非線性最小二乘法擬合在固結(jié)系數(shù)計算中的應用

江唯偉

（湖南省公路設(shè)計有限公司廣州分公司，廣東 廣州 510030）

非線性最小二乘法擬合在固結(jié)系數(shù)計算中的應用

江唯偉

（湖南省公路設(shè)計有限公司廣州分公司，廣東 廣州 510030）

室內(nèi)固結(jié)試驗中固結(jié)系數(shù)的計算方法主要有時間對數(shù)法與平方根法，這兩種方法均屬作圖法，人為因素影響較大。通過編制擬合函數(shù)模塊，采用Origin7.5中非線性最小二乘法擬合功能，利用多組試驗數(shù)據(jù)，可方便求出固結(jié)系數(shù)、固結(jié)試驗初始讀數(shù)與終值讀數(shù)。該方法求解速度快，結(jié)果合理，避免人為因素影響，能方便應用于固結(jié)系數(shù)的求解中。

固結(jié)系數(shù)；Origin7.5；非線性最小二乘法擬合

0　引言

室內(nèi)固結(jié)試驗求解固結(jié)系數(shù)的方法中，最早提出且應用最為廣泛的是時間對數(shù)法以及時間平方根法，其也是規(guī)范推薦的方法，這兩種方法均屬作圖法，人為因素對于固結(jié)系數(shù)的計算影響較大［1］。反彎點法中對反彎點的目測難以準確確定，這也影響到結(jié)果的精度。三點法只利用了三組數(shù)據(jù)，人為因素較強，同時取值不恰當時，得到固結(jié)系數(shù)的離散性也較大。司各脫法是一種較好的計算方法，但其本身也依賴于初始值的準確性，從而對于固結(jié)系數(shù)也有較大的影響，即使初值變化千分之一，也會使計算得到的初期固結(jié)系數(shù)發(fā)生較大的變化［2］。近年來，最小二乘法［3，4］、遺傳算法［5，6］、單純形法［7］等最優(yōu)化方法在固結(jié)系數(shù)的求解中得到了應用。由于各種最優(yōu)化算法對工作人員的算法分析以及編程能力要求較高，離實際應用有一定距離。

最小二乘法在固結(jié)系數(shù)求解的本質(zhì)為多元函數(shù)極小值問題，而Origin7.5非線性擬合功采用Levenberg-Marquardt最優(yōu)化迭代法來求解多元函數(shù)的極值問題，該方法求解速度快，適用范圍廣。因此，本文借助常用數(shù)據(jù)軟件Origin7.5的非線性擬合功能可方便實現(xiàn)固結(jié)系數(shù)的求解，有助于在工程中的推廣。

1　擬合函數(shù)的確定

固結(jié)試驗中，假定在任意時刻t，其讀數(shù)為Rt，固結(jié)試驗初始讀數(shù)為R0（固結(jié)度為0時的百分表讀數(shù)），固結(jié)試驗結(jié)束時的終值讀數(shù)為R100（即固結(jié)度為100%時的百分表讀數(shù)）。U（t）為任意時刻t時的固結(jié)度，H為試件固結(jié)的排水距離。則U（t）表示如下：

可見函數(shù)Rt是以R0，R100，Cv為參數(shù)，以t為自變量的函數(shù)。

2　非線性最小二乘法擬合問題

在許多應用科學和工程技術(shù)問題中，試驗數(shù)據(jù)的最小二乘法擬合是一種廣泛應用的方法。

給定數(shù)據(jù)，（ti，yi），i=1，2，...，m，設(shè)其擬合函數(shù)為η（α，t）=η（α1，α2，...αl，t）

它是以α=（α1，α2，...αl）T為參數(shù)的變量t的函數(shù)。如果對某個

則α稱為擬合函數(shù)η（α，t）的線性參數(shù)。如果上式不成立，則這個參數(shù)稱為非線性參數(shù)。

如果 α1，α2...，α1都是擬合函數(shù)的非線性參數(shù)，記

從以上定義可知：在給定的數(shù)據(jù)（ti，Ri），其擬合函數(shù)為Ri（α，t）=Rt（R0，R100，Cv，t），即求得一組參數(shù)R0，R100，Cv，使得平方和函數(shù)得到最小值。

3　Origin軟件中的實現(xiàn)

Origin7.5為一種數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)制圖的軟件，具有非線性最小二乘法擬合（NLSF-Nonliner Least Squares Fitter）的功能，Origin7.5提供了200多個數(shù)學表達式用于曲線擬合。這些數(shù)學表達式選自不同的學科與工程領(lǐng)域，能滿足大多數(shù)科技工程中的曲線擬合需求，另外用戶可以自己定義擬合函數(shù)，進而就可以利用Origin7.5進行參數(shù)的回歸分析。在定義擬合函數(shù)時，用戶可以使用Origin C語言進行編程，從而使形式復雜的模型函數(shù)也可以應用Origin7.5非線性擬合進行參數(shù)回歸分析。Origin7.5所提供求解非線性擬合問題的方法為Levenberg-Marquardt最優(yōu)化迭代法。

本文根據(jù)式（2），通過Origin C語言編制了非線性擬合函數(shù)模塊，所需擬合的非線性參數(shù)為：R0、R100、Cv。非線性擬合的基本過程為：（a）定義擬合函數(shù)；（b）輸入擬合數(shù)據(jù)；（c）指定函數(shù)變量；（d）初始參數(shù)輸入及曲線模擬；（e）曲線擬合及結(jié)果分析。

4　算例驗證

利用文獻［2］所給出的數(shù)據(jù)（見表1），采用上述過程進行了計算。首次曲線模擬時取R0=2.05 mm，R100=1.5 mm，Cv=0.002 cm/s2，初始曲線（見圖1），然后通過“100lter.”功能進行最多 100次的“Levenberg-Marquardt”迭代，得到非線性擬合后曲線（見圖1），獲得的參數(shù)見表2。從圖中可看出，擬合后的曲線與實驗曲線相當吻合，R2=0.999 41。計算得到的Cv=0.002 29 cm/s2與文獻［2］中計算的固結(jié)系數(shù)Cv=0.002 3 cm/s2一致，說明本文采用的方法的正確性。同時由表2計算結(jié)果可知，本文采用方法求解速度更快。

5　結(jié)論

通過以上推導與分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）非線性最小二乘法擬合在固結(jié)系數(shù)求解的本質(zhì)為多元函數(shù)極小值問題，而Origin7.5中非線性擬合功能采用Levenberg-Marquardt最優(yōu)化迭代法能方便求解多元函數(shù)的極值問題。

表1　算例計算數(shù)據(jù)

表2　計算結(jié)果對比

圖1　曲線擬合圖

（2）本文通過編制簡單的擬合函數(shù)模塊，采用Origin7.5中非線性最小二乘法擬合功能，可方便求出固結(jié)系數(shù)Cv、、固結(jié)試驗初始讀數(shù)R0、固結(jié)試驗終值讀數(shù)R100。該方法求解速度快，精度高，結(jié)果合理，運用簡單，不需要復雜編程計算，能方便應用于固結(jié)系數(shù)的求解中。

［1］JTG E40-2007，公路土工試驗規(guī)程［S］.

［2］Ronald f，Scott.New method of consolidation coefficient evaluation［A］. Journal of the soil mechanicals and foundations division proceedings of American in Society of Civil Engineers［C］.1961.

［3］包太，劉新榮，朱凡，等.固結(jié)系數(shù)的最小二乘法計算［J］.巖土工程學報，2005，27（10）:1230-1232.

［4］包太，劉新琛，劉新榮.改進的最小二乘法計算固結(jié)系數(shù)［J］.重慶建筑大學學報，2007，29（2）:60-62.

［5］音俊峰，許小健.利用優(yōu)化方法推算室內(nèi)固結(jié)系數(shù)［J］.科學技術(shù)與工程，2010，10（13）:3276-3278.

［6］江剛.遺傳算法在固結(jié)系數(shù)計算中的應用［J］.重慶建筑大學學報，2006，28（1）:71-73.

［7］包太，劉新榮.改進的遺傳算法求解固結(jié)系數(shù)［J］.土木建筑與環(huán)境工程，2009，31（1）:23-26.

TU5

A

1009-7716（2016）07-0311-02

2016-03-16

江唯偉（1985-），男，湖北荊州人，碩士，工程師，主要從事公路路線、互通立交、路基路面及地基處理設(shè)計工作。