(guān)于高速船回轉(zhuǎn)時橫傾角的影響有待進一步的研究。

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The comparison and applicability analysis of two kinds of responding ship model

SUN Jian，CHEN Yong-bing，ZHOU Gang，LI Wen-kui
（Electrical Engineering College，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

Ship model is the foundation and core of detection platform of autopilot.It has important significance for research and development of autopilot and design of ship motion control algorithms.There are limitations of the simplified first order linear KT equation which is commonly used in existing detection platform of autopilot because the neglect of the speed loss and the coupling relationship between transverse velocity and yawing angle.This paper introduces the ship model proposed by IEC62065.Comparison analysis on the simulation of this ship model and traditional KT equation show the application scope of the simplified first order linear KT equation.Meanwhile，this paper also introduces improved nonlinear KT equation.The simulation experiment proves the similarity between this model and the model proposed by IEC62065.And the nonlinear KT equation decreases the calculation workload.

ship model；autopilot；KT equation

U666.11

A

1672-7619（2016）06-0014-06

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.06.003

2016-01-15；

2016-03-01

國家自然科學(xué)基金資助項目（41474061）

孫健（1991-），男，碩士研究生，研究方向為艦船組合導(dǎo)航與操舵控制。