滬深300股指期貨極差波動率的分布特征和長記憶性分析
——基于頻域的檢驗方法

李 艷，吳 亮

(阜陽師范學院 a.數學與統計學院;b.經濟學院，安徽 阜陽 236037)

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【財經與公共管理研究】

滬深300股指期貨極差波動率的分布特征和長記憶性分析
——基于頻域的檢驗方法

李 艷a，吳 亮b

(阜陽師范學院 a.數學與統計學院;b.經濟學院，安徽 阜陽 236037)

當前對于滬深300股指期貨的研究多集中于期貨市場的價格發現功能，對于極差波動率方面還未涉及。以滬深300股指期貨近5年的日數據為樣本，分析滬深300股指期貨極差波動率的相應統計特征。采用極差波動率建模方法，對滬深300股指期貨的波動率進行建模，分析其分布性質。基于頻域的檢驗方法，檢驗期貨極差波動率是否為真實長記憶過程，利用GPH和局部Whittle方法對極差波動率的記憶參數進行估計。結果發現，對數極差波動率的偏度和峰度為自相關系數呈緩慢衰減，顯示出長記憶性，期貨極差波動率為真實長記憶過程，且參數值接近于典型值0.4，以此為依據進行波動率預測工作。

滬深300股指期貨；極差波動率；真實長記憶；GPH；局部Whittle

0 引言

波動率在衍生品定價、資產配置和風險管理等方面起到重要的作用，波動率的典型建模方法是Engle和Bollerslev提出的GARCH類模型[1-2]以及Taylor提出的隨機波動率模型(Stochastic Volatility, SV)[3]。然而這兩類模型都是基于收益率的建模方法即利用收益率的絕對值或者平方作為波動率的代理變量，進而得到真實波動率的估計。由于收益率數據僅僅是利用了某一交易時段的收盤價信息，并不能完全反映時段內價格變動的信息，為彌補這一缺陷，學術界利用日內價格信息構建波動率模型，典型的是Parkinson等提出基于價格極差(Range，定義為某一時間段內最高價與最低價之差)的波動率[4]，隨后 Garman和Klass在此基礎上進一步引入開盤價和收盤價信息來構建波動率[5]。為反映極差的動態特征，一些研究開始基于極差來對波動率建模如Alizadeh等提出了基于極差的SV模型[6]，Chou提出條件極差波動模型[7]，上述研究均證明了基于極差的波動率建模方法的有效性。

波動率過程通常具有長記憶性，如Andersen等研究發現股票和外匯市場的已實現波動率RV具有長記憶性特征[8-9]；施紅俊等利用GPH法對滬深A股指數以及上證180和深證成指部分樣本股進行長記憶性檢驗，得出滬深兩市的波動率序列均具有高度顯著的長記憶特征[10]；謝赤和岳漢奇運用經典R/S、V/S及小波方差分析，發現人民幣兌美元匯率的波動率存在顯著長記憶性特征[11]。另一方面，對于期貨市場波動率的特征研究相對較少，Areal和Taylor分析5分鐘FSTE100股指期貨的已實現波動率，發現已實現波動率具有持續的正自相關，顯示出長記憶特征[12]；Chen等分析多種期貨合約的波動率持續性特征，其選取的波動率測度有GARCH波動率和已實現波動率，研究結論發現已實現波動率的持續性要強于GARCH波動率[13]；龐淑娟等采用GPH方法檢驗中國期貨市場的5種期貨產品波動率的長記憶特征[14]。

滬深300股指期貨作為我國首個金融期貨品種，其上市交易推動一直以來較為滯后的金融衍生品市場的發展。隨著滬深300股指期貨的推出，對于滬深300股指期貨的研究日益增多，但這些研究更多是集中于期貨市場的價格發現功能，對于極差波動率方面的研究還未涉及，本文擬彌補這一空白，分析滬深300股指期貨極差波動率的相應統計特征。特別的以往基于R/S，修正R/S和V/S方法對真實長記憶過程和謬誤長記憶過程缺乏檢驗效力，而Qu基于頻域提出的檢驗方法，通過蒙特卡洛模擬發現有著最高的檢驗效力[15]，因此本文利用Qu的檢驗方法，檢驗股指期貨極差波動率的長記憶特征。

1 極差波動率與長記憶分析

1.1 基于極差的波動率模型

Parkinson在對數價格服從隨機游走過程且波動率動態為分段線性過程條件下，給出經典的極差波動率估計量，其表達式為：

(1)

Parkinson指出極差利用了日內價格的變動信息而不僅僅是收盤時點的信息，可以顯著提高波動率估計的效率，同時證明基于極差的波動率估計量效率要高于基于收益率的波動率估計量，前者的方差近似為后者的1/5，因此具有更小的置信區間。除了估計量精度的優勢外，Alizadeh等進一步指出，對數極差波動率具有近似正態分布，從而避免了收益率尖峰厚尾分布帶來的估計困難且對微觀市場噪音穩健；另外，金融市場報價信息中通常都包含了日內交易的最高價和最低價，使得基于極差的波動率建模方法具有廣泛的適用性。

1.2 極差波動率的長記憶性檢驗

長記憶性(long memory)指的是時間序列自相關的持續性，即自相關系數以非常緩慢的雙曲線比率衰減，也就是說時間序列存在著一定的自相關性，歷史的波動會對未來產生影響，從經濟學的角度看，長記憶過程表明外在沖擊的影響在長期內會消失，但是調整過程會很緩慢。對于長記憶性的時域檢驗方法有R/S分析、修正R/S分析和V/S分析，隨著長記憶性研究方法的深入與發展，基于頻域視角來檢驗長記憶性特征的統計量也不斷涌現，如Qu通過比較長記憶性和謬誤長期記憶性序列的譜域(spectral domain)性質，構建區分長記憶性和謬誤長記憶性的檢驗統計量。其構建檢驗統計量的思路是利用局部Whittle似然函數：

(2)

(3)

求R(d)關于d的導數：

(4)

(5)

(6)

1.3 長記憶性參數估計

除對序列是否是長記憶過程進行檢驗外，長記憶過程研究中需要解決的另一個問題是對分整階數(fractional integrated order)即長記憶參數進行估計，基于頻域的半參數方法將參數和非參數方法相結合，一方面降低參數方法中的正態性要求，一方面在估計參數時提出相應假設條件，改進非參數方法穩健性差的問題。常用的半參數估計法有Geweke 和Porter-Hudak所提出的GPH估計量[16]以及Robinson所提出的局部Whittle估計量[17]。GPH的長記憶參數估計量采用如下的譜回歸(spectrum regression)或對數周期圖回歸(log periodogram)：

lnI(λj)=c-dln{4sin2(λj/2)}+εj， j=1,2,…,m。

(7)

(8)

Robinson提出一種高斯半參數估計法(也稱為局部Whittle方法)，與GPH方法相比，該估計量的假設條件相對較弱，但更加漸近有效，且具有漸近正態性和一致性等特點。Robinson通過最大化式(3)得到長記憶參數的局部Whittle估計量并給出該估計量的極限分布：

(9)

由于1/4<π2/24，因此對于相同的頻率m，局部Whittle估計量在漸近意義上較GPH估計量更為有效。

2 實證分析

選取滬深300股指和其對應的期貨主力合約“當月合約”構成的當月連續指數的日數據，包括日最高價和最低價，樣本期共計1 028個交易日，數據來源于Wind數據庫。通過式(1)構建滬深300期貨的極差波動率，對極差波動率序列取自然對數，圖1給出了期貨對數極差波動率的時序圖。

對對數極差波動率的統計特征分析，采用了如下統計量：均值(Mean)、標準差(S. D)、偏度( Skewness)、峰度( Kurtosis)、Jarque-Bera 統計量、Ljung-Box Q 統計量、ADF統計量，表1給出了具體的統計結果。

圖1 期貨對數極差波動率的時序圖

均值標準差偏度峰度JBADFQ(30)Q(60)Q(100)-4.6140.4870.1932.9196.645**-6.579***719.029***809.702***872.444***

第一，從表1的統計分析結果可以看出，對數極差波動率的偏度系數0.193，稍大于0，而峰度系數為2.919，相較于正態分布的0和3稍有差異，分布呈現左偏形態，但JB正態性檢驗在5%顯著性水平上拒絕正態分布的原假設，圖2給出對數極差波動率的直方圖和相應核密度圖以及以表1中均值和標準差得到的正態分布圖，由圖2中可看到，首先，在尾部區域核密度函數與正態分布函數基本重合，而在中間區域兩者之間具有一定差異；其次，由Ljung-Box Q 統計量對自相關的檢驗結果可知，在較長的時間范圍內(100期以內)都顯著拒絕自相關系數為零的原假設，自相關系數顯示出緩慢衰減，具有長記憶特征；最后，以AIC信息準則確定最優檢驗滯后階數的ADF單位根檢驗結果可知，顯著拒絕存在單位根的原假設，因此，可以認為對數極差波動率都是平穩時間序列，可以直接進行下一步的工作——對長記憶性進行檢驗。

第二，進行長記性分析。Perron和Qu指出均值受到結構變化或平滑趨勢影響的短記憶過程同樣顯示出緩慢衰減的自相關函數，滿足長記憶過程的特征[18]，這樣的短記憶過程通常稱為偽長記憶過程，因此觀察到給定時間序列具有長記憶特征并不意味著其就是由長記憶過程產生的。為進一步確認σt,F是否為長記憶過程，采用Qu的長記憶檢驗統計量進行檢驗，Qu通過模擬研究發現在帶寬m=[n0.7]時，檢驗統計量可以在顯著性和勢之間達到很好的權衡，為進行比較我們也給出其他帶寬下的檢驗結果，結果見表2。從表2中，可以看到在不同修剪參數ε下，所計算得到檢驗統計量值稍有不同，通過與不同顯著性水平下的臨界值進行比較，在不同帶寬下檢驗統計量均未超過10%顯著性水平下的臨界值，因此不能拒絕原假設，從而接受期貨極差波動率為長記憶過程的結論，為隨后進行長記憶性參數估計奠定基礎。

表2 期貨對數極差波動率的長記憶性檢驗

注：W(ε=0.02)檢驗統計量的10%、5%和1%臨界值分別為：1.118、1.252和1.517；W(ε=0.05)檢驗統計量的10%、5%和1%臨界值分別為：1.022、1.155和1.426，臨界值來源于Qu，見表1。

利用半參數方法估計長記憶參數d，需要確定帶寬m的大小，大量研究表明，帶寬的選擇對于d的估計非常重要，在實踐中常常取帶寬[n0.5] ≤m≤n/2，為更好地把握GPH和LW估計的特征，我們選取帶寬m=[nα]，其中：α取值為0.5到0.8，間隔0.02，圖3給出對數極差波動率的長記憶參數d的GPH估計和局部Whittle估計結果和相應95%漸近置信區間，表3為部分帶寬下d的估計結果。

表3 期貨對數極差波動率的長記憶性參數估計結果

由表3和圖3中可看到，不同帶寬參數下GPH和局部Whittle估計的結果十分相近，GPH和局部Whittle估計在不同帶寬下的平均值分別為0.469和0.447，兩者差異不大，這些估計類似于Andersen等分析匯率和Areal和Taylor分析FSTE100期貨的結果，而GPH估計具有明顯較大的置信區間且這些置信區間均不包含0，因此，根據GPH 的檢驗方法也進一步印證極差波動率為長記憶過程。

圖3 期貨極差波動率長記憶參數的GPH和局部Whittle估計和相應95%置信區間

3 結語

傳統基于收益率的波動率模型由于僅利用收盤價信息而忽略區間內的價格變動，損失大量信息，導致估計效率低下，而以極差構建波動率，更多利用日內價格信息，相較于基于收益的方法更為有效，而相較于已實現波動率，可以避免微觀噪聲等影響。基于滬深300股指期貨上市4年內的日內最高價和最低價，采用極差波動率方法分析股指期貨波動的相應性質。不同于以往對于長記憶性的分析，本文采用Qu創新的檢驗方法對股指期貨極差波動率的長記憶性進行檢驗，得到其為真實長記憶過程，因此，外生突發事件會對股市的影響具有長期性。通過半參數估計方法得到其記憶參數接近典型值0.4，未來可進一步通過長記憶模型對極差波動率進行建模，進行波動率預測的工作。

[1] R.F.Engel.Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U. K. inflation[J].Econometrica,1982,50(4):987-1007.

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[3] S. J.Taylor.Modelling Financial Time Series[M].Chichester:Wiley,1986.

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[6] S.Alizadeh,M.W.Brandt,F.X.Diebold.Range-based Estimation of Stochastic Volatility Models[J].Journal of Finance,2001,57(3):1047-1091.

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[12] N.M.P.C.Areal,J. S.Taylor.The realized volatility of FTSE-100 futures prices[J].Journal of Futures Markets,2002,22(7):627-648.

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[14] 龐淑娟，劉向麗，汪壽陽.中國期貨市場高頻波動率的長記憶性[J].系統工程理論與實踐，2011，(6):1039-1044.

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[18] P.Perron,Qu Zhongjun. Long-Memory and Level Shifts in the Volatility of Stock Market Return Indices[J].Journal of Business and Economic Statistics,2010,28(2):275-290.

【責任編輯 馬小俠】

Distributional Property of Range Volatility of Index Future and Its Long Memory Analysis

LI Yana, WU Liangb

(a. School of Mathematics and Statistics;b.School of Economics,Fuyang Normal University,Fuyang 236041, China)

Current research focuses mostly on?price discovery function of Hushen 300 index future and rarely involves its range volatility.Based on daily data of hushen 300 index future in recent five years, this paper models the volatility of hushen 300 index future by range volatility and analysis its distributional property. Testing whether range volatility is a true long memory process by a test based on frequency and using GPH and local Whittle to estimate memory parameter of range volatility. The study shows that skewness and kurtosis of range volatility are 0.193 and 2.919, and its autocorrelation decays slowly and displays long-memory effects; range volatility is true long memory process by frequency test under different band parameter; memory parameter of range volatility approximates typical value 0.4. On this basis it can be used to forecast volatility.

hushen 300 index future; range volatility; true long memory; GPH; local Whittle

F830.9

A

1009-5128(2016)19-0075-06

2016-04-23

國家自然科學基金重點項目：面板數據建模的理論與方法(71131008/G0113)；教育部人文社會科學研究一般項目：空間似無關回歸模型：參數估計、設定檢驗及其應用(13YJC910003)；全國統計科研計劃項目：閾值分位數自回歸模型：估計、檢驗與應用(2013LY044)；阜陽師范學院人文社科研究項目：轉型期高師院校輔導員專業素質研究——以某轉型期師范院校為例(2015DJSZ05)

李艷(1983—)，女，安徽阜陽人，阜陽師范學院數學與統計學院教師，管理學碩士，主要從事高等教育經濟學研究；吳亮(1983—)，男，安徽阜陽人，阜陽師范學院經濟學院副教授，經濟學博士，主要從事計量經濟理論與應用研究。