例談高考多元最值問題的常用破解方法
2016-11-19 08:41:24胡鳳瓊劉少平李艾清
中學生理科應試 2016年4期
胡鳳瓊 劉少平 李艾清
近年來，多元最值問題深受命題者青睞，活躍在各級各類考試舞臺上，它往往是先給出多元變量的約束條件再來求相關多元變量的最值.這類試題由于變量多，涉及的知識面廣，綜合性強，思維的靈活度高，學生普遍感覺棘手，大多是費盡周折，難以找到解題的思路和切入點，常常是半途而廢和無果而終，究其因，關鍵是不會將多元變量問題轉化為熟悉的數學問題和模型來處理.本文試圖借助近年的高考和模擬題，來捕捉此類問題中的規律性因素，以期對大家有所幫助.
一、代入消元法
通過等式代入消元，減少變量的個數，化多元函數為一元函數，轉化為熟悉的一元函數的最值問題求解.
例1設正實數x，y，z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則xyz取得最大值時， 2x+1y-2z的最大值為. （2013山東高考題）
解∵z=x2-3xy+4y2， 又∵x，y，z為正實數
∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤12xy·4yx-3=1（當且僅當x=2y時，取“=”）
∴xyz的最大值為1，此時x=2y
∴z=x2-3xy+4y2=（2y）2-3×2y×y+4y2=2y2
故2x+1y-2z=1y+1y-1y2=-（1y-1）2+1≤1
∴2x+1y-2z的最大值為1.
評注題目變量較多，可將z用x、y表示，再代入目標函數，可以達到減元目的，有效地突破解題困境.
變式訓練一設正實數x，y，z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當zxy取得最小值時，x+2y-z的最大值為.[2]
二、基本不等式法
根據基本不等式a+b2≥ab（a>0，b>0，當且僅當a=b時等號成立）求最值的要求“和定積最大，積定和最小”，來構造定值求解.
例2若a，b，c>0，且a2+2ab+2ac+4bc=12，則a+b+c的最小值是（ ）（2010年重慶高考題）
解∵12=a2+2ab+2ac+4bc=（a+2b）（a+2c）
≤[（a+2b）+（a+2c）2]2=（a+b+c）2
∵a，b，c>0，故（a+b+c）≥23，a+b+c的最小值為23.
評注通過將已知條件轉化為（a+2b）（a+2c）=12構造了積為定值，再利用基本不等式將積式化為和式，使問題自然簡捷獲解.
變式訓練二設x≥0，y≥0，x2+y22=1，則x1+y2的最大值為[324]
三、三角換元
當變量之間的關系較為隱蔽不易發現時，可把問題的條件或結論作形式上的轉化，借助三角換元來揭示變量之間內在聯系，把問題化難為易，化繁為簡.
例3對于c>0，當非零實數a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時，
3a-4b+5c的最小值為（2014年遼寧高考題）
解由已知可得（2a-12b）2+15b24=c
令2a-12b=ccosθ152b=csinθ
則2a=c15sinθ+ccosθb=2c15sinθ
從而|2a+b|=|c15sinθ+2c15sinθ+ccosθ|
=|3c15sinθ+ccosθ|=|
210c5sin（θ+φ）|=210c
5|sin（θ+φ）|
∴|2a+b|max=210c5，
此時4a2+4ab+b2=8c5
即4a2+4ab+b2=85（4a2-2ab+4b2），整理得4a2-12ab+9b2=0
∴（2a-3b）2=0，即2a=3b，又2a+b=4b=210c5，從而b=10c10.
于是3a-4b+5c=-2b+5c=-
210c+5c=5（1c-
105）2-2≥-2.
評注把題設條件轉化為（2a-12b）2+15b24=c的形式，聯想sin2α+cos2α=1，實施三角換元，思路自然流暢，解法簡潔明快.
變式訓練三若x2+2xy-y2=7，（x，y∈R）則x2+y2的最小值為
（2013年浙江大學自主招生試題）[722]
四、柯西不等式法
柯西不等式本身具有二元或多元的形式結構，為
解決多元變量問題提供了思路和方法.
例4設x，y，z∈R+，且x2+y2+z=1，求xy+2xz的最大值.（2010年北京大學自主招生試題）
解由x2+y2+z=1得1-z=x2+y2
∴（2-2z）2=（3+1）（x2+y2）≥（3x+y）2， 又x，y，z∈（0，1）
∴2-2z≥3x+y，則2-3x≥y+2z
∴xy+2xz=x（y+2z）≤x（2-3x）
=13·3x（2-3x）
≤13[3x+（2-3x）2]2=33
當且僅當3x=2-3x，x3=y
1且x2+y2+z=1即x=33，y=z=13時等號成立.
評注通過對已知條件實施恒等變形，配湊出柯西不等式的形式結構，使變量x，y，z之間內在聯系顯現出來，從而轉化為熟悉“和定積最大”問題，輕松獲解.
變式訓練四設a>0，b>0，c>0且abc=1，求12a+1+12b+1+12c+1的最小值. [1]
五、利用待定系數法的思路來處理
當目標函數可以用給定約束條件中的多元變量的整體來表示時，可以考慮用待定系數法的思路來解決.
例5設x，y為實數，滿足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，則x3y4的最大值是（2010年江蘇高考題）
解設x3y4=（xy2）m·（x2y）n化簡得 x3y4=xm+2ny2m-n
∴m+2n=32m-n=-4得m=-1n=2
x3y4=（xy2）-1·（x2y）2∈[2，27]
∴x3y4的最大值是27.
評注本題通過恒等變形將x3y4變形為關于xy2與x2y的表達式，然后利用整體代換的方法求解，簡便易行.
變式訓練五設等差數列{an}的前n項和為Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，則S6的最大值為.[42]
六、判別式法
某些多元變量問題，若從方程的角度來審視，使用判別式可使問題巧妙獲解.
例6若實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為（2014年浙江高考試題）
解由a+b+c=0可得c=-（a+b）代入a2+b2+c2=1，
整理得a2+b2+ab=12， 考慮到求a的最大值，可以把上式看成關于b的一元二次方程b2+a·b+a2-12=0.
∵b∈R，∴Δ≥0，即a2-4（a2-12）≥0
解得-63≤a≤63，故a的最大值為63.
評注通過消元，緊扣方程定義，將問題化歸為一元方程有解來處理，簡潔明了.
變式訓練六對于c>0，當非零實數a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時，3a-4b+5c的最小值為（2014年遼寧省高考題） [-2]
七、逐元突破法
在處理含有多變量問題時，可采取各個擊破的戰術，先將其中一個視為變量，其余看作參數.從而突出主要矛盾，突破參數的相互制約，化多元問題為一元問題.
例7設a>b>c>0，求2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2的最小值.（2010年四川高考題）
解先將c看成變量，b，a看成參數，
令f（c）=（5c-a）2+a2+1ab +1a（a-b），則 [f（c）]min=f（a5）=a2+1ab+1a（a-b）=a2+1b（a-b）
再把b看成變量，a視為參數，
令g（b）=a2+1b（a-b）=1-（b-a2）2+a24+a2，
則[g（b）]min=g（a2）=4a2+a2
最后把a看成變量，令m（a）=a2+4a2，
則m（a）=a2+4a2≥4，當且僅當a=2時取等號.
綜上可得，當且僅當a=2，b=22，c=25時，原式最小值為4.
評注本題通過輪流視c，b，a為變量，實施逐一突破，化難為易，思路清晰，通俗易懂.
變式訓練七已知x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值.[114]
八、拆分添式，合理配湊
有些數學命題，當添加一個適當的數、式或拆分某一式子，就可使命題的實質顯露出來，這時應抓住其特點進行添加、拆分，促進直觀認識，使之產生解題思維飛躍，從而獲得奇思妙解.
例8同例7
解2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2
=a2-10ac+25c2+a2-ab+1a（a-b）+ab+1ab
=（a-5c）2+[a（a-b）+1a（a-b）]+（1ab+ab）
≥[a（a-b）+1a（a-b）]+（1ab+ab）
≥2+2=4
當且僅當a=2，b=22，c=25時取等號.
∴原式的最小值為4.
評注本題通過分拆2a2和加減項ab，從而配湊出完全平方式和積為定值的結構特征，成為熟悉的基本不等式模式使問題解決，雖思維要求高，但仍有章可循.
變式訓練八若x，y，z∈R+，x2+y2+z2=1，則2xy+yz的最大值為.[32]
九、整體換元
把多個變量的代數式用一個新變量來替換，達到消元（減少變量）的目的，從而獲得熟悉的數學模型.
例9已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則ba的取值范圍是.（2012年江蘇高考題）
解由題設可得：
5c-3a≤bb≤4c-aclnb-clnc≥aa>0，b>0，c>0
兩邊同除以c得
3ac+bc-5≥0
ac+bc-4≤0bc≥ea/cac>0，bc>0
令ac=x，bc=y，問題轉化為熟悉的線性規劃問題：
圖1已知x，y滿足條件3x+y-5≥0x+y-4≤0y≥exx>0，y>0，求ba=yx的取值范圍.
先做可行域（如圖1）
由3x+y-5=0x+y-4=0得A（12，72）.
此時（yx）max=7，過原點做y=ex的切線，設切點為B（x0，ex0），又y′|x=x0=ex0，則切線方程為y=ex0·x.
將切點坐標代入切線方程得x0=1，故切線斜率為e，則（yx）min=e
∴yx的取值范圍為[e，7]，即ba的取值范圍為[e，7].
評注本題中涉及的變元有三個，通過兩邊同除以c實施整體換元，把三元變量問題轉化為二元線性規劃問題，思維的僵局得以打破，可謂“柳暗花明又一村”.
變式訓練九已知實數a，b，c滿足條件0≤a+c-2b≤1，且2a+2b≤21+c，
則
2a-2b2c的取值范圍是
. [-14，5-172]
十、和差代換
對任意實數x，y，恒有x=x+y2+x-y2，y=x+y2-x-y2，令x+y2=a，x-y2=b.那么x=a+b，y=a-b，這種代換稱為和差代換，利用和差代換可使復雜的多元問題變得簡單明了.
例10已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，則xyz的最大值是.
解由已知條件，消去變量z可得
x2+xy+y2-x-y-1=0 ①
令x=a+b，y=a-b代入①式整理得
3a2+b2-2a-1=0，∴b2=-3a2+2a+1≥0
解得：-13≤a≤1
xyz=xy（1-x-y）=（a+b）（a-b）[1-（a+b）-（a-b）]
=（a2-b2）（1-2a）=（a2+3a2-2a-1）（1-2a）
=-8a3+8a2-1
令f（a）=-8a3+8a2-1，則f ′（a）=-24a2+16a，
令f ′（a）=0，∴a=0或a=23
易知[f（a）]min=f（0）=-1，[f（a）]max=f（23）=527
因此xyz的最大值為527.
評注本題中xyz=xy（1-x-y），式中xy對于解題帶來了麻煩，可以通過代數變形x=a+by=a-b，消掉xy項，利用題設轉化為關于a的三次函數，利用導數求最值促成問題解決.
變式訓練十設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為.[2105] （2011年浙江高考題）
十一、均值代換
對于含有x+y=m型條件的問題，若設x=m2+t，y=m2-t來代換，往往可獲得簡捷解法.
例11設a+b=3，求a·3a+b·3b的最小值.
解從數列的角度來分析，a，32，b成等差數列，設公差為d，不妨令b≥a，則有a=32-d，b=32+d（d>0）于是
a·3a+b·3b
=（32-d）·33/2-d+（32+d）·33/2+d（d>0）
=32（33/2-d+33/2+d）+d（33/2+d-33/2-d）
≥32（33/2-d+33/2+d）
≥32·233/2-d·33/2+d=93
∴當且僅當a=b時，a·3a+b·3b取得最小值，最小值為93.
評注本題利用均值代換，化二元為一元，減少了運算量，簡化解題過程，從而提高解題速度.
變式訓練十一實數a，b，c滿足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值.[13]
十二、利用幾何意義求解
某些多元函數最值問題，若單純從代數角度去審視分析，往往不易尋找解題思路，這時，若根據函數式結構特征，聯想與之相應的幾何背景和模型，就可讓問題迎刃而解.
例12若實數a，b，c，d滿足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，求（a-c）2+（b-d）2的最小值.
解目標多元函數（a-c）2+（b-d）2表示兩點（a，b）和（c，d）之間距離的平方，根據已知條
件b+a2-3lna=0，c-d+2=0，即點（a，b）和（c，d）分別是曲線y=-x2+3lnx與直線x-y+2=0上的動點，因此問題就轉化為求曲線y=-x2+3lnx上點與直線x-y+2=0上點的距離的最小值的平方，
設曲線y=-x2+3lnx在點P（m，n）處切線與直線x-y+2=0平行，則y′|x=m=-2m+3m=1解得m=1或m=-32（舍），故切點P的坐標為（1，-1），且P到直線x-y+2=0的距離為|1-（-1）+2|2=22.
∴（a-c）2+（b-d）2的最小值為8.
評注本題從問題蘊含的幾何意義出發，洞察其幾何特征，聯想對應的圖形分析，迅速地把握問題的實質，從而促使我們從數形結合，以形助數中獲得形象直觀的解法.
變式訓練十二若實數a，b，c，d滿足a2-2lnab=3c-4d=1，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為
.[25（1-ln2）2]
十三、構造向量法
向量集形與數于一體，既能參與運算又能表示圖形，某些多元問題若根據條件和結論的結構特征，合理構造向量并利用向量數量積所蘊含的不等關系處理，也可尋求到獨特新穎的解法.
例13設a，b>0，a+b=5，則a+1+b+3的最大值為（2015年重慶高考題）
解設向量a=（1，1），b=（a+1，b+3），由|a·b|≤|a|·|b|得a+1+b+3
≤2（a+b+4）=32，
當且僅當a，b同向，即a=72，b=32時取等號，故最大值為32.
評注通過構造向量，實現了條件與結論的溝通，把看似與向量無關的問題轉化為向量運算來解決，拓寬了解題思路，解法巧妙而自然.
變式訓練十三已知x，y∈R，4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.[2105]
十四、反客為主
多元變量問題按常規思維對變量主次區分使我們處于繁難境地時，可從條件與結論的內在聯系變換思考方向，視參變元為主元進行研究、推導，可找到問題的突破口.
例14若關于x的方程x2+ax+b=0有不小于2的實根，則a2+b2的最小值為.
解若原方程視作關于a、b的二元一次方程（以a、b為主元，x為參數），那么a2+b2的幾何意義是直線x·a+b+x2=0上的點M（a，b）到原點O（0，0）的距離的平方，故a2+b2≥（|x2|x2+1）2=x4x2+1，當x≥2時0<1x2≤14，∴
x4x2+1=1（1x2）+（1x2）2≥165
∴最小值為165.
評注本題視角新穎，通過視a、b為主元，x為參數，迅速抓住解題切入點，實現了知識之間的融合與交匯，促成了問題的解決.
變式訓練十四已知a、b∈R，關于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個實根，求a2+b2的最小值.[8]
十五、構造函數法
多元變量問題，也可根據題設或結論所具有的特征，通過變換和構造恰當的函數，借助函數性質來解決.
例15已知對任意實數x，二次函數f（x）=ax2+bx+c恒非負，若a 解由題意得b>a>0且Δ=b2-4ac≤0有c≥b24a，于是M=a+b+cb-a≥a+b+b24ab-a=（2a+b）24a（b-a）=（2+ba）24（ba-1） 令t=ba（t>1），構造函數f（t）=（2+t）24（t-1）（t>1） 求導得f ′（t）=（t+2）（t-4）4（t-1）2，當1 評注本例通過恒等變形后，構造函數f（t）=（2+t）24（t-1）（t>1），然后借助導函數來求最值，解法完美簡潔. 變式訓練十五已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求M=3a2-a1+a2+3b2-b1+b2+3c2-c1+c2的最小值.[0] 十六、分母換元 當多元函數分母較為復雜，不易變形和計算時，可對分母實施整體換元來改變問題結構，轉換成熟悉的不等式模式來求解. 例16設a，b，c為正實數，求a+3ca+2b+c+4ba+b+2c-8ca+b+3c. 解令x=a+2b+c，y=a+b+2c，z=a+b+3c 則x-y=b-c，z-y=c，∴b=x-2y+z，c=-y+z， ∴a+3c=z-b=z-（x-2y+z）=-x+2y ∴a+3ca+2b+c+4ba+b+2c-8ca+b+3c =-17+2·yx+4·xy+4·zy+8·yz≥-17+122 ∴最小值為-17+122. 評注本題直接入手難度較大，通過對分母換元，對問題進行變更，使問題解決變得簡單而明朗. 變式訓練十六已知a，b，c，d∈R+，求 f（a，b，c，d）=ab+c+d+bc+d+a+ca+b+d+da+b+c的最小值.[43] 以上給出了多元變量函數最值問題的常用方法和技巧，但這些方法和技巧并不是孤立的，而是互相聯系和滲透，許多多變元問題解決往往需要綜合運用多種方法和技巧，因此要認真領會每種方法實質，靈活應用. （收稿日期：2015-12-20）
