對增量理論的幾點認識

吳 保 樺

(解放軍理工大學國防工程學院，江蘇 南京 210007)

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對增量理論的幾點認識

吳 保 樺

(解放軍理工大學國防工程學院，江蘇 南京 210007)

分別推導了L-M理論和P-R理論，并對其優缺點進行了分析，指出經典塑性增量理論是研究考慮應變歷史條件下應力和應變增量關系的理論，增量理論適應于任何復雜加載歷史。

增量理論，應變偏量，塑性力學

1 概述

塑性力學問題彈性力學不同，它在受力情況下表現出如下的特點：1)由于在塑性階段時應變的變化與應力及變形歷史有關，因此，應力、應變關系與彈性階段不同，此時二者關系表現為非線性；2)由于應變狀態與加載歷史有關，不同的加載軌跡表現出不同的應變狀態，因此，應力與應變之間沒有一一對應關系；3)由于受力物體的受力不均勻性，使得變形體中既有彈性變形區，又有塑性變形區，在進行分析計算時需找到彈塑性界限。

由以上特點可以看出塑性應變不僅與所受應力有關，還與加載路徑有關。因此，在討論過程中必須考慮應力和應變的變化特征，同時為了考慮加載歷程的影響，應從應變增量入手，建立相應應力增量與應變增量之間的數學關系，因此塑性本構關系本質上是增量關系。

最早的塑性增量理論是由圣維南于1871年提出的，提出了塑性應變增量主軸和應力變量主軸重合的重要假設，為塑性理論的發展奠定了基礎；同年，列維近一步提出：在塑性變形過程中，塑性應變增量分量與對應的偏應力分量成比例，并建立了Levy-Mises塑性增量理論。在此基礎上，1924年，普朗特考慮到金屬屈服后應包括彈性應變部分，1930年羅伊斯將這一理論推廣到三維應力問題，完善并建立了普朗特—羅伊斯塑性增量理論。

2 理論推導

2.1 理想剛塑性材料的L-M理論

L-M理論在推導過程中，包括下述基本假設：

1)材料是不可壓縮的。對金屬材料而言，即使在高壓狀態下，根據彈性理論可知物體在平均正應力的作用下，所引起的變形只有彈性體積變形，不會引起塑性體積變形；但在應力偏量作用下，會使物體產生畸變，但體積不發生變形。物體的畸變又包括彈性變形和塑性變形兩部分，也就是說塑性變形僅由應變偏量引起，同時認為塑性狀態下體積變形等于零。

2)應變偏量與應力偏量成比例。由于應力羅德參數代表應力莫爾圓的相對位置，應變增量羅德參數代表應變增量莫爾圓的相對位置，因此應力羅德參數與應變增量羅德參數之間的關系可以通過大量實驗確定。

3)材料是理想剛塑性的，L-M理論在推導過程中均考慮了塑性應變增量，因此是基于剛塑性模型建立的。

同理可得：

又由于：

由上式可以看出比例因子與材料的屈服極限及變形程度有關。

2.2 彈塑性材料下的P-R理論

P-R理論的假設與L-M理論的假設基本一致，只不過在該理論中按彈塑性條件進行分析，相應的精度更高。在彈塑性條件下，材料的應變等于彈性應變和塑性應變之和，即：

其中，彈性應變偏量的增量滿足彈性理論中的廣義胡克定律，由L-M理論中的假設2)可知，塑性應變偏量的增量與應力偏量的增量成比例。又由塑性體積不變得：

所以：

3 結語

由于彈性變形與塑性變形相比可以忽略不計，加上L-M理論易于計算，在實際應用中較為廣泛。在利用P-R理論求解彈塑性問題時，很難得到解析解，但近年由于有限元的發展，P-R理論得到廣泛的應用。

這一表達式只適于小變形情況。大應變(有限應變)是幾何非線性的，不能隨便將兩個應變相加。

2)由方程的表達式及德魯克公設可以看出屈服條件與塑性本構方程有一定的關系。

3)由L-M理論及P-R理論的本構方程可以看出塑性應變的大小與該時刻的應力偏量有關，與達到該狀態所需的應力增量無關，這近一步證明了在塑性變形中，應力主軸與塑性應變主軸重合。

4)對于復雜加載條件的理論分析，可以通過由各瞬時變形的累積求出整個變形過程，因此，增量理論可以反映不同加載路徑對變形的影響。

5)上述方程只給出了不同方向間塑性應變增量之比的表達方程，而并未確定其實際大小同時，以上公式討論均未涉及應變強化效應，應進一步討論。

[1] 徐秉業，劉信聲.應用彈塑性力學[M].北京：清華大學出版社,1995.

[2] 楊桂通.彈塑性力學引論[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3] 徐秉業.塑性力學教學研究和學習指導[M].北京：清華大學出版社,1993.

Several understanding for the increment theory in classical mechanics of plasticity

Wu Baohua

(EngineeringInstituteofEngineeringCorps,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,China)

This paper derived L-M theory and P-R theory, and its advantages and disadvantages are analyzed, point out classic incremental theory is the theory describes the relationship between stress-strain relationship is non-linear and non-important feature unique. Incremental theory applies to any complex loading history.

incremental theory, deviatoric strain, plastic mechanics

1009-6825(2016)20-0025-02

2016-05-09

吳保樺(1988- )，男，在讀碩士

O346

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