概率：不確定性中的確定性

陸兆清

在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，人們常常需要確定一個事件發(fā)生的可能性的大小，即確定一個事件發(fā)生的概率.本章的主要內(nèi)容是等可能條件下事件發(fā)生的概率的計(jì)算方法.

“等可能性”是一種假設(shè)，是一種理想狀態(tài).如拋擲一枚硬幣，只有正面朝上或反面朝上的二種可能.因此，理論上拋擲硬幣正面朝上的概率是1/2，反面朝上的概率也是1/2.假如我拋擲一枚硬幣9次，雖然前9次都是正面朝上，但第10次拋擲時正面朝上和反面朝上的可能性仍是各占一半.事實(shí)上，在許多場合，由對稱性（如投擲硬幣）或者某種均衡性（如摸球，抽簽試驗(yàn)等），我們就可以認(rèn)為其所有可能結(jié)果（基本事件）是等可能的，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算各事件的概率.

設(shè)一個試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一個結(jié)果出現(xiàn)，如果每個結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等，那么我們就說這n個事件的發(fā)生是等可能的.

一般地，如果一個試驗(yàn)有n個等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個結(jié)果之一出現(xiàn)時，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率為：P（A）=m/n（m是事件A發(fā)生時可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n是一次實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的所有等可能的結(jié)果數(shù)）.數(shù)學(xué)上，我們稱之為古典概型.

例如：拋擲一只均勻的骰子1次，只會出現(xiàn)6種結(jié)果之一：1點(diǎn)朝上、2點(diǎn)朝上、3點(diǎn)朝上、4點(diǎn)朝上、5點(diǎn)朝上、6點(diǎn)朝上.因?yàn)轺蛔邮蔷鶆虻模赃@6種結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的.所以拋擲一只均勻的骰子1次，點(diǎn)數(shù)1朝上的概率：P（點(diǎn)數(shù)1朝上）=1/6；拋擲一只均勻的骰子1次，只有當(dāng)朝上的點(diǎn)數(shù)是5或6時，“朝上的點(diǎn)數(shù)大于4”這一事件才能發(fā)生，所以朝上的點(diǎn)數(shù)大于4的概率：P（朝上的點(diǎn)數(shù)大于4）=2/6=1/3.

“實(shí)驗(yàn)結(jié)果的等可能”是討論概率的重要條件，有些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不具有等可能性，不在本章討論的范圍內(nèi).例如：在適宜的條件下，種下一粒油菜種子觀察它是否發(fā)芽，這個實(shí)驗(yàn)只有二種結(jié)果：“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”，這二種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會是不均等的，所以不能用概率來計(jì)算；又如：用天平秤來稱物體時有誤差，這個實(shí)驗(yàn)的結(jié)果就有無數(shù)多個，而且這些結(jié)果也不具有等可能性，所以這類事件也不能用概率來計(jì)算.

為了正確地計(jì)算出概率，畫樹狀圖或列表是很好的方法.

例：張老師上班途中要經(jīng)過3個十字路口，每個十字路口遇到紅、綠燈的機(jī)會都相同，張老師希望上班經(jīng)過每個路口都是綠燈，實(shí)際上這樣的機(jī)會是多少？

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù).二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小；

解：經(jīng)過3個十字路口，遇到紅、綠燈的情況如下：

從樹狀圖可以看出，經(jīng)過三個十字路口遇到的紅綠燈共有8種等可能的結(jié)果.其中：3個紅燈的有1個可能；2個紅燈1個綠燈的有3個可能；1個紅燈2個綠燈的有3個可能；3個綠燈的有1個可能.所以經(jīng)過每個路口都是綠燈的情況只有1種，所以上班經(jīng)過每個路口都是綠燈的概率為P（每個路口都是綠燈）=1/8.

樹狀圖或列表的方法既形象又直觀，可以幫助我們既不重復(fù)也不遺漏地列出所有可能的結(jié)果（基本事件），從而計(jì)算古典概型中事件所含的可能結(jié)果（基本事件）數(shù)以及事件發(fā)生的概率.它們都是計(jì)算概率的簡單有效的方法.

如果實(shí)驗(yàn)的次數(shù)是二次時，選樹狀圖或列表都可以，如果實(shí)驗(yàn)的次數(shù)超過二次則只能選用樹狀圖.

（作者單位：江蘇省常州外國語學(xué)校）