單相串勵電動機換向過程的數值計算

彭亦稰， 陳小元， 沈偉華

(麗水學院 工學院， 浙江 麗水 323000)

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單相串勵電動機換向過程的數值計算

彭亦稰， 陳小元， 沈偉華

(麗水學院 工學院， 浙江 麗水 323000)

針對換向狀況惡劣的單相串勵電動機，按照其實際換向結構，推導出換向片與碳刷的接觸電導表達式；建立分時間段的元件換向電流的變系數微分方程組和各時間段交接處的邊界值關系；就各種改善換向方法，依建立的數學模型進行換向過程數值計算，獲得相應的元件換向電流波形和換向片與碳刷的接觸電阻功耗曲線；通過對比分析數值計算結果，指出對改善單相串勵電動機換向較為有效的措施。

單相串勵電動機；換向；數值計算；接觸電阻功耗

0 引 言

單相串勵電動機是在單相交流電源下運行的串勵換向器電動機，主要應用于電動工具、縫紉機、攪拌粉碎機、吸塵器等設備和家用電器。單相串勵電動機的換向元件中存在變壓器電動勢，其換向狀況特殊且比直流電動機惡劣，需要尋求有效的改善換向措施。

關于換向器電機的換向及其改善措施，參考文獻[1-3]假設碳刷與換向片的接觸電導與接觸面積成正比，以電磁理論為依據，分析了換向過程和火花成因，闡述了換向火花評定標準；參考文獻[4-9]針對具體的換向器電動機種類，從設計和制造兩方面闡述了改善換向的方法；但因分析換向過程所建立的數學模型過于簡化，分析結果只能用于換向狀況的定性說明，不能用于換向狀況的定量計算和比較甄別。參考文獻[10-11]針對他勵直流電機的換向過程建立數學模型，進行了數值計算，但其結果仍不適用于在交流電源下運行的單相串勵電動機。

本文按單相串勵電動機實際換向結構建立數學模型，對采取各種改善換向方法的換向過程進行數值計算，旨在獲得無法實驗測取的元件換向電流和換向片與碳刷的接觸電阻功耗，用于甄選對改善單相串勵電動機換向較為有效的措施。

1 換向過程的數學模型

1.1 換向過程與接觸電導表達式

圖1所示為典型的有12槽24片換向片的單相串勵電動機的電樞繞組，該繞組是兩極的實槽跨距為1～6槽的短距單疊繞組。一個元件的換向過程從碳刷接觸其下層邊所接換向片開始，到碳刷離開其上層邊所接換向片結束。

圖2為該單相串勵電動機換向過程的示意圖。換向片2與碳刷的接觸過程是同槽元件1、2經歷換向的過程。可見，一片換向片與碳刷的接觸時間，也是同槽元件經歷換向的時間，它涵蓋了電動機換向的全過程，用T表示。

圖2中，bk為換向器的換向片距，bt為換向片寬度，bf為云母下刻槽寬度，bs為碳刷寬度，n為電樞轉速，i0～i3為換向元件0～3的電流，ia為電樞繞組的支路電流，is1、is2和is3分別為碳刷流入換向片1、2和3的電流。

圖1 典型單相串勵電動機的電樞繞組Fig.1 Typical armature winding of single-phase series-excited motor

圖2 單相串勵電動機換向過程示意Fig.2 Schematic diagramfor commutation processes of single-phase series-excited motor

換向器移動bk所需時間Tbk為

(1)

式中：轉速n的單位為r/min，K為換向片數，Tbk的單位為ms。換向器移動bt、bf、bs所需的時間Tbt、Tbf、Tbs和同槽元件經歷換向的時間T分別為

(2)

圖3所示為同槽元件1、2換向過程中，換向片0、1、2、3和4與碳刷接觸的時序，陰影部分表示相應的換向片與碳刷接觸。圖中標出的G0、G1、G2、G3和G4分別表示換向片0、1、2、3和4與碳刷的接觸電導。

圖3 元件1、2換向時換向片與碳刷接觸的時序Fig.3 Time Sequence between carbon brush and commutating segment when winding element 1 and 2 are commutating

在0～T期間的t1、t2、t3和t4時刻分別為

(3)

設整片換向片與碳刷接觸時接觸電導為gm；在換向片即將接觸或剛脫離碳刷瞬間，因換向元件中的電動勢將換向片與碳刷間的微小氣隙擊穿，認為此刻的接觸電導為g0(不為零)，但g0<

(4)

式中電導的單位為S。換向片0、1、3和4與碳刷的接觸電導為

(5)

1.2 換向元件的電流計算方程

圖3中，在0～t1、t2～t3和t4～T期間，碳刷與三片換向片接觸，有兩個元件同時換向；在t1～t2和t3～t4期間，碳刷與兩片換向片接觸，只有一個元件換向。在0～t1和t4～T期間，同時換向的元件不同槽，相互之間沒有槽漏互感；在t2～t3期間，同槽元件1、2同時換向，相互之間存在槽漏互感。

在0～t1期間，換向回路方程為

(6)

在t1～t2期間，換向回路方程為

(7)

在t2～t3期間，換向回路方程為

(8)

在t3～t4期間，換向回路方程為

(9)

在t4～T期間，換向回路方程為

(10)

換向回路方程中，碳刷流入換向片的電流為

(11)

換向回路方程中，L為換向元件的槽漏電感，M為同槽換向元件之間的槽漏互感，r為元件電阻。ec為單相串勵電動機的換向元件切割換向區域氣隙磁場產生的切割電動勢

ec=-kcia。

(12)

其中kc為切割電動勢計算系數，在某一轉速下kc為常數。et為換向元件鉸鏈脈振主磁通感應產生的變壓器電動勢

(13)

式中Mt為串勵的勵磁繞組對換向元件的互感系數。

1.3 各時間段換向電流的邊界值

由圖2和圖3知，在0、t2和t4時刻，碳刷剛接觸換向片2、3和4，接觸電導有躍變，但由于剛接通的換向回路中存在電感，電流i1、i2和i3不會發生躍變，其邊界值為

(14)

在t3時刻，由于元件1、2同槽，碳刷脫離換向片1引起的電流i1躍變會通過槽漏互感耦合到元件2，導致電流i2發生躍變，邊界值關系為

(15)

由圖2和圖3知，若ia不變，t=0時刻的元件0電流i0與t=t4時刻的元件2電流i2相等；若ia變化，則t=0時刻的i0與t=t4時刻的i2之間存在復雜的方程關系。由于通交流電時的ia變化周期較元件1、2經歷換向的時間長得多，仍可認為

i0(0)=i2(t4)。

(16)

在t1和T時刻，碳刷脫離換向片0和2，接觸電導的躍變使電流i0和i2發生躍變，其邊界值為

(17)

電流躍變引起的磁場能量變化通過換向火花的形式釋放。

2 串勵電動機換向過程的數值計算

一臺單相串勵電動機的額定電壓為220 V、50 Hz，額定輸出功率55 W，額定轉速n=7 000 r/min，換向片數K=24，分析計算換向元件電流和換向片與碳刷的接觸電阻功耗。電動機通直流電時的電樞支路電流ia=0.25 A，通交流電時的電樞支路電流ia的有效值Ia=0.25 A。用于換向過程計算的相關參數如表1所示。

表1 用于換向過程計算的相關參數

表1中，槽漏電感L由單相串勵電動機電磁計算程序[4-5]中的換向元件自感電動勢計算式求出，勵磁繞組對換向元件的互感Mt由電磁計算程序中的換向元件變壓器電動勢計算式求出。整片換向片與碳刷接觸的電導gm由碳刷的接觸壓降和電動機的額定電流推算出，并設g0=gm×10-3。同槽換向元件間的互感耦合程度高，設槽漏互感M=0.9L。

2.1 換向元件中電流的數值計算

設定數值計算的時間增量Δt=10-4ms <

圖4所示為串勵電動機通直流電時，計算出的元件1、2換向電流i1和i2波形。在t2～t3期間的波形，反映了同槽元件1、2換向時相互間存在的互感作用。波形①和④、②和⑤、③和⑥分別為切割電動勢計算系數kc=-8.2、kc=0、kc=8.2時的i1和i2波形。

圖4 通直流電時的換向電流波形Fig.4 Commutating current in DC power

當串勵電動機通50 Hz的交流電時，電樞繞組的支路電流ia為

(18)

式中時間t的單位為ms。元件1、2的換向電流與換向開始時ia的初相φ有關。為了綜合反映電動機通交流電時的換向電流，針對φ從0～π變化，求元件1、2換向電流i1(φ,t)、i2(φ,t)的方均根值

(19)

當kc=0時，計算出的元件1、2換向電流的方均根值I1(t)、I2(t)，如圖5所示。波形①、②和③分別對應接觸電導gm為0.31 S、0.4 S和0.52 S。

圖5 通交流電時換向元件的方均根電流Fig.5 RMS commutating current of the winding elements in AC power

當kc=0、gm=0.4 S時，對圖4中的電流取絕對值與圖5中的電流作比較，可知串勵電動機通交流電時的元件換向電流比通直流電時大得多。

2.2 換向片與碳刷接觸電阻功耗的數值計算

串勵電動機在換向過程中，換向片2與碳刷的接觸電阻能耗

(20)

串勵電動機通直流電時，接觸電阻平均功耗為

P=W/T。

(21)

串勵電動機通交流電時，接觸電阻能耗W隨換向開始時ia的初相φ變化，應計算φ從0～π變化的平均能耗，再計算接觸電阻的平均功耗P為

(22)

調節切割電動勢計算系數kc從-10～30，分別設定元件電阻r=8.83 Ω、10.6 Ω、12.72 Ω和15.26 Ω，由式(20)～式(22)，經數值計算得換向片與碳刷的接觸電阻功耗P隨kc和r的變化曲線，如圖6所示。曲線表明，串勵電動機通交流電時的接觸電阻功耗比通直流電時大得多。

圖6 接觸電阻平均功耗P隨kc和r變化Fig.6 Variation of the average power consumption P of contact resistance with kc and r

3 改善換向措施的比較甄選

3.1 碳刷逆電動機轉向偏移

在串勵電動機中，逆轉向偏移碳刷位置是常用的改善換向措施。碳刷從幾何中心線逆轉向偏移β角，換向元件切割電樞反應磁場產生對換向起滯后作用的電樞反應電動勢ea，同時也切割主極磁場產生對換向起促進作用的電動勢eβ，式(12)表示的切割電動勢ec為電動勢eβ、ea的代數和

ec= eβ-ea=(-kβia)-(-kaia)=

-(kβ-ka)ia=-kcia。

(23)

式中：kβ和ka分別為電動勢eβ和ea的計算系數，ka可從單相串勵電動機電磁計算程序中電動勢ea的計算式求出，kβ可依據碳刷偏移角β求出[6]。隨著偏移角β從零增大，kc=kβ-ka從-ka變正并增大。

由圖6知，在偏移角β增大的開始階段，電動機的接觸電阻功耗P隨kc增大(β增大)降低，表明電動機換向狀況得到改善。進一步增大碳刷偏移，存在一個kc值使接觸電阻功耗最小，表明此kc值對應的電動勢eβ對換向元件中的各種滯后換向因素進行了最優綜合補償。再增大kc值，過度補償又使接觸電阻功耗增大。

需要指出，碳刷偏移量不能過大，要求換向元件邊不進入主極極弧。另外，碳刷的逆轉向偏移會產生去磁的直軸電樞反應，需要增多勵磁繞組匝數來補償。串勵電動機通交流電時的接觸電阻功耗較大，須適當偏移碳刷位置，改善換向。

3.2 減小電樞繞組線徑、減少元件匝數

由圖6知，串勵電動機通交流電時的接觸電阻功耗曲線隨元件電阻的增大而明顯下移，表明在單相串勵電動機中，在電樞繞組溫升允許的條件下，可采用減小電樞繞組線徑增大電樞繞組電阻的方法，削弱變壓器電動勢對換向的不良影響，改善電動機的換向。

圖7所示為元件匝數分別為1.1W2、W2和0.9W2時的接觸電阻功耗P隨kc變化曲線。曲線表明，串勵電動機通交流電時，功耗曲線隨匝數減少明顯下降，減少元件匝數能有效改善換向。

圖7 接觸電阻平均功耗P隨kc和W2變化Fig.7 Variation of the average power consumption P of contact resistance with kc and W2

3.3 改變碳刷與換向片的接觸電導

圖8所示，為接觸電導gm=0.31S、gm=0.4S和gm=0.52S時的接觸電阻功耗。曲線表明，通交流電時接觸電阻功耗的相對減小量不明顯。

圖5表明，串勵電機通交流電時，換向電流隨gm減小明顯減小，應選用接觸電導較小(接觸壓降較大)的碳刷。

3.4 增大碳刷對換向片的相對寬度

圖9所示，為碳刷對換向片相對寬度bs/bk=1.3、1.5、1.75和2時的接觸電阻功耗曲線。曲線表明，串勵電動機通交流電時，增大碳刷對換向片的相對寬度，對改善換向的作用不大。

圖8 接觸電阻平均功耗P隨kc和gm變化Fig.8 Variation of the average power consumption P of contact resistance with kc and gm

圖9 接觸電阻平均功耗P隨kc和bs /bk變化Fig.9 Variation of the average power consumption P ofcontact resistance with kc and bs /bk

4 結 論

按單相串勵電動機實際換向結構建立數學模型，就換向器電機的各種改善換向方法，對串勵電動機通直流電和交流電時的換向過程進行數值計算和定量比較評價，甄選出了能有效改善單相串勵電動機換向的措施，對于指導單相串勵電動機設計具有實用價值。

因電機換向狀況取決于電磁、機械和化學等諸多因素，故觀察換向火花仍為評定單相串勵電動機換向狀況的最終方法。

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(編輯：劉素菊)

Numerical calculation of commutating processes in the single-phase series-excited motor

PENG Yi-xu， CHEN Xiao-yuan， SHEN Wei-hua

(College of Technology, Lishui University, Lishui 323000, China)

Considering the commutating status of the single-phase series-excited motor,according to the commutating processes of the single-phase series-excited motor, the computational formula of the contact resistance between carbon brush and commutation segment is obtained in this paper. The time-segment commutating currents of the winding elements were expressed with variable coefficient differential equations and the boundary-value relations of the junctions among the time segments were determined.For various improving commutation methods, numerical calculation and analysis of the commutating process was completed based on the mathematics model of commutation, and the commutating currents of the winding elements and the average power consumption of contact resistance were accessed. The calculated results of the single-phase series-excited motor in the DC and AC conditions were compared and analyzed to select the measures for improving commutation in the design of the series-excited motor.

single-phase series-excited motor；commutation；numerical calculation；power consumption of contact resistance

2016-06-30

國家自然科學基金(51207068)；浙江省公益性技術應用研究計劃項目(2013C31114)；浙江省博士后科研項目(浙人社發〔2014〕102號)；麗水市高層次人才培養資助項目(2014RC07)

彭亦稰(1961—),男,本科，副教授,研究方向為小功率電機的設計、制造及控制;

陳小元(1980—),男,博士,副教授,研究方向為特種電機的設計與控制;

彭亦稰

10.15938/j.emc.2016.10.005

TM 302

A

1007-449X(2016)10-0031-06

沈偉華(1976—)，男，碩士，講師，研究方向為計算機應用技術。