偶應力熱彈性介質控制方程的推導

李　龍，魏培君

（北京科技大學數理學院應用力學系，北京100083）

偶應力熱彈性介質控制方程的推導

李龍，魏培君

（北京科技大學數理學院應用力學系，北京100083）

非Fourier熱傳導的Lord-Shulman廣義熱彈性理論中包含了雙曲型熱傳導方程，并且在廣義熱彈性介質中考慮了其微結構特性，引入了偶應力張量，偶應力研究可反映出材料的微尺度力學效應。文章基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論，從能量守恒定律出發，分析了偶應力熱彈性介質中的運動平衡方程、本構方程、能量方程以及邊界條件的推導過程，并由此獲得偶應力熱彈性介質的運動控制方程和溫度控制方程具體形式。結果表明：與經典熱彈性理論的控制方程相比，基于Lord-Shulman理論的偶應力熱彈性介質控制方程中的機械場與溫度場相互耦合，而且在溫度控制方程中存在含有弛豫時間的項，可使熱信號以波動的形式和有限速度傳播；而且當偶應力材料參數和弛豫時間取為零時，控制方程退化為經典理論的形式。

偶應力彈性理論；Lord-Shulman理論；廣義熱彈性；非Fourier熱傳導

0　引言

對于常規條件下的非穩態熱傳導問題，通常采用Fourier熱傳導定律來描述熱流密度與溫度梯度之間的關系，而且其精確度可以接受［1］。但是在一些極端條件下，例如在溫度急劇變化時，由于熱平衡過程的建立需要一定的時間，這類超常規的熱傳導現象中物理過程的時間間隔比達到局部熱平衡的更短，Fourier定律中的準平衡假設將出現問題。因此，基于Fourier定律的熱傳導模型就不能準確描述這類現象，需要建立考慮熱傳播速度有限的非Fourier熱傳導模型。而廣義熱彈性理論考慮了非Fourier熱傳導模型，消除了傳統熱彈性理論中熱信號傳播速度無限大的物理學悖論。其中，Lord-Shulman理論［2］、Green-Lindsay理論［3］和Green-Naghdi理論［4］是主要的廣義熱彈性理論。Lord理論將一個通量率項合并到熱傳導Fourier定律中，并帶有1個弛豫時間，包含了存在熱流率項的由Fourier熱傳導方程推導出的雙曲型熱傳導方程，建立了熱信號傳播速度有限的廣義理論［2］。Green-Lindsay理論被稱作是與溫度變化率相關的熱彈性理論，在本構方程中引入了溫度率項，當所研究的物體有一個對稱中心時，并不違反經典的熱傳導Fourier定律［3］。Green-Naghdi理論中引入了熵平衡思想和熱位移的概念，提出了克服熱波無限速度傳播缺陷的不等式［4］。不同于經典理論，廣義熱彈性理論包含了雙曲型方程，使熱信號以波動的形式傳播，成為了該領域中的研究熱點。Chandrasekharaiah對熱彈性第二聲理論和雙曲型廣義熱彈性理論進行了綜述［5-6］。田曉耕等總結了包括不同類型廣義熱彈耦合問題的研究、發展和求解方法等廣義熱彈性問題在最近10年的研究進展［7］。任康樂等基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論選取溫度和位移及其一階導數作為狀態變量，結合Laplace積分變換并采用狀態空間法，建立了功能梯度材料的一維廣義熱彈性響應的層合模型［8］。郭攀等基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論模型提出了采用修正的時域間斷迦遼金有限元求解方法［9］。王穎澤等基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論構建了熱沖擊下有限厚度圓柱殼的廣義熱彈性模型，并借助Laplace變換和Bessel函數的漸進特性研究了有界邊界軸對稱結構受熱沖擊的廣義熱彈性問題［10］。

在廣義熱彈性理論的研究中，少有人考慮材料的微結構特性。實際上，微結構存在于任何材料當中，盡管經典彈性理論得到了普遍接受和廣泛應用，但由于經典理論的運動學描述只有應變張量表達的平動變形，不能反映材料微尺度力學效應等問題。而引入了旋轉變形為發展彈性理論和彈性動力學注入了新的活力。經典的彈性理論認為應力只與應變或其應變歷史有關，表現為一階簡單材料。而研究表明在某些情況應力還與其應變梯度有關，表現為二階或高階材料［11-13］。Voigt首先提出，在連續介質理論中微元體表面除了存在應力矢量外，還有存在應力偶矢量的可能性［11］。其后，Cosserat等擴展了此理論并推導了場方程［12］。Truesdell等在彈性理論前提下給出了準確的理論推導［13］。不同于經典連續介質理論，一些廣義的連續介質理論考慮了微結構效應，可以更加有效地描述一些力學現象。偶應力彈性介質中引入了旋轉變形，除了外部的平動變形應變張量還考慮了經典彈性介質所沒有涉及到的偶應力張量，反映了材料的微尺度力的影響。不同于微極彈性理論，偶應力彈性理論對每個質量點只考慮其旋轉自由度，且偶應力場合應力場相互解耦而不考慮額外的微轉動矢量。其中，Toupin和Mindlin等建立并發展了偶應力理論，其中Toupin建立了完全彈性固體有限變形的本構關系［14］，而Mindlin擴展研究了均勻各向同性的中心對稱彈性固體，建立了修正的邊界條件［15］。Aero等推導了對應線性理論的應力平衡方程和本構關系［16］。對于線彈性偶應力介質，存在一個額外的材料參數稱為轉動參量。它與剪切模量比的平方根有長度的量綱，是重要的材料參數，體現了偶應力彈性介質和經典彈性介質的本質區別。此材料參數的量級通常小于材料尺度，然而其影響可能與材料尺度的影響相當。張敦福等采用偶應力理論和有限單元法，對含充填層狀巖體結構面邊界層效應進行了研究［17］。吳延峰等基于該理論建立平面應變問題的有限元計算模型，研究拉力型錨桿錨固段界面上的剪應力分布、界面附近的邊界層效應和偶應力的尺度效應［18］。蘇文政等基于偶應力理論對一類周期性多孔固體類梁結構給出了分析其橫向自由振動的等效連續介質鐵木辛柯梁模型，推導了等效鐵木辛柯梁的動力學微分方程［19］。賀丹等基于修正偶應力理論建立了含有1個尺度參數的復合材料斜交鋪設層合Kirchhoff板模型，給出了四邊簡支反對稱角鋪設微尺度層合Kirchhoff板的解析解［20］。

現有文獻中對考慮Lord-Shulman廣義熱彈性理論的偶應力熱彈性介質控制方程的推導過程鮮有提及。文章將基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論，在熱彈性介質中考慮偶應力張量的存在，從熱力學定律出發系統地推導偶應力熱彈性介質的基本方程和邊界條件，并討論Lord-Shulman理論對于偶應力熱彈性介質控制方程的影響。

1　偶應力熱彈性介質控制方程的推導過程

1.1偶應力介質的運動平衡方程和邊界條件

均勻各向同性的偶應力彈性介質，不僅存在六面體單元三個面上的三個方向的應力σij，還存在六面體三個面上的三個方向的偶應力μij。在任意表面下，法線方向nj的應力可以寫成ti=σjinj，力偶可以寫成mi=μjinj。采用國際單位制，并且令字符上方的點表示對時間的導數，字符下標的逗號表示對坐標的導數。則動量平衡方程和動量矩平衡方程分別由式（1）、（2）表示為

式中：σji，j為應力張量的散度，N/m3；Xi為外體力矢量，N/m3；ρ為質量密度，kg/m3；u¨i為位移矢量對時間的二次導數，m/s2；μji，j為偶應力張量的散度，N/ m2；eijk為笛卡爾坐標系下的Eddington張量；Yi為體力偶矢量，N/m2。

應力張量σij可以表示成對稱部分和反對稱部分的和，由式（3）表示為

偶應力張量μij可以表示成球量張量和偏量張量的和，由式（4）表示為式中：δij為單位張量；mij為偶應力偏量張量，N/m，且mii=0。

式（2）兩端同乘Eddington張量eimn，可以得到應力張量的反對稱部分，由式（5）表示為

式中：rmn應力張量的反對稱部分，N/m2；mji，j為偶應力偏量張量的散度，N/m2。

將式（3）～（5）代入式（1）中，可以得到式（6）為

式（6）即為偶應力熱彈性介質的運動平衡方程。

考慮能量守恒定律。對于介質的邊界為A的任意體積V，忽略熱源項，物體的動能和內能的增長率等于體力功率、面力功率和熱量傳入速率之和，由式（7）表示為

式中：U為內能，J/m3；ωi=eiklul，k/2為轉動矢量；qi為熱流矢量，J/（m2s）。

對于式（7）等號右邊的第二項，分別由式（8）、（9）表示為式中：為轉動矢量的時間導數，1/s；ni為方向矢量。

若物體表面光滑，則由式（10）表示為

因此在不考慮體力項和熱流項時，式（7）可以由式（11）表示為

為了直觀地描述邊界條件的表達形式，設偶應力條件下修正應力和偶應力的切向分量分別由式（12）、（13）表示為

式中：pi為修正應力，N/m2；gi為偶應力的切向分量，N/m。

從式（12）、（13）可以看出，修正應力pi中既有應力張量部分，又包含了偶應力的法向分量。偶應力彈性介質的邊界條件表達形式是與經典彈性介質所區別的地方之一。因此，式（11）可以寫為式（14）

1.2偶應力熱彈性介質的本構方程

對于能量守恒定律式（7），積分連續且對任意的體積V都成立，由散度定理可以得到式（15）為

式中：qi，i為熱流的散度，J/（m3·s）。

考慮運動平衡方程式（1）、式（2）和邊界條件式（12）、（13），可以得到式（16）為

引入應變張量和扭轉曲率張量，分別由式（17）、（18）表示為

式中：εij為應變張量；χij為扭轉曲率張量，1/m。因此，式（16）可以得到式（19）為

根據熵平衡定理，熵增率等于通過表面輸送熵的流入率和通過熱傳導熵產率之和，由式（20）表示為

式中：S為熵密度，J/（m3·K）；Θ為熵流量，J/（m3·Ks）。

對式（20）利用散度定理，而且對任意的體積V都成立，由式（21）表示為

高速GPS和強震臺網的另一個重要用途是提供近場地震波形數據，而這種數據對約束運動學震源過程有用。實際上，低頻帶的波形信息對反演震源時間函數特別有用。因此，我們需要通過強震記錄得到速度或位移地震圖，這對經驗基線校正方法也是必要的。不進行基線校正，就需要對強震記錄進行高通或者帶通濾波，從而導致低頻和靜態地面形變信息的丟失，而這些信息對估計矩震級非常重要。

式中：T，i為溫度梯度，K/m。

對每一個物質點都成立，而且與不可逆過程的熱力學假設Θ≥0相一致。聯立式（16）和式（19）可以得到式（22）為

引入Helmholtz自由能函數，由式（23）表示為

式中：Φ為Helmholtz自由能函數，J/m3。

將式（23）代入式（21）可以得到Helmholtz自由能函數的時間導數，由式（24）表示為

Helmholtz自由能函數是狀態函數，可選取εij、 χij、T和T，i為獨立變量，即可以得到式（25）為

若式（26）對任意的獨立變量都成立，由式（27）表示為

由式（27）可知，Helmholtz自由能函數與溫度梯度T，i無關，其獨立變量只有εij、χij和T，即Φ=。

將式（28）代入式（27），可以得到式（29）～（31）為

式（27）即為偶應力熱彈性介質的本構方程，式（29）和（30）是有關機械量的本構方程，其中含有溫度場的項；式（31）是有關熱學量的本構方程，其中也含有機械場的項?？梢钥闯觯诳紤]熱彈性的影響時，偶應力介質中機械場與溫度場相互耦合。

1.3基于Lord-Shulman理論的能量方程

當熱力學假設Θ≥0成立時，式（27）滿足熱力學第二定律，由式（32）表示為

在均勻各向同性介質中，此不等式滿足Fourier熱傳導定律，由式（33）表示為

式中：κ為熱導率，J/（m·K·s）。式（33）是對熱傳導過程的一種簡化表述，即Fourier熱傳導定律，忽略了熱流的加速過程。考慮到熱流加速而產生的弛豫時間，非Fourier熱傳導理論修正了熱傳導方程，考慮了熱流率項，確保了熱信號在介質中以有限的速度傳播的特性，假設了一種熱流qi和溫度梯度θ，i更加廣泛的關系式，由式（34）表示為

將式（34）左邊一階泰勒展開，可以得到式（35）為

式中：τ為熱流出現到溫度梯度產生所需的弛豫時間，s。

由式（21）和（27），可以得到式（36）為將式（27）代入式（36），可以得到式（37）為

聯立式（34）和（37），可以得到自由能形式的能量方程，由式（38）表示為

考慮線性理論假設，忽略式（38）等號右邊的第二項，可以得到式（39）為

將式（28）代入式（39），可以得到式（40）為

通常假設|θ/T0|?1，能量方程可以化簡為式（41）為

式（37）即為偶應力熱彈性介質的能量方程。從中可以看出，方程中包含弛豫時間τ，是雙曲型方程，這意味著熱信號的傳播是以波動的形式而不是擴散的形式，這是與經典熱彈性理論下的偶應力介質能量方程所區別的地方。當τ超近于0時，能量方程退化拋物型方程，熱信號的傳播改為擴散的形式。

2　偶應力熱彈性介質控制方程的導出

將本構方程式（29）～（31）代入運動平衡方程式（6）和能量方程式（41）中，可以得到偶應力熱彈性介質的控制方程，分別由式（42）、（43）表示為

式（42）和（43）分別為偶應力熱彈性介質的運動控制方程和溫度控制方程。

以x方向為例，將控制方程以分量形式，分別由式（44）、（45）表示為

可以看出，與經典熱彈性理論的控制方程相比，基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論的偶應力熱彈性介質的運動控制方程中含有偶應力特征參數l，溫度控制方程中含有弛豫時間τ，分別體現了偶應力和非Fourier熱傳導對于熱彈性介質的控制方程的影響。當運動控制方程中的參數l=0時，偶應力特征參數的影響消失，運動控制方程退化為經典熱彈性理論的形式；溫度控制方程中含有弛豫時間τ，是一個雙曲型方程。由雙曲型方程的性質，可以得到熱信號的傳播速度，由式（46）表示為

式中：Vt為熱信號的傳播速度，m/s。由于式（46）中熱導率、質量密度和常應變下的比熱均不為零，因此只有當弛豫時間τ=0時，熱信號的傳播速度才為無限大。這時溫度控制方程由雙曲型方程變為拋物型方程，退化為了經典熱彈性理論形式，熱信號也變成了擴散的形式，不再以波動的形式傳播。

3　結論

通過上述研究可知：

（1）與經典熱彈性理論控制方程相比，基于Lord-Shulman理論推導出的控制方程中機械場與溫度場相互耦合，而且溫度控制方程中含有弛豫時間項，使熱信號以波動的形式和有限速度傳播，體現了偶應力和非Fourier熱傳導的對于熱彈性介質的控制方程的影響。

（2）當運動控制方程中的參數l=0時，偶應力的效應消失，運動控制方程退化為經典熱彈性理論的形式；當溫度控制方程中的弛豫時間τ=0時，溫度控制方程變為拋物型方程，退化為經典熱彈性理論的形式，而且熱信號的傳播也變成了擴散的形式。

［1］ 王洪鋼.熱彈性力學概論［M］.北京：清華大學出版社，1989.

［2］ Lord H.W.，Shulman Y..A generalized dynamical theory of thermoelasticity［J］.Journal of Mechanics Physical Solids，1967，15（5）：299-309.

［3］ Green A.E.Lindsay K.A..Thermoelasticity［J］.Journal of Elasticity，1972，2（1）：1-7.

［4］ Green A.E.，Naghdi P.M..A Re-Examination of the basic postulates of thermomechanics［J］.Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical&Engineering Sciences，1991，432（432）：171-194.

［5］ Chandrasekharaiah D.S..Thermoelasticity with second sound：a review［J］.Applied Mechanics Reviews，1986，39（3）：355-376.

［6］ Chandrasekharaiah D.S..Hyperbolic thermoelasticity：a review of recent literature［J］.Applied Mechanics Reviews，1998，51（12）：705-729.

［7］ 田曉耕，沈亞鵬.廣義熱彈性問題研究進展［J］.力學進展，2012，42（1）：18-28.

［8］ 任康樂，周鳳璽，魯慶華，等.功能梯度材料廣義熱彈性響應［J］.蘭州理工大學學報，2012，38（2）：168-172.

［9］ 郭攀，武文華，吳志剛.非傅里葉熱彈性的時域間斷迦遼金有限元方法［J］.力學學報，2013，45（3）：447-450.

［10］王穎澤，王謙，劉棟，等.有限厚度圓柱殼熱沖擊問題的廣義熱彈性解［J］.應用數學和力學，2016，37（6）：644-654.

［11］Voigt W..Theoretische Studien über Die Elasticit?tsverh?ltnisse DerKrystalle［M］.G?ttingen：K?niglicheGesellschaftder Wissenschaften zu，1887.

［12］Cosserat E.，Cosserat F..Théorie des corps déformables［J］. Nature，1909，81（2072）：242-246.

［13］Truesdell C.，Toupin R..The Classical Field Theories［M］. Berlin：Springer Berlin Heidelberg，1960.

［14］Toupin R.A..Elastic materials with couple-stresses［J］.Archive for Rational Mechanics and Analysis，1962，11（1）：385-414.

［15］Mindlin R.D.，Tiersten H.F..Effects of couple-stresses in linear elasticity［J］.Archive for Rational Mechanics and Analysis，1962， 11（1）：415-448.

［16］Aero E.L.，Kuvshinskii E.V..Fundamental equations of the theory of elastic media with rotationally interacting particles［J］. Soviet Physics-Solid State，1961，2（7）：1272-1281.

［17］張敦福，王相玉，李術才.偶應力對含充填層狀巖體邊界層效應的影響［J］.巖石力學與工程學報，2011（S1）：3288-3294.

［18］吳延峰，張敦福，張波，等.拉力型錨桿錨固界面剪應力分布偶應力理論分析［J］.巖土力學，2013，34（z1）：187-191，227.

［19］蘇文政，劉書田.一類多孔固體的等效偶應力動力學梁模型［J］.力學學報，2016，48（1）：111-126.

［20］賀丹，楊萬里.基于新修正偶應力理論的斜交鋪設層合Kirchhoff板模型與尺度效應［J］.復合材料學報，2016，33（6）：1311-1317.

Derivation of governing equations of couple-stress thermoelastic medium

Li Long，Wei Peijun

（Department of Applied Mechanics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China）

With the consideration of non-fourier heat conduction，the Lord-Shulman generalized thermoelastic theory contains a hyperbolic heat conduction equation，and the couple-stress is introduced to reflect the effect of microscale and the microstructural characteristics of materials.Based on the Lord-Shulman generalized thermoelastic theory，the article analyzes the derivation of the motion equations，the constitutive equations，the energy equations and the boundary conditions in the couplestress thermoelastic medium，obtaining the forms of motion governing equation and temperature governing equation.The results show that，compared with the governing equations of the classical theory，the ones based on Lord-Shulman theory in which the equations of the thermal field and the mechanical field are coupling with each other and the governing equations of temperature field contain the relaxation times item.So the propagation of thermal signal is in the form of fluctuation，and the velocity of it is finite，and the equations can also degenerate into the classical ones when letting the couple-stress constant and the relaxation time be zero.

couple-stress elasticity；Lord-Shulman theory；generalized thermoelasticity；non-fourier thermal conduction

O343.7

A

1673-7644（2016）04-0378-07

2016-08-01

李龍（1991-），男，碩士，助理工程師，主要從事彈性波理論等方面的的研究.E-mail：linkenzoo@163.com