基于虛擬滑模控制方法的非合作航天器姿態估計

于曉婷，郁豐，何真，熊智，王振宇

（南京航空航天大學航天學院，江蘇南京210016）

基于虛擬滑模控制方法的非合作航天器姿態估計

于曉婷，郁豐，何真，熊智，王振宇

（南京航空航天大學航天學院，江蘇南京210016）

針對非合作航天器的非線性姿態估計問題，提出一種利用虛擬滑模控制思想實現對目標航天器姿態參數估計的方法。將立體視覺系統輸出的實時觀測數據作為虛擬控制系統的輸入，將航天器的姿態動力學數學模型作為虛擬的控制對象，采用滑模變結構控制器計算出虛擬力矩控制量，從而使虛擬航天器的姿態與觀測姿態同步，虛擬航天器姿態即為非合作航天器姿態參數的估計值。仿真實驗驗證表明，在存在系統誤差及狀態量初始誤差較大的情況下，所提出的基于虛擬滑模控制的估計算法估計效果優于擴展卡爾曼濾波算法，并較好地協調了變結構控制魯棒性與平滑控制抖振之間的矛盾。

控制科學與技術；立體視覺；非合作航天器；虛擬滑模控制；姿態估計；模糊邊界層

0 引言

在軌運行的衛星由于燃料耗盡或姿態/軌道控制系統故障等因素，都有可能導致衛星失效成為太空垃圾。失效衛星一般是與追蹤星之間沒有直接信息交流的非合作目標衛星，非合作航天器之間的相對位姿測量是服務航天器開展非合作失效航天器的相對制導與控制的前提［1-2］，是對失效衛星進行在軌修復，燃料加注，捕獲回收等在軌服務操作的基礎。立體視覺系統因其低能耗、高性價比等優點已經成為測量相對位姿的常用三維傳感器［3］。

對非合作航天器的姿態估計問題，描述航天器的姿態運動無論是采用歐拉角、羅德里格參數還是四元數，都具有非線性，在非線性濾波方法中，擴展卡爾曼濾波（EKF）由于方法簡單、容易實現等優點而得到最廣泛的應用［4-5］。無損卡爾曼濾波（UKF）也常被用于衛星姿態估計［6-8］，通過無損變換（UT）后的采樣點集來逼近非線性函數概率分布，姿態估計結果較EKF具有更好的估計精度。但是以上兩種濾波方法對模型精確性要求都較高，且在初始誤差較大時，存在估計效果急劇下降和濾波器收斂速度緩慢的問題。H∞濾波作為一種魯棒濾波器，對于有色噪聲也具有較好的魯棒性，而且它對不確定系統也具有很好的濾波效果［9］。以上濾波器在迭代過程中都需更新狀態協方差矩陣，計算量較大，另外，協方差矩陣初值的選擇會影響濾波器的初始收斂過程。粒子濾波（PF）是一種基于蒙特卡羅仿真的濾波方法，理論上只要粒子數目足夠多，可以達到更好的收斂速度和估計精度［10-11］，然而隨著粒子數目增多而導致計算量迅速增加，因此難以滿足衛星姿態估計工程應用中對實時性的要求。

滑模控制（SMC）因其不依賴于外部擾動和內部參數的攝動，對系統的不確定性和建模誤差具有較好的魯棒性，是一種處理非線性控制問題的有效方法。由于故障衛星因為燃料消耗、帆板未完全展開等因素，慣量參數必然存在一定誤差，本文針對模型存在系統誤差等常規濾波方法估計效果不佳的情況，在滑模控制方法的基礎上提出了一種虛擬控制的思想，將非合作衛星的姿態估計轉換成控制問題，繼承SMC的優勢，在無需已知系統精確描述的情況下也可得到較好的估計精度，并且只需計算反饋力矩對系統模型進行調節，大大減少了計算量。

本文首先給出衛星動力學方程和四元數描述的運動學方程，將該模型作為虛擬控制的對象；然后利用立體視覺對特征點進行三維重構，得到目標星的姿態，將該姿態信息與估計姿態之差作為控制輸入；采用Lyapunov方法設計了滑模變結構控制律來“控制”虛擬衛星的姿態與觀測值同步。另外，SMC不連續開關特性會引起系統抖振［12-13］，在常規的準滑模變結構控制中引入模糊規則，利用模糊控制器來動態調整滑模邊界層的厚度。最后仿真驗證表明，該模糊滑模控制器有效地削弱了抖振，能較好地協調固定邊界層變結構控制的魯棒性與平滑控制抖振之間的矛盾；對比本文估計方法與EKF算法，在初始誤差較大時本文方法依然具有較快的收斂速度，同時當對象存在系統誤差時也能保證估計的魯棒性，提高了姿態估計精度。

1 基于SMC方法的估計模型

1.1 基于虛擬SMC的狀態估計模型

基于虛擬SMC思想的非合作航天器姿態估計的總體思路如圖1所示。圖1中qobv為立體視覺姿態測量值，qmol為基于模型的姿態預測值，M為控制力矩，ω為角速度。

圖1 虛擬SMC系統結構圖Fig.1 Block diagram of virtual sliding mode controller

本文估計器設計方法的基本思路是:將立體視覺的測量姿態作為控制目標，設計滑模姿態控制器，將姿態動力學模型作為一顆虛擬的數字衛星，控制該虛擬衛星的姿態與觀測值同步。將衛星動力學方程以及由四元數描述的運動學方程，轉化為由誤差四元數和誤差角速度描述的誤差跟蹤方程，以立體視覺測量的姿態與模型的估計姿態之差作為控制系統的輸入，基于Lyapunov原理設計滑模變結構控制器，計算出虛擬控制力矩“作用”在姿態動力學模型上，以消除虛擬衛星姿態與測量姿態之間的偏差，最終達到虛擬衛星的姿態與觀測姿態的跟蹤同步。

1.2 衛星姿態動力學和運動學模型

故障衛星姿態動力學方程:

式中:ωt=［ωx，ωy，ωz］T為目標衛星相對于慣性空間的角速度在本體系中的分量；It為轉動慣量；Mt為三軸控制力矩。對于坌ξ=［ξ1ξ2ξ3］∈R3，符號［ξ×］均表示:

目標星姿態運動學模型:

由（2）式可得姿態四元數的矢量和標量部分分別為

式中:qtv=［qt1，qt2，qt3］T是目標星姿態四元數的矢量部分；qt0為目標星姿態四元數的標量部分；I3×3為3×3的單位矩陣。

1.3 立體視覺的特征點三維重構

雙目立體視覺三維測量是基于視差原理，如圖2所示為典型的平行式雙目立體視覺模型，兩相機投影中心線的距離，即基線距為b，兩相機在同一時刻觀測空間中的同一特征點Pc（xci，yci，zci），在左右像面上的坐標分別為（uLi，vLi）、（uRi，vRi）.假定兩相機的圖像在同一平面上，則vLi=vRi；由于本模型要求兩相機具有相同的內部參數，所以左右相機的焦距值相等，即f=fL=fR；追蹤星質心與兩相機中心之間的平移量為m，由幾何關系可得

圖2 雙目立體視覺成像原理Fig.2 Imaging principle of binocular stereo vision

可確定特征點在追蹤星本體系下的三維坐標為

1.4 目標星的姿態測量

非合作目標一般與追蹤星間無主動的信息交流，特征點也是衛星表面的自然特征，但是如果目標星是己方研制的，可以認為其結構和質量特性是已知的；如果衛星結構信息未知，可以通過目標在軌參數估計方法來估算質量特性、重建目標星的坐標系及特征點坐標［14-15］。特征點與目標星本體系Otxtytzt的空間關系如圖3所示。

圖3 特征點在兩坐標系下的轉換關系Fig.3 Transformational relation between two coordinate systems

如圖3，假設目標衛星的特征點均分布在同一個平面內，以特征點s2為坐標原點，向量s2s1為z軸，以垂直于特征點平面且背離目標星質心的方向為x軸，建立特征點坐標系Osxsyszs，特征點在特征點坐標系與追蹤星本體系間的轉換關系為

1）平移矩陣求解。s2在特征點坐標系中坐標為（0，0，0）T，在追蹤星本體系的坐標為（xc2，yc2，zc2）T，代入（8）式中可得特征點坐標系Osxsyszs相對于追蹤星本體系Ocxcyczc的平移矩陣T=（xc2，yc2，zc2）T.

2）轉換矩陣求解。定義向量s2s1的方向為特征點坐標系的z軸，即特征點s1在z軸上，因此s1在特征點坐標系和追蹤星本體系中的坐標分別為（0，0，zs1）T和（xc1，yc1，zc1）T，其中zs1=|s2s1|代入（8）式中，可解得轉換矩陣的最后一列為

又因為特征點s3在特征點坐標系的Osxszs平面內，其坐標為（xs3，0，zs3）T，其中zs3為向量s2s3在z軸方向的分量，zs3=|s2s1·s2s3·s2s1/（|s2s1||s2s1|）|；xs3=|s2s3-s2s1·s2s3·s2s1/（|s2s1||s2s1|）|.在追蹤星本體系的坐標為（xc3，yc3，zc3）T代入（8）式中可得

由R3和R1，可確定R2為

最后可得姿態轉換矩陣R=［R1R2R3］，根據姿態轉換矩陣可得四元數形式的目標星姿態量測值。

2 基于滑模變結構控制的姿態參數估計

根據目標衛星姿態誤差模型來設計合適的滑模控制器，選擇合適的切換函數和滑模控制律來改善滑模控制器的性能。利用模糊控制器來動態調整滑模邊界層的厚度，改善滑模抖動的問題。控制結構圖如圖4所示。

圖4 虛擬滑模控制器系統結構圖Fig.4 System structure of virtual sliding mode controller

2.1 姿態誤差方程

醫院醫療數據統計能夠廣泛收集各類病癥的臨床和診療數據，這些數據能夠成為醫師經驗積累的有效依據，能夠為今后的醫療服務工作提供有效的指導和參考，對于提升醫療服務水平具有重要意義。

將（10）式代入（3）式，得姿態誤差微分方程為

式中:qev為qe的矢量部分；為ωt的標稱值；ωe為目標星角速度的估計誤差，

ωd為由觀測數據推算的角速度，為目標衛星本體相對慣性系的角速度估計值，A（qe）為

綜合（1）式、（12）式，可得角速度誤差模型為

2.2 虛擬反饋控制力矩推導

定義切換函數為

式中:s=［s1，s2，s3］T；k=diag（k1，k2，k3），ki＞0.

系統運動點到達切換面附近時，當s→0+時，或當s→0-時，滑動模態發生，即當時滿足滑模發生條件。

根據滑模可達性條件，狀態空間任意位置運動點逼近切換面是一個漸進的過程，不能保證在有限時間內到達切換面。本文設計的指數趨近率包括指數項-Ks和等速趨近項-εsgn（s）以改善趨近運動的品質。本文選取指數趨近率:

對于由q和ω所描述的系統，分別設計三軸穩定航天器的姿態控制律，使系統在反饋控制量Mt= f（ω，q，s）的作用下實現:根據（14）式、（15）式與（16）式，SMC的反饋值為控制力矩:

2.3 滑模的防抖振設計

若采用常規的滑模趨近律如（16）式，SMC的不連續開關特性將會引起系統的抖振，用飽和函數sat（s/Δ）代替趨近律中的符號函數sgn（s），即

切換函數s是關于狀態變量的函數，在2.2節中的滑模變結構控制方法中，由于邊界層的厚度是不變的，但對于非線性系統來說，邊界層厚度越小，控制效果越好，但同時又會使控制增益變大，抖振增強；反之，邊界層厚度越大，抖振越小，但又會使控制增益變小，控制效果變差。考慮到模糊控制無需建立系統精確的數學模型，具有較強的魯棒性，設計模糊控制器動態調整邊界層厚度。

根據s的大小來實時調整邊界層的厚度Δ，因s=ωe+kqev，模糊控制器的輸入變量為qev和ωe，輸出變量為滑模厚度Δ.上述3個變量取相同的論域為:｛-1.5，-1，-0.5，0，0.5，1，1.5｝，對應的模糊語言子集為｛NB（負大），NM（負中），NS（負小），ZO（零），PS（正小），PM（正中），PB（正大）｝，各模糊語言子集的隸屬函數如圖5所示。

圖5 邊界層厚度隸屬度關系圖Fig.5 Boundary layer thickness membership

當s較大時，表示系統狀態離滑模切換面比較遠，應該用較寬的邊界層厚度來避免抖振；當s較小時，表示系統狀態離滑模切換面比較近，應該用較窄的邊界層厚度來達到良好的控制精度。據此設計二維模糊控制器，模糊規則如表1所示。解模糊化方法采用重心法，圖6為解模糊后生成模糊推理系統主接口（FIS）輸出曲面，較直觀地表現了輸入變量與邊界層厚度的關系。

表1 模糊規則表Tab.1 Fuzzy rule table

圖6 FIS輸出曲面Fig.6 Output surface of FIS

2.4 穩定性證明

Lyapunov函數選取如下:

對（19）式進行求導，并將（18）式中經過飽和函數替換的趨近律代入（19）式中，得

對于（20）式，總有V·＜0，故系統在狀態變量處于滑動模態之外時是Lyapunov漸進穩定的，任何滑動模態之外的運動都最終要趨向于滑模面。

3 仿真與驗證

因非合作衛星已經失去控制而在空間中做自由翻滾，由于帆板等撓性設備的阻尼作用，一般衛星最終將近似圍繞一個定軸做旋轉［16-17］。本文因此假設目標為自旋衛星，在短時間內可以假設其不受外力矩作用，轉動慣量，初始角速度ωt=［0，-1，0］T°/s，初始四元數qt0=［1，0，0，0］T，角速度誤差為ωe（0）=［0.1，0.5，0.2］T°/s.

相機參數:焦距為5 cm，兩相機基線為0.8 cm，相機像素為1 600×1 200，像元大小為4.2 μm× 4.2 μm，像平面大小為6.72 mm×5.04 mm.

選擇合適的切換函數和趨近律可以改善虛擬滑模控制器的性能，為探究虛擬滑模控制器中各參數對估計效果的影響，分析并歸納結論如下:

1）切換函數比例系數k.在定義切換函數s時，姿態四元數與角度之間的比值關系無法直接確定。從圖7可較直觀地看出:k越小，角度誤差在切換函數的比重越小，曲線收斂速度越慢；反之，角度誤差對切換函數的影響變大，通過虛擬反饋力矩對角度誤差的校正也越及時，姿態角估計誤差迅速收斂，但由于姿態四元數誤差在s中權值較少，曲線收斂后抖動也隨之變嚴重。

圖7 切換函數比例項kFig.7 Proportion coefficient k of switching function

2）趨近律的指數項系數K.在趨近律中加入指數項-Ks是為了保證當s較大時，系統能以較大的速度趨近于滑動模態。如圖8所示，隨著K的增大，收斂速度明顯變快，但同時伴隨著劇烈的抖動。

圖8 趨近律的指數項系數KFig.8 Exponential coefficient K of reaching law

3）等速趨近項系數ε.ε表示系統的運動點在到達切換面s=0時的速率。圖9為ε取值與估計效果的關系圖。ε小，趨近速度慢；ε大，則運動點到達切換面時將具有較大的速度，引起的抖動也越大。

圖9 等速趨近項系數εFig.9 Equal velocity reaching coefficient ε

綜上所述，在指數趨近律中，為了保證快速趨近的同時削弱抖振，適當地增大K的同時減小ε，取K=0.7×diag（1，0.1，1），ε=10-5×diag（1，0.1，1），切換函數比例系數取k=0.05×diag（1，1，1）.

為驗證模糊控制器抑制滑模抖振，提高估計精度的效果，分別對固定滑模邊界層厚度和動態滑模邊界層厚度兩種情況下的切換函數s進行仿真，仿真結果如圖10和圖11所示。

原始的滑模控制器的邊界層厚度不變，當s較大時，趨近律中的開關量sgn（s）使得當s接近于0時，趨近的速度是系數ε而非0，因此切換線一直處于抖動中。從圖10可看出，x和z軸的抖動較大，25 s內的標準差分別為0.012 4和0.012 7；而根據切換函數s的大小動態調整邊界層厚度后，如圖11切換曲線的振動明顯得到改善，x和z軸的標準差在25 s內分別降為0.003 2和0.004 8.因模糊控制器可根據s的大小來實時調整邊界層厚度，當s較大時，表示系統的狀態離滑模切換面比較遠，應該用較寬的邊界層厚度，這樣比值s/Δ隨之減小，可防止趨近速度=-εsat（s/Δ）過大，因此抖振得到緩解。

為驗證狀態量初始誤差較大時兩種方法的表現，設置滑模參數為k=0.05×diag（1，1，1），ε= 10-4×diag（1，0.1，1），K=0.1×diag（1，0.1，1）（以下仿真的滑模參數不變），狀態初值誤差取qe（0）=［1，（（7°，9°，-5°）π/180°）/2］T。圖12和圖13分別為兩種方法對角速度和姿態角的估計誤差。

圖10 固定邊界層厚度的切換函數sFig.10 Sliding surface switching curve of fixed boundary layer thickness

圖11 模糊邊界層厚度的切換函數sFig.11 Sliding surface switching curve of fuzzy boundary layer thickness

圖12 初值誤差較大時角速度誤差估計Fig.12 Estimated error of angular velocity for lager initial state error

圖13 初值誤差較大時姿態角誤差Fig.13 Estimated error of attilude angle for lager initial state error

無論是角速度還是姿態角，EKF需要更長的收斂時間，經分析EKF在存在狀態初始誤差的情況下，協方差陣初值的選擇會對濾波器收斂效果產生直接影響；而由（17）式可知，虛擬滑模反饋力矩的大小是對角速度誤差和姿態誤差的直接反應，當初始姿態或角速度誤差較大時，虛擬控制器會迅速向虛擬衛星反饋較大的控制力矩對角速度進行修正，同時姿態誤差也會得到及時修正。圖12中本文方法的角速度估計在虛擬反饋量的作用下能夠迅速收斂，但噪聲較EKF大，這是因為本文角速度輸入值由角度差分得到，但是到1 000 s后也基本能夠控制到與EKF相當的精度。

眾所周知，SMC對系統的不確定性具有良好的魯棒性，為驗證本文將虛擬反饋思想引入滑模控制器中用于姿態估計后是否繼承了SMC的優勢，做如下仿真驗證:因在工程實踐中不可能得到精確的轉動慣量值，例如故障衛星燃料經過消耗后而改變了質量特性，此處引入轉動慣量誤差Ite=，仿真結果如圖14和圖15所示。

圖14 系統誤差下的角速度誤差Fig.14 Estimated error of angular velocity in case of system error

由于EKF算法的精度嚴重依賴于模型的精度，無法對因慣量誤差引起的角度與角速度誤差進行更好的估計修正。圖14為二者的角速度估計誤差曲線，EKF算法的角速度并沒有無偏收斂于0，而是相對0有約10-2的偏差；圖15是二者的角度估計誤差曲線，基于EKF方法的姿態角估計誤差雖然總體收斂，但一直有波動，在同樣的條件下，基于虛擬SMC方法的估計算法具有魯棒性，對系統誤差并不敏感，在虛擬反饋力矩的作用下對角速度和角度進行了調節，并在較短的時間內收斂。為對比兩種方法的估計精度，取800～1 500 s時間內的姿態誤差進行統計，如表2所示，收斂后EKF的姿態誤差的標準差約為本文方法的3倍，本文方法的估計精度明顯高于EKF的估計。

圖15 系統誤差下姿態角誤差Fig.15 Estimated error of attitude angle in case of system error

4 結論

本文提出了一種利用虛擬SMC思想實現對非合作故障衛星姿態參數估計的方法，在狀態量初始誤差較大的情況下具有比EKF更快的收斂速度，在故障衛星轉動慣量不準確而導致建模誤差的情況下，比EKF算法取得了更好的估計精度。本文方法可以作為空間失效衛星交會對接過程中的目標姿態估計器設計的一種參考。

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Virtual Sliding Mode Control-based Attitude Estimation for Non-cooperative Spacecraft

YU Xiao-ting，YU Feng，HE Zhen，XIONG Zhi，WANG Zhen-yu
（College of Astronautics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，Jiangsu，China）

A virtual sliding mode control design method is proposed for the nonlinear attitude estimation of non-cooperative spacecraft.The real-time observations outputted by the stereo vision system are used as the inputs of the virtual sliding mode controller，and the spacecraft attitude dynamics mathematical model is taken as a control object of the virtual controller.The virtual control torque is calculated by using the sliding mode variable structure controller.The virtual spacecraft attitude and the observed attitude are synchronous，and the virtual spacecraft attitude is the estimated value of attitude parameter of the non-cooperative spacecraft.Simulation result shows that the proposed estimation algorithm based on virtual sliding mode controller performs better than the extended Kalman filtering algorithm.The application of sliding mode boundary layer control achieves a good balance between the robustness of variable structure control and the smooth control chattering.

control science and technology；stereo vision；non-cooperative satellite；virtual sliding mode；attitude estimation；fuzzy boundary layer

V448.21

A

1000-1093（2016）07-1282-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.07.017

2015-06-30

國家自然科學基金項目（61203197）；中國航天科技集團公司航天科技創新基金項目（2014年）

于曉婷（1990—），女，碩士研究生。E-mail:yxting90@163.com；

郁豐（1980—），男，副研究員，碩士生導師，博士。E-mail:yufeng@nuaa.edu.cn