基于Kane方法的波浪驅動水下航行器動力學模型建立

杜曉旭，崔航，向禎暉

（1.西北工業大學航海學院，陜西西安710072；2.昆明船舶設備集團有限公司，云南昆明650051）

基于Kane方法的波浪驅動水下航行器動力學模型建立

杜曉旭1，崔航1，向禎暉2

（1.西北工業大學航海學院，陜西西安710072；2.昆明船舶設備集團有限公司，云南昆明650051）

基于多體系統動力學理論，定義并選取適當的坐標系和廣義坐標，對波浪驅動水下航行器多體系統進行運動學分析，得到各部分的速度和加速度；基于Kane方法進行動力學分析，計算各部分的偏速度和偏角速度，進而求得系統的廣義主動力和廣義慣性力。將系統的廣義慣性力和廣義主動力代入Kane方程中，得到波浪驅動水下航行器多體系統動力學模型。在受力分析中，不僅考慮了慣性力、慣性力矩、重力和浮力以及流體動力，還重點分析了波浪力和多體系統的附加質量力。對波浪驅動水下航行器進行了運動仿真，仿真結果顯示航行器航行穩定，所建立的模型是有效的。

兵器科學與技術；Kane方程；波浪驅動水下航行器；多體系統動力學

0 引言

如今，海洋能源的利用和開發已成為一種新的趨勢，這無疑對海洋的監測開發平臺提出了新的要求。Hine等［1］從2005年開始研制波浪動力滑翔機，并很快制造出第一代樣機；美國Liquid Robotics公司研制了兩種SV系列的波浪動力滑翔機，可進行長時間、大范圍的自主航行，并不需要電力驅動，僅通過轉化波浪能得到航行的動力，同時可搭載各種傳感器，獲取海洋近水面的各種參數。

對于上述波浪動力滑翔機的建模方法，國外主要采用拉格朗日方法。Caiti等［2］通過計算動能，勢能以及瑞利耗散函數，代入拉格朗日方程得到動力學模型；李小濤［3］應用有限元方法和剛體動力學方法建立水面航行的波浪驅動滑翔機的動力學模型。Yang等［4］應用Kane方法建立了水下蛇形機器人的動力學模型，他們計算偏速度，推導廣義主動力和廣義慣性力的表達式，得到其動力學方程；Mohan等［5］通過應用Kane方法建立帶機械臂水下航行器的動力學模型，他們進行了詳細的推導；賈麗娟［6］應用Kane方法建立了水面航行的波浪動力滑翔機的動力學方程，仿真結果顯示能實現穩定航行。而目前對于既要考慮波浪力也要考慮附加質量力的多體系統動力學建模的研究還較少。

波浪驅動水下航行器主要由近水面航行器、連接纜索和多翼撲動驅動體三部分組成，運動方式如下:近水面航行器在波浪作用下上下波動，通過纜索帶動驅動體起伏運動，從而使翼板擺動產生推力，反過來帶動航行器向前運動。與水面航行的波浪動力滑翔機相比，波浪驅動水下航行器的主要特點在于其隱蔽性，與水面浮體相比，水下航行器的隱蔽性更高，不易被發現，這對作戰偵查是非常有意義的。并且在建模過程中，對于波浪動力滑翔機可認為水面浮體的運動幅度近似等于波浪自由表面的運動幅度，其運動學方程就不必再求解，只需要研究水下驅動體和纜索的運動，屬于弱耦合的情況，而本文研究對象完全在水下運動，整個系統的運動都是未知的，運動方程都需要求解，屬于強耦合的情況，這給動力學建模的仿真帶來了難度。

本文的研究目的是根據動力學模型對波浪驅動水下航行器在不同纜索長度和不同航行深度下的運動情況進行研究。為了實現波浪驅動水下航行器的運動，在垂向水下航行器必須滿足一定的運動幅度，不同的航行深度和纜索長度會導致航行器在垂向運動幅度的不同，從而影響水下驅動體多翼撲動產生的推力，使得航行速度隨之改變；從能量方面來說，波浪驅動水下航行器主要是利用波浪能，將其轉化為前進的動力，而波浪能與航行深度和纜索長度密切相關，因此航行速度會隨之改變。

本文基于多體系統研究方法，定義恰當的坐標系，對波浪驅動水下航行器進行運動學分析，得到位置、速度等表達式，通過Kane方法，對波浪驅動水下航行器進行動力學分析，通過分析受力，計算得到廣義慣性力和廣義主動力，最后將計算結果代入Kane方程中，得到波浪驅動水下航行器的動力學方程，仿真結果顯示水下航行器航行穩定。

為了簡化波浪驅動水下航行器的動力學模型，本文僅研究其在縱平面的運動，并作如下假設:

1）實際的波浪驅動航行器采用的是圓形截面的彈性纜索，會發生彈性形變，進而造成水下驅動體運動的相位滯后現象，導致波浪能的損失，但由于本文研究對象的連接纜索長度較短，并且整個系統的運動速度并不快，故該纜索的彈性變形很小。同時從其運動機理可以看出，纜索一直處于張緊的狀態，所以在誤差允許的范圍內，本文在建模時假設纜索為剛性纜索，不會發生彈性形變；

2）由于本文對整個系統在縱平面運動進行建模，故在航行過程中，各部分的質心和浮心應處于同一垂直平面；

3）忽略波浪對纜索上端的影響。

1 坐標系與轉換矩陣

為了將波浪驅動水下航行器多體系統的三部分聯系起來，故選擇如下坐標系［7-8］分析波浪驅動水下航行器的運動，如圖1所示。

如圖1所示，建立4種坐標系，分別為:Osxsyszs表示原點位于無波浪的海平面上的系統坐標系，為空間固定的笛卡爾坐標系，所有的運動學和動力學方程均以系統坐標系為基準，所有的計算也轉換到系統坐標系下進行；Ovxvyvzv表示以浮心為原點的航行器體坐標系；Ocbtn表示以質心為原點的纜索局部坐標系；Odxdydzd表示以浮心為原點的驅動體的體坐標系。圖1中的符號有以下定義:

圖1 波浪驅動水下航行器的坐標系Fig.1 Coordinate system of wave-driven underwater vehicle

θv:近水面航行器的俯仰角；

θc:纜索相對于水下航行器的擺角；

θd:驅動體相對于纜索的擺角；

D:航行器的直徑；

A:繩索與航行器的連接點；B:驅動體與繩索的連接點；

lOvA:纜索與水下航行器的連接點到航行器浮心在航行器體坐標系下的縱向距離；

lAB:纜索的長度；

lOdB:纜索與驅動體的連接點到驅動體浮心在驅動體的體坐標系下的縱向距離；

ld:纜索與驅動體連接點到驅動體浮心在驅動體的體坐標系下的垂向距離。

為了便于描述水下航行器、纜索和驅動體的位置與姿態，基于圖1中的幾何關系，定義并計算如下物理量:

為了得到航行器體坐標系，纜索局部坐標系和驅動體的體坐標系分別與系統坐標系之間的轉化矩陣，定義如下角度:

得到上述定義的角度后，可得轉換矩陣為

2 運動學模型建立

本文運用多體系統研究方法［5，9］，并基于Kane方程建立波浪驅動水下航行器的運動學模型，選擇如下廣義坐標描述系統的姿態:

由上述廣義坐標，可以得到波浪驅動水下航行器系統的廣義速率為

式中:vxs、vys分別為航行器浮心的速度在系統坐標系xs軸和ys軸的分量；ωv，ωc，ωd分別為水下航行器，纜索和驅動體的旋轉角速度。

由圖1可得到航行器浮心Ov，纜索質心Oc和驅動體浮心Od在系統坐標系下的位置坐標，具體為

式中:X1、X2、X3分別為系統坐標系下航行器浮心Ov、纜索質心Oc和驅動體浮心Od的位置坐標。

對（14）式～（16）式求導，可得系統坐標系下的速度，具體為

根據角速度的定義，可得到

式中:V1、V2、V3分別為系統坐標系下航行器浮心Ov、纜索質心Oc和驅動體浮心Od的速度；ω1、ω2、ω3分別為系統坐標系下航行器浮心Ov、纜索質心Oc和驅動體浮心Od的角速度。

同樣地，對（17）式～（22）式求導，可得系統坐標系下的加速度和角加速度，具體為

式中:a1、a2、a3分別為系統坐標系下航行器浮心Ov、纜索質心Oc和驅動體浮心Od的加速度；α1、α2、α3分別為系統坐標系下航行器浮心Ov、纜索質心Oc和驅動體浮心Od的角加速度。

根據偏速度和偏角速度的定義，（23）式～（28）式分別對廣義速率ur求偏導，計算得到波浪驅動水下航行器各部分的偏速度和偏角速度為

3 動力學模型建立

本節計算波浪驅動水下航行器的廣義慣性力和廣義主動力的表達式，代入Kane方程［9-11］中得到波浪驅動水下航行器多體系統動力學模型。

分別計算多體系統各部分在各自坐標系下受到的力，再通過轉化矩陣得到在系統坐標系下受到的力的表達式，最后根據廣義主動力和廣義慣性力的定義，分別與各自的偏速度和偏角速度相乘，得到波浪驅動水下航行器系統的廣義主動力和廣義慣性力。

由廣義主動力的定義，各部分的廣義主動力可表示為

式中:i=1，2，3分別表示波浪驅動水下航行器系統的第1、2、3部分，具體指水下航行器、連接纜索和驅動體；Fi、Mi分別為第i部分受到的外力和外力矩；分別表示對的轉置。

水下航行器在近水面運動時受到的外力主要有:重力、浮力、流體黏性位置力、流體黏性阻尼力、波浪力和附加質量力［7-8］。由于附加質量力具有質量的性質，故將附加質量力計入廣義慣性力中（纜索和驅動體對附加質量力的處理方式相同）。除附加質量力外，水下航行器所受到的外力在航行器體坐標系下可表示為

式中:ΔG1=G1-B1為航行器的負浮力，G1、B1分別為航行器的重力和浮力；xc1、yc1為航行器的重心到浮心的方向矢量在航行器體坐標系上的投影；Kxv、Kyvα1、Kyvδh、Kmzα1、Kmzδh分別為位置力及力矩的有量綱系數；Kyvω1、Kmzω1分別為阻尼力及力矩的有量綱系數；v1為航行器速度的大小；Fwyv、Mwzv分別為波浪對航行器的力和力矩。

對于航行器在近水面運動時受到的波浪力和力矩，本文采用切片法［12］計算。

水下纜索在運動過程中受到的外力主要有:重力、浮力、流體阻力和附加質量力。近似認為纜索的重力和浮力大小相等、方向相反、相互抵消；所選擇的纜索為圓形截面纜索，故可認為纜索的浮心和重心重合，即重力和浮力在纜索質心處不會產生力矩。同時將纜索受到的流體阻力分為切向分力和法向分力來計算，并假定纜索的流體阻力作用點在纜索的質心處，故流體阻力不產生力矩。

基于上述分析和假設，纜索所受到的外力在纜索局部坐標系下可表示為

式中:Cn、Ct分別為纜索法向和切向阻力系數；ρ為海水密度；d為纜索直徑；vb、vt分別為纜索浮心速度在纜索局部坐標系下的分量，可通過如下轉化關系得到

驅動體在水下運動時受到的外力主要有:重力、浮力、流體黏性位置力、流體黏性阻尼力、附加質量力和多翼板撲動產生的推力。

除了附加質量力外，在驅動體的體坐標系下，驅動體所受到的外力可表示為

式中:ΔG3=G3-B3為驅動體的負浮力，G3、B3分別為驅動體重力和浮力；xc3、yc3為驅動體質心到浮心的方向矢量在驅動體的體坐標系上的投影；Kxd、Kydα3、Kmzα3分別為驅動體位置力及力矩的有量綱系數；Kydω3、Kmzω3分別為驅動體阻尼力及力矩的有量綱系數；v3為驅動體速度的大小；Fxdwing為翼板撲動產生的推力。

對于驅動體多翼撲動所產生的推力，可通過計算流體力學軟件［13-14］計算得到。計算過程如下:將多翼模型導入ICEM中，在ICEM軟件中建立多翼板計算域，并劃分二維的非結構化三角形網格，在模型的近壁面處對網格進行加密，網格劃分情況如圖2所示。

圖2 計算流域網格劃分Fig.2 Grid partition of calculation domain

將處理好的文件導入FLUENT中，對初始條件進行設置，并設置監視器，利用動網格技術，實現對推力系數的數值模擬計算，得到不同頻率、不同拍水幅度和不同來流速度下的推力值，最后在仿真時通過樣條插值的方法對多翼撲動的推力進行計算。這里僅列舉一種算例進行說明，在頻率為0.5 Hz，拍水幅度為0.3c（c是翼板弦長），來流速度為0.1 m/s下，推力計算結果如圖3所示。

圖3 推力隨時間的變化Fig.3 Thrust vs.time

根據圖3推力的變化規律，采用正弦形式的推力表達式近似驅動體多翼撲動的推力，具體表示為

基于各部分的受力分析，將（36）式和（37）式、（38）式和（39）式、（43）式和（44）式分別代入（35）式得到各部分的廣義主動力，最終波浪驅動水下航行器多體系統的廣義主動力為

由于波浪驅動水下航行器在水下運動時會產生附加質量，在計算系統的廣義慣性力時，不僅要考慮慣性質量，也要考慮附加質量的影響。

根據廣義慣性力的定義，得到波浪驅動水下航行器各部分的廣義慣性力為

由于本文僅研究波浪驅動水下航行器在縱平面的運動，故（47）式中

則（47）式可化簡為

mi為第i部分的慣性質量，Jzi為第i部分的轉動慣量，λ11i、λ22i、λ66i分別為第i部分的附加質量，λi為第i部分的附加質量在系統坐標系下的表達式，可通過下式計算得到:λi=［AOsOi］［λ11iλ22i0］T，其中Oi可取Ov、Oc和Od.

對于纜索這種細長圓柱體在水中運動時的附加質量，采用匡建平等［15］的研究方法計算，得到纜索的附加質量。具體計算方法為

式中:t為纜索微元段距纜索質心的距離。由上述計算得到的各部分廣義慣性力，可得到波浪驅動水下航行器系統的廣義慣性力為

基于多體系統動力學理論，根據Kane方法建立的動力學模型為

為了簡化計算，忽略（46）式和（57）式中的高階狀態變量，并代入（58）式中，可得到波浪驅動水下航行器的多體系統動力學方程為

式中:

4 仿真

本文基于Kane方法建立的動力學模型，采用4階龍格-庫塔數值積分算法編制仿真程序，進行波浪驅動水下航行器的運動仿真研究。仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數表Tab.1 Simulation parameters

在4級海況下，水下航行器的航行深度設定為5 m，仿真研究在不同纜索長度（3 m、4 m、5 m和6 m）下，波浪驅動水下航行器的運動特性，仿真結果如圖4～圖6所示。

圖4 不同纜索長度下航行器的水平速度圖Fig.4 Horizontal velocities of underwater vehicles with different lengths of cable

圖5 不同纜索長度下的運動軌跡圖（上方為航行器的運動軌跡，下方為驅動體的運動軌跡）Fig.5 Motion tracks of underwater vehicles with different lengths of cable（upper:motion tracks of vehicles；below:motion tracks of drivers）

圖6 不同纜索長度下驅動體的攻角圖Fig.6 Attack angles of drivers with different lengths of cable

由圖4和圖5可得:在4級海況下，5 m航行深度時，選擇不同纜索長度（3 m、4 m、5 m和6 m），波浪驅動水下航行器均能實現持續穩定航行，同時均能保持定深狀態；航行器和驅動體在運動穩定后做周期性運動；纜索長度的不同會導致航行器的航行速度有所區別，對比分析可得，隨著纜索長度的減小，航行器的速度有所提高，這是由于隨著纜索長度的減小，對波浪能的損失會有所降低，故航行器的速度有所提高；纜索長度為3 m時的航行器速度相對較快，平均速度在0.42 m/s.但由于纜索長度的減小，驅動體也將受到波浪的影響，這不利于航行的穩定。同時由圖6可以看出，在纜索長度為3 m時，驅動體攻角的變化幅度較大，這會影響驅動體運動穩定性和使用期限，故本文纜索長度選擇為4 m.

在纜索長度為4 m的情況下，仿真研究4級海況下不同航行深度（4 m、5 m和6 m）時，水下航行器的運動特性，仿真結果如圖7、圖8所示。

圖8 不同深度下的運動軌跡圖（上方為航行器的運動軌跡，下方為驅動體的運動軌跡）Fig.8 Motion tracks of underwater vehicle in different depths（upper:motion tracks of vehicles；below: motion tracks of drivers）

由圖7和圖8可得:波浪驅動水下航行器在4 m、5 m和6 m深度下，均能實現持續穩定航行，同時均能保持定深狀態；航行器的航行速度與航行深度有關，隨著深度的減小，航行器速度有所增加，這是由于隨水下航行器航行深度的減小，整個系統所獲得的波浪能有所增加，其前進的動力就會增加，因此，航行器的速度有所提高；在4 m深度時航行器的速度相對較大，平均速度在0.47 m/s左右。

5 結論

本文基于多體系統理論，采用Kane方法建立波浪驅動水下航行器的動力學模型。選擇適當的坐標系和廣義坐標，在忽略了波浪對驅動體和纜索的影響下，基于Kane方法，對波浪驅動水下航行器多體系統進行運動學分析，得到速度和加速度，同時計算偏速度和偏角速度。受力分析時，不僅考慮了慣性力和慣性力矩、重力和浮力以及流體動力，還重點分析了波浪力和多體系統的附加質量力，推導了廣義主動力和廣義慣性力的計算公式，最終將結果代入Kane方程中，得到波浪驅動水下航行器的動力學模型。最后采用4階龍格-庫塔積分算法進行運動仿真，仿真結果表明:在4級海況下，波浪驅動水下航行器的航行速度與纜索長度和航行深度有關。

1）隨著纜索長度的減小，航行速度有所提高，但由于纜索長度的不斷減小，驅動體將會受到波浪的影響，不利于運動的穩定性，同時在纜索長度為3 m時，驅動體攻角的變化幅度較大，從運動穩定性和使用壽命方面來考慮，本文纜索長度選擇為4 m.

2）隨著航行器航行深度的減小，整個系統所獲得的波浪能有所增加，這將增加整個系統的前進動力，故航行速度有所提高，仿真結果顯示在4 m航行深度時，航行速度相對較大，可達到0.47 m/s左右。

本文提出了波浪驅動水下航行器的運動學和動力學模型。但本文同時也存在一些問題需要完善。由于纜索的上端也處于近水面，所以也會受到波浪的影響，這還需要進一步研究。

（References）

［1］ Hine R，Willcox S，Hine G，et al.The wave glider:a wave-powered autonomous marine vehicle［C］∥MTS/IEEE Conference on Marine Technology for Our Future:Global and Local Challenges. Biloxi，Mississippi，US:IEEE，2009.

［2］ Caiti A，Calabro V，Grammatico S，et al.Lagrangian modeling of the underwater wave glider［C］∥IEEE OCEANS Conference. Santander，Spain:IEEE，2011.

［3］ 李小濤.波浪滑翔器動力學建模及其仿真研究［D］.北京:中國艦船研究院，2014:11-53. LI Xiao-tao.Wave glider dynamic modeling and simulation research［D］.Beijing:China Academy of Ships，2014:11-53.（in Chinese）

［4］ Yang K，Wang X Y，Ge T，et al.Dynamic model of underwater snake-like robot using Kane's method［J］.Journal of Shanghai Jiao Tong University:Science，2014，19（2）:146-154.

［5］ Mohan S，Kim J.Coordinated motion control in task space of an autonomous underwater vehicle-manipulator system［J］.Ocean Engineering，2015，104（1）:155-167.

［6］ 賈立娟.波浪動力滑翔機雙體結構工作機理與動力學行為研究［D］.天津:國家海洋技術中心，2014:31-38. JIA Li-juan.The study of wave power glider catamaran structure working mechanism and dynamics behavior［D］.Tianjin:National Ocean Technology Center，2014:31-38.（in Chinese）

［7］ 潘光.魚雷力學［M］.西安:陜西師范大學出版社，2013. PAN Guang.Torpedo mechanics［M］.Xi'an:Shaanxi Normal U-niversity Press，2013.（in Chinese）

［8］ 張宇文.魚雷彈道與彈道設計［M］.西安:西北工業大學出版社，1999. ZHANG Yu-wen.Torpedo trajectory and trajectory design［M］. Xi'an:Northwestern Polytechnical University Press，1999.（in Chinese）

［9］ Zhang W，Liu X P，Fang C W，et al.Dynamic modeling of a spherical robot with arms by using Kane's method［C］∥Fourth International Conference on Natural Computation.Jinan:IEEE，2008:373-377.

［10］ 常宗瑜，陳秉聰.水下機器人-機械手系統的動力學分析［J］.機械，2006，33（4）:4-6. CHANG Zong-yu，CHEN Bing-cong.Dynamic analysis of the underwater robot manipulator system［J］.Machine，2006，33（4）: 4-6.（in Chinese）

［11］ 夏丹，陳維山，劉軍考，等.基于Kane方法的仿魚機器人波狀游動的動力學建模［J］.機械工程學報，2009，45（6）: 41-49. XIA Dan，CHEN Wei-shan，LIU Jun-kao，et al.Dynamics modeling of simulated robot fish swimming wavy based on Kane method［J］.Journal of Mechanical Engineering，2009，45（6）:41-49.（in Chinese）

［12］ Du X X，Song B W，Meng R，et al.Effect of wave to low speed maneuvers of Torpedo-like long-distance AUV［J］.Journal of System Simulation，2008，20（8）:1945-1960.

［13］ 丁浩，宋保維，田文龍.水下仿生撲翼推進性能分析［J］.西北工業大學學報，2013，31（1）:151-155. DING Hao，SONG Bao-wei，TIAN Wen-long.Underwater flapping-wing propulsion performance analysis［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2013，31（1）:151-155.（in Chinese）

［14］ 劉鵬，蘇玉民，劉煥興.串列異步拍動翼推進性能分析［J］.上海交通大學學報，2004，48（4）:457-463. LIU Peng，SU Yu-min，LIU Huan-xing.Serial asynchronous flapping-wing propulsion performance analysis［J］.Journal of Shanghai Jiao Tong University，2004，48（4）:457-463.（in Chinese）

［15］ 匡建平，吳訓濤，王虹旋.細長圓柱體水中無約束運動的附加質量計算方法探析［J］.四川兵工學報，2014，35（6）: 143-145. KUANG Jian-ping，WU Xun-tao，WANG Hong-xuan.Additional quality calculation method for underwater unconstrained motion of elongated cylinder［J］.Journal of Sichuan Ordnance，2014，35（6）:143-145.（in Chinese）

The Multi-body System Dynamics Modeling of Wave-driven Underwater Vehicle Based on Kane Method

DU Xiao-xu1，CUI Hang1，XIANG Zhen-hui2
（1.School of Marine Science and Technology，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，Shaanxi，China；2.Kunming Shipbuilding Equipment Co.，Ltd，Kunming 650051，Yunnan，China）

A coordinate system for wave-driven underwater vehicle is defined based on multi-body system dynamics theory.The kinematics analysis of the whole system is performed by choosing the appropriate generalized coordinates，while the velocities and acceleration are deduced，and the expressions of partial velocities and partial angular velocities are deduced based on Kane's method according to the dynamic analysis of the whole system.The generalized inertial force and generalized active force of the whole system are calculated.A multi-body system dynamics model of wave-driven underwater vehicle is established by taking the calculated results into the Kane's equations.The force analysis of the proposed model focuses on the wave force and the additional mass force of multi-body system besides inertia force，inertia moment，gravity，buoyancy and hydrodynamic forces.The wave-driven underwater vehicle is simulated. The simulated results show that the proposed modeling method is valid.

ordnance science and technology；Kane equation；wave-driven underwater vehicle；multibody system dynamics

TJ630.1

A

1000-1093（2016）07-1236-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.07.011

2015-12-21

國家自然科學基金項目（11302176）；高等學校博士學科點專項科研基金項目（20126102120021）；中央高校基本科研業務費基礎研究項目（3102014JCQ01006）

杜曉旭（1981—），男，副教授，碩士生導師。E-mail:nwpudu@163.com；

崔航（1993—），男，碩士研究生。E-mail:nwpucuihang@163.com；

向禎暉（1982—），男，工程師。E-mail:xianghui990660@163.com