《安全通論》(5)
——攻防篇之“非盲對抗”之“勸酒令”

楊義先，鈕心忻

(北京郵電大學 信息安全中心，北京 100876)

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《安全通論》(5)
——攻防篇之“非盲對抗”之“勸酒令”

楊義先，鈕心忻

(北京郵電大學 信息安全中心，北京 100876)

編者按：網絡空間安全的本質就是攻防對抗。“安全對抗”又分為兩大類：盲對抗和非盲對抗。在本系列之二《安全通論》(2)——攻防篇之盲對抗中，對 “盲對抗”已經有所介紹，并給出了黑客(紅客)攻擊(防守)能力的精確極限，針對“非盲對抗”，文章繼續引用經典游戲來進行分析。在該文中，酒友們在宴會上常玩的“猜拳”和“劃拳”等勸酒令，也成了《安全通論》的研究內容，仍然采用統一的“信道容量方法”，給出了“贏酒杯數”和“罰酒杯數”的理論極限，還給出了醉鬼獲勝的調整技巧。當然，這些內容也是《安全通論》不可或缺的組成部分。文章還針對所有“輸贏規則線性可分”的“非盲對抗”，給出了統一的解決方案。為與本刊風格一致，我們對文字略作了一些微調。閱讀原文可登錄科學網原文網絡鏈接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-950146.html。

楊義先

教授，博士生導師，災備技術國家工程實驗室主任，北京郵電大學信息安全中心主任，教育部網絡攻防重點實驗室主任，《微型機與應用》編委，主要研究方向：網絡空間安全、現代密碼學和糾錯編碼等。

鈕心忻

博士，教授，博士生導師。北京郵電大學學士和碩士學位，香港中文大學電子工程系博士學位。1997年起在北京郵電大學信息工程學院(現計算機學院)從事教學與科研工作。主要研究方向：網絡與信息安全、信號與信息處理等。

0 引言

以網絡空間安全、經濟安全、領土安全等為代表的所有安全問題的核心就是“對抗”！所以，無論花多少篇幅，都必須把它研究透徹，至少是要盡可能透徹。哪怕是多次變換角度，甚至利用古老游戲和時髦娛樂項目，來全面深入地研究安全對抗問題，都是值得的。

“安全經絡”是《安全通論》的第一塊基石，文獻[1]已經打好了這塊基石。

“安全對抗”是《安全通論》的第二塊基石。“安全對抗”分為兩大類：盲對抗、非盲對抗。為了打好這第二塊基石，我們已經在文獻[2]中，統一研究了“盲對抗”，并給出了黑客(紅客)攻擊(防守)能力的精確極限。針對“非盲對抗”，雖然已經找到了統一的研究方法(信道容量法)，但是，由于“非盲對抗”的模型千變萬化，我們只好“見招拆招”。比如，分別在文獻[3]和[4]中，以“石頭剪刀布游戲”、“猜正反面游戲”和“手心手背游戲”為對象，研究了“非盲對抗”的三個有趣實例，給出了輸贏極限和獲勝技巧。本文對酒桌上著名的兩個實例(劃拳、猜拳)進行分析，仍然采用統一的“信道容量方法”，給出了“贏酒杯數”和“罰酒杯數”的理論極限，還給出了醉鬼獲勝的調整技巧。當然，這些內容也是《安全通論》不可或缺的組成部分。此外，針對“非盲對抗”的很大一個子類(輸贏規則線性可分的情況)，我們給出了統一的解決方案。

1 “猜拳”贏酒

“猜拳”是宴會上主人和客人鬧酒的游戲形式之一。其游戲規則是：在每個回合中，主人和客人同時獨立亮出如下4種手勢之一：蟲子、公雞、老虎、棒子，然后，雙方共同根據如下“勝負判定規則”來決定該罰誰喝一杯酒：

“蟲子”被“公雞”吃掉；“公雞”被“老虎”吃掉；“老虎”被“棒子”打死；“棒子”被“蟲子”蛀斷。

除此之外，主客雙方如果平局，則互不罰酒。

一個回合結束后，主客雙方再進行下一回合的“猜拳”。

將此“猜拳游戲”用數學方式表示出來便是：設主人和客人分別用隨機變量X和Y來表示，它們的可能取值有4個：0，1，2，3。具體如下：

當主人(或客人)亮出“蟲子”時，記X=0(或Y=0)；

當主人(或客人)亮出“公雞”時，記X=1(或Y=1)；

當主人(或客人)亮出“老虎”時，記X=2(或Y=2)；

當主人(或客人)亮出“棒子”時，記X=3(或Y=3)。

如果某回合中，主人亮出的是x(即X=x，0≤x≤3)，而客人亮出的是y(即Y=y，0≤y≤3)，那么，本回合主人贏(即罰客人一杯酒)的充分必要條件是：(x-y)mod4=1；客人贏(即罰主人一杯酒)的充分必要條件是：(y-x)mod4=1；否則，本回合為“平局”，即主客雙方互不罰酒，接著進行下一回合的“斗酒”。

這個“猜拳”游戲顯然是一種“非盲對抗”。主人和客人到底誰輸誰贏？最多會被罰多少杯酒？他們怎樣才能讓對方多喝，而自己少喝？下面就用《安全通論》的“信道容量法”來回答這些問題。

由概率論中的大數定律，頻率趨于概率，所以，根據“主人(X)”和“客人(Y)”的習慣，即過去他們“斗酒”的統計規律(如果他們是初次見面，那么不妨讓他們以“熱身賽”方式先“斗酒”一陣子，然后記下他們的習慣)，就可以分別給出X和Y的概率分布，以及(X，Y)的聯合概率分布：

0

0

0

px=∑0≤y≤3txy，x=0,1,2,3；

qy=∑0≤x≤3txy，y=0,1,2,3。

為了分析“主人”贏酒情況，我們構造一個隨機變量Z=(Y+1)mod4。然后，再用隨機變量X和Z構成一個信道(X；Z)，稱它為“猜拳主人信道”，即該信道以X為輸入、Z為輸出。

下面來分析幾個事件等式。如果某回合中，主人亮出的是x(即X=x，0≤x≤3)，而客人亮出的是y(即Y=y，0≤y≤3)，那么：

如果本回合“主人”贏，則有(x-y)mod4=1，即，y=(x-1)mod4，于是，z=(y+1)mod4=[(x-1)+1]mod4=xmod4=x，換句話說，此時，“猜拳主人信道”的輸出Z始終等于輸入X，也就是說，一個“比特”被成功地從輸入端X發送到了輸出端Z。

反過來，如果在“猜拳主人信道”中，一個“比特”被成功地從輸入端X發送到了輸出端Z,那么，此時就有“輸出z始終等于輸入x，即z=x”，也就有(x-y)mod4=(z-y)mod4=[(y+1)-y]mod4=1mod4=1，于是，根據“猜拳”規則，就該判“主人贏”，即客人罰酒一杯！

結合上述正反兩種情況有：

引理1：在“猜拳”游戲中，“主人贏一次”就等價于“1個“比特”被成功地從“猜拳主人信道”(X；Z)的輸入端發送到了輸出端”。

由引理1，再結合仙農信息論的著名“信道編碼定理”[5-6]：如果“猜拳主人信道”的容量為C，那么，對于任意傳輸率k/n≤C，都可以在譯碼錯誤概率任意小的情況下，通過某個n比特長的碼字，成功地把k個比特傳輸到收信端。反過來，如果“猜拳主人信道”能夠用n長碼字，把S個比特無誤差地傳輸到收信端，那么，一定有S≤nC。把這段話翻譯一下，便有如下定理：

定理1(猜拳主人贏酒定理)：設由隨機變量(X；Z)組成的“猜拳主人信道”的信道容量為C，那么，在剔除掉“平局”的情況后有：(1)如果主人想罰客人k杯酒，那么，他一定有某種技巧(對應于仙農編碼)，使得他能夠在k/C個回合中，以任意接近1的概率達到目的。反過來，(2)如果主人在n回合中，贏了S次，即，罰了客人S杯酒，那么，一定有S≤nC。

由該“猜拳主人贏酒定理”可知，只要求出“猜拳主人信道”的信道容量C，那么，主人“贏酒”的“杯數”極限就確定了。下面就來求信道容量C。

首先，(X，Z)的聯合概率分布為：

Pr(X=i,Z=j)=Pr(X=i,(Y+1)mod4=j)=Pr(X=i,Y=(j-1)mod4)=ti(j-1)mod4，i,j=0,1,2,3,4

所以，“猜拳主人信道”(X；Z)的信道容量就是：

C=Max[I(X,Z)]=Max{∑0≤i,j≤3[ti(j-1)mod4]

log[ti(j-1)mod4]/(piqj)}

這里的最大值Max是針對滿足如下條件的實數而取的：0

同理，可以分析“客人贏酒”的情況，此處不再贅述。

可見，“主人”贏酒的多少(C(q0,q1,q2,q3))，其實取決于“客人”的習慣(q0,q1,q2,q3)。如果主客雙方都固守他們的習慣，那么，他們的輸贏已經“天定”了；如果“主人”或“客人”中有一方見機行事(即調整自己的習慣)，那么，當他調整到其信道容量大過對方時，他就能夠整體上贏；如果“主人”和“客人”雙方都在調整自己的習慣，那么，他們最終將達到動態平衡。

2 “劃拳”贏酒

“劃拳”比“猜拳”更復雜，是宴會上主人和客人鬧酒的另一種游戲形式。

該游戲規則是：在每個回合中，主人(A)和客人(B)各自同時獨立地在手上亮出0～5這6種手勢之一，并在嘴上吼出0～10這11個數之一。也就是說，每個回合中，“主人A”是一個2維隨機變量，即A=(X，Y)，其中，0≤X≤5是“主人”手上顯示的數，而0≤Y≤10是“主人”嘴上吼出的數。同樣，“客人B”也是一個2維隨機變量，即B=(F，G)，其中，0≤F≤5是“客人”手上顯示的數，而0≤G≤10是“客人”嘴上吼出的數。

如果在某個回合中，“主人”和“客人”的2維數分別是(x,y)和(f,g)，那么，“劃拳”游戲的罰酒規則是：

如果，x+f=y，那么，“主人”贏，罰“客人”喝一杯酒；如果，x+f=g，那么，“客人”贏，罰“主人”喝一杯酒；如果上述兩種情況都不出現，則為“平局”，主客雙方互不罰酒，接著進行下一回合。具體來說：雙方嘴上吼的數一樣(即g=y)時，“平局”出現；雙方雖然吼的數各不相同，但是，他們“手上顯示的數之和”不等于“任何一方嘴上吼的數”時，“平局”也出現。

這個“劃拳”游戲顯然也是一種“非盲對抗”。下面就用《安全通論》的“信道容量法”來研究游戲雙方的輸贏問題。

與前文“猜拳”游戲類似，由概率論中的大數定律，頻率趨于概率，根據“主人(A)”和“客人(B)”的習慣，即過去他們“斗酒”的統計規律，就可以分別給出A和B及其分量X、Y、F、G的概率分布，以及4個隨機變量(X，Y，F，G)的聯合概率分布：

“主人”手上顯示x的概率：0

“客人”手上顯示f的概率：0

“主人”嘴上吼y的概率：0

“客人”嘴上吼g的概率：0

“主人”手上顯示x，嘴上吼y的概率：

0

“客人”手上顯示f，嘴上吼g的概率：

0

“主人手上顯示x，嘴上吼y；同時，客人手上顯示f，嘴上吼g”的概率：

0

為了分析“主人”贏酒情況，構造一個2維隨機變量：Z=(U,V)=(Xδ(G-Y)，X+F)，這里的δ函數定義為：δ(0)=0；δ(x)=1，如果x≠0。于是：

Pr[Z=(u,v)]=∑x+f=v,xδ(g-y)=utxyfg=:duv，這里，0≤v≤10，0≤u≤5。

然后，再用隨機變量A和Z構成一個信道(A；Z)，稱它為“劃拳主人信道”，即，該信道以A為輸入，以Z為輸出。

下面來分析幾個事件等式。如果某回合中，主人手上亮出的是x(即X=x，0≤x≤5)，主人嘴上吼的是y(即Y=y，0≤y≤10)；而客人手上亮出的是f(即F=f，0≤f≤5)，客人嘴上吼的是g(即G=g，0≤g≤10)。那么，根據“劃拳”的評判規則有：

如果本回合“主人”贏，那么，x+f=y，同時y≠g。于是，δ(g-y)=1，進一步就有：Z=(u,v)=(xδ(g-y)，x+f)=(x,y)=A，換句話說，此時，“劃拳主人信道”的輸出Z始終等于輸入A，也就是說：一個“比特”被成功地從輸入端A發送到了輸出端Z。

反過來，如果在“劃拳主人信道”中，一個“比特”被成功地從輸入端A發送到了輸出端Z，那么，此時就有“輸出z=(u,v)=(xδ(g-y)，x+f)始終等于輸入(x,y)”，也就有：xδ(g-y)=x同時x+f=y，即，y≠g且x+f=y，于是，根據“劃拳”規則，就該判“主人贏”，即，客人罰酒一杯！

結合上述正反兩種情況，便有：

引理2：在“劃拳”游戲中，“主人贏一次”就等價于“1個“比特”被成功地從“劃拳主人信道”(A；Z)的輸入端，發送到了輸出端”。

由引理2，再結合仙農信息論的著名“信道編碼定理”[5-6]：如果“劃拳主人信道”的容量為D，那么，對于任意傳輸率k/n≤D，都可以在譯碼錯誤概率任意小的情況下，通過某個n比特長的碼字，成功地把k個比特傳輸到收信端。反過來，如果“劃拳主人信道”能夠用n長碼字，把S個比特無誤差地傳輸到收信端，那么，一定有S≤nD。把這段話翻譯一下，便有如下定理：

定理2(劃拳主人贏酒定理)：設由隨機變量(A；Z)組成的“劃拳主人信道”的信道容量為D。那么，在剔除掉“平局”的情況后有：(1)如果主人想罰客人k杯酒，那么，他一定有某種技巧(對應于仙農編碼)，使得他能夠在k/D個回合中，以任意接近1的概率達到目的。反過來，(2)如果主人在n回合中贏了S次，即，罰了客人S杯酒，那么，一定有S≤nD。

由該“劃拳主人贏酒定理”可知，只要求出“劃拳主人信道”的信道容量D，那么，主人“贏酒”的“杯數”極限就確定了。下面就來求信道容量D：

D=Max[I(A,Z)]

=Max{∑a,zPr(a,z)log[Pr(a,z)/[Pr(a)Pr(z)]]}

=Max{∑x,y,f,gPr(x,y,xδ(g-y),x+f)log[Pr(x,y,xδ(g-y),x+f)/[Pr(x,y)Pr(xδ(g-y),x+f)]]}

=Max{∑x,y,f,gtx,y,xδ(g-y),x+flog[tx,y,xδ(g-y),x+f/

[bxydxδ(g-y),x+f]]}

這里的最大值是針對滿足如下條件的正實數而取的：

0≤y≤10；∑0≤y≤10ry=1；

0≤y≤10，0≤x≤5，∑0≤y≤10,0≤x≤5bxy=1；

0≤g≤10，0≤f≤5，∑0≤g≤10,0≤f≤5hfg=1。

所以，“劃拳主人信道”的容量D其實是滿足條件0≤f≤5；f0+f1+f2+f3+f4+f5=1；0≤g≤10；∑0≤g≤10sg=1的fi，gj的函數，0≤i≤5,0≤j≤10。

同理，可以分析“客人贏酒”的情況，此處不再贅述。

可見，“劃拳主人”贏酒的多少(D(gj,fi))，其實取決于“客人”的習慣(gj,fi)。如果主客雙方都固守他們的習慣，那么，他們的輸贏已經“天定”了；如果“主人”或“客人”中有一方見機行事(即，調整自己的習慣)，那么，當他調整到其信道容量大過對方時，他就能夠整體上贏；如果“主人”和“客人”雙方都在調整自己的習慣，那么，他們最終將達到動態平衡。

3 線性可分“非盲對抗”的抽象模型

設黑客(X)共有n招來發動攻擊，即隨機變量X的取值共有n個，不妨記為{x0,x1,…xn-1}={0,1,2,…,n-1}，這也是黑客的全部“武器庫”。

設紅客(Y)共有m招來抵抗攻擊，即隨機變量Y的取值共有m個，不妨記為{y0,y1,…ym-1}={0,1,2,…,m-1}，這也是紅客的全部“武器庫”。

注意：在下面推導中，將根據需要在“招xi，yj”和“數i,j”之間等價地變換，即：xi=i，yj=j，其目的在于，既把問題說清楚，又在形式上簡化。

在非盲對抗中，每個黑客武器xi(i=0,1,…,n-1)和每個紅客武器yj(j=0,1,…,m-1)之間，存在著一個紅黑雙方公認的輸贏規則，于是，一定存在2維數集{(i,j),0≤i≤n-1,0≤j≤m-1}的某個子集H，使得“xi勝yj”當且僅當(i,j)∈H。如果這個子集H的結構比較簡單，那么，我們就能夠構造某個信道，使得“黑客贏一次”等價于“1比特信息被成功地從該通信信道的發端傳輸到了收端”，然后，再利用著名的仙農信道編碼定理即可。比如：

在“石頭剪刀布”游戲中，H={(i,j):0≤i,j≤2，(j-i)mod3=2}；

在“猜正反面”游戲中，H={(i,j):0≤i=j≤1}；

在“手心手背”游戲中，H={(i,j,k):0≤i≠j=k≤1}；

在“猜拳”游戲中，H={(i,j):0≤i,j≤3，(i-j)mod4=1}；

在“劃拳”游戲中，H={(x,y,f,g):0≤x,f≤5；0≤g≠y≤10；x+f=y}。

在文獻[3,4]和本文中，已經針對以上各H構造出了相應的通信信道。但是，對一般的H，卻很難構造出這樣的通信信道，不過，有一種特殊情況還是可以有所作為的，即，如果上面的集合H可以分解為H={(i,j):i=f(j),0≤i≤n-1,0≤j≤m-1}(即，H中第一個分量j是其第二個分量的某種函數)，那么，我們就可以構造一個隨機變量Z=f(Y)。然后，考慮信道(X；Z)，于是便有如下事件等式：

如果在某個回合中，黑客出擊的招是xi，而紅客應對的招是yj，那么：

如果“黑客贏”，則有i=f(j)，也就是說，此時信道(X；Z)的輸出便是Z=f(yj)=f(j)=i=xi，即，此時信道的輸出與輸入相同，即1個比特被成功地從信道(X；Z)的輸入端發送到了輸出端。

反過來，如果“1個比特被成功地從信道(X；Z)的輸入端發送到了輸出端”，那么，此時就該有“輸入=輸出”，即“i=f(j)”，這也就意味著“黑客贏”。

結合上述正反兩個方面，得到如下定理：

定理3(線性非盲對抗極限定理)：在“非盲對抗”中，設黑客X共有n種攻擊法{x0,x1,…xn-1}={0,1,2,…,n-1}；設紅客Y共有m種防御法{y0,y1,…ym-1}={0,1,2,…,m-1}，又設紅黑雙方約定的輸贏規則是：“xi勝yj”當且僅當(i,j)∈H。這里H是矩形集合{(i,j),0≤i≤n-1,0≤j≤m-1}的某個子集。

如果H關于黑客X是線性的，即，H可以表示為H={(i,j):i=f(j),0≤i≤n-1,0≤j≤m-1}(即，H中第一個分量i是其第二個分量j的某種函數f(.))，那么，便可以構造一個信道(X；Z)，其中Z=f(Y)，使得若C是信道(X；Z)的信道容量，則有：

(1)如果黑客想贏k次，那么，他一定有某種技巧(對應于仙農編碼)，使得他能夠在k/C個回合中，以任意接近1的概率達到目的；

(2)如果黑客在n個回合中贏了S次，則一定有S≤nC。

如果H關于紅客Y是線性的，即，H可以表示為H={(i,j):j=g(i),0≤i≤n-1,0≤j≤m-1}(即，H中第二個分量j是其第一個分量i的某種函數g(·))，那么，便可以構造一個信道(Y；G)，其中G=g(X)，使得若D是信道(Y；G)的信道容量，則有：

(1)如果紅客想贏k次，那么，他一定有某種技巧(對應于仙農編碼)，使得他能夠在k/D個回合中，以任意接近1的概率達到目的;

(2)如果紅客在n個回合中贏了S次，則一定有S≤nD。

4 結束語

“石頭剪刀布”、“手心手背”、“猜正反面”、“猜拳”和“劃拳”等游戲，其實它們的輸贏規則集H都是線性可分的，因此，它們全是本文定理3(線性非盲對抗極限定理)的特例而已。至于H為不可分情況，相應的信道構造就無從下手了，這個問題就作為公開問題，留待今后解決吧。

為了加深大家的印象，我們對“盲對抗”和“非盲對抗”再做一些形象的描述：

所謂“盲對抗”，就是在每個攻防回合后，攻防雙方都只知道自己的“自評結果”，而對敵方的“他評結果”一無所知。像大國斗智、戰場搏殺、網絡攻防、諜報戰等比較慘烈的對抗，通常都屬于“盲對抗”。這里的“盲”，與是否面對面無關，比如，“兩潑婦互相罵街”就是典型的面對面的“盲對抗”，因為，“攻方”是否罵到了“守方”的痛處，只有“守方”自己才知道，而且，被罵者通常還要極力掩蓋其痛處，不讓“攻方”知道自己的弱點在哪。當然，“一群潑婦互相亂罵”，更是盲對抗了。

所謂“非盲對抗”，就是在每個攻防回合后，雙方都知道本回合的一致的“勝敗結果”。比如，像古老的“石頭剪刀布”游戲中，一旦雙方的手勢亮出后，本回合的勝敗結果就一目了然。像許多賭博游戲、體育競技等項目都屬于“非盲對抗”。家喻戶曉的童趣游戲“猜正反面游戲”、“手心手背游戲”和本文中的“劃拳”和“劃拳”等，也都是“非盲對抗”，只不過，在“手心手背游戲”中彼此對抗的人，不再是兩個，而是三個。

更加形象地說，“潑婦罵架”是“盲對抗”，但是，“兩流氓打架”卻是“非盲對抗”了。因為，人的身體結構都相似，被打的痛處在哪，誰都知道，而且結論也基本一致，所以，“打架”是“非盲的”，當然，“打群架”也是“非盲對抗”。但是，人的心理結構卻千差萬別，被罵的痛點會完全不同，所以，“罵架”是“盲的”。

(致謝：本文中的“劃拳”和“猜拳”游戲，由北京CA總經理詹榜華博士提供，特此致謝。)

[1] 楊義先，鈕心忻.安全通論(1)——經絡篇[J].微型機與應用，2016，35(15)：1-4.

[2] 楊義先，鈕心忻.安全通論(2)——攻防篇之“盲對抗”[J].微型機與應用，2016，35(16)：1-5.

[3] 楊義先，鈕心忻.安全通論(3)——攻防篇之“非盲對抗”之“石頭剪刀布”[J].微型機與應用，2016，35(17)：1-3.

[4] 楊義先，鈕心忻.安全通論(4)——攻防篇之“非盲對抗”之“童趣游戲”[J].微型機與應用，2016，35(18)：3-5，9.

[5] COVER T M， THOMAS J A，著.信息論基礎[M].阮吉壽，張華，譯.北京：機械工業出版社，2007.

[6] Shu Lin， COSTELLO D J,JR.著，差錯控制碼[M].晏堅，何元智，潘亞漢，等，譯.北京：機械工業出版社，2007.

(未完待續，系列之六《安全通論(6)——攻防篇之“多人盲對抗”》見下期)