概率：不確定性中的確定性

陸兆清

在日常生活、生產實踐和科學研究中，人們常常需要確定一個事件發生的可能性的大小，即確定一個事件發生的概率.本章的主要內容是等可能條件下事件發生的概率的計算方法.

“等可能性”是一種假設，是一種理想狀態.如拋擲一枚硬幣，只有正面朝上或反面朝上的二種可能.因此，理論上拋擲硬幣正面朝上的概率是1/2，反面朝上的概率也是1/2.假如我拋擲一枚硬幣9次，雖然前9次都是正面朝上，但第10次拋擲時正面朝上和反面朝上的可能性仍是各占一半.事實上，在許多場合，由對稱性（如投擲硬幣）或者某種均衡性（如摸球，抽簽試驗等），我們就可以認為其所有可能結果（基本事件）是等可能的，并在此基礎上計算各事件的概率.

設一個試驗的所有可能發生的結果有n個，它們都是隨機事件，每次試驗有且只有其中的一個結果出現，如果每個結果出現的機會均等，那么我們就說這n個事件的發生是等可能的.

一般地，如果一個試驗有n個等可能的結果，當其中的m個結果之一出現時，事件A發生，那么事件A發生的概率為：P（A）=m/n（m是事件A發生時可能出現的結果數，n是一次實驗出現的所有等可能的結果數）.數學上，我們稱之為古典概型.

例如：拋擲一只均勻的骰子1次，只會出現6種結果之一：1點朝上、2點朝上、3點朝上、4點朝上、5點朝上、6點朝上.因為骰子是均勻的，所以這6種結果的出現都是等可能的.所以拋擲一只均勻的骰子1次，點數1朝上的概率：P（點數1朝上）=1/6；拋擲一只均勻的骰子1次，只有當朝上的點數是5或6時，“朝上的點數大于4”這一事件才能發生，所以朝上的點數大于4的概率：P（朝上的點數大于4）=2/6=1/3.

“實驗結果的等可能”是討論概率的重要條件，有些實驗的結果不具有等可能性，不在本章討論的范圍內.例如：在適宜的條件下，種下一粒油菜種子觀察它是否發芽，這個實驗只有二種結果：“發芽”與“不發芽”，這二種結果出現的機會是不均等的，所以不能用概率來計算；又如：用天平秤來稱物體時有誤差，這個實驗的結果就有無數多個，而且這些結果也不具有等可能性，所以這類事件也不能用概率來計算.

為了正確地計算出概率，畫樹狀圖或列表是很好的方法.

例：張老師上班途中要經過3個十字路口，每個十字路口遇到紅、綠燈的機會都相同，張老師希望上班經過每個路口都是綠燈，實際上這樣的機會是多少？

【分析】根據隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數目；②全部情況的總數.二者的比值就是其發生的概率的大??；

解：經過3個十字路口，遇到紅、綠燈的情況如下：

從樹狀圖可以看出，經過三個十字路口遇到的紅綠燈共有8種等可能的結果.其中：3個紅燈的有1個可能；2個紅燈1個綠燈的有3個可能；1個紅燈2個綠燈的有3個可能；3個綠燈的有1個可能.所以經過每個路口都是綠燈的情況只有1種，所以上班經過每個路口都是綠燈的概率為P（每個路口都是綠燈）=1/8.

樹狀圖或列表的方法既形象又直觀，可以幫助我們既不重復也不遺漏地列出所有可能的結果（基本事件），從而計算古典概型中事件所含的可能結果（基本事件）數以及事件發生的概率.它們都是計算概率的簡單有效的方法.

如果實驗的次數是二次時，選樹狀圖或列表都可以，如果實驗的次數超過二次則只能選用樹狀圖.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）