基于BFGS攝動法的固定梁損傷檢測*

黃振南, 胡 彪

(1.蘭州理工大學機電工程學院 蘭州，730050) (2.電子科技大學機械電子工程學院 成都，611731)

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基于BFGS攝動法的固定梁損傷檢測*

黃振南1, 胡 彪2

(1.蘭州理工大學機電工程學院 蘭州，730050) (2.電子科技大學機械電子工程學院 成都，611731)

運用損傷結構的特征值問題,建立擬牛頓法的BFGS優化攝動方法來檢測固定梁的損傷情況。 多單元兩端固定梁的損傷位置與程度, 可以從首幾對振動模態在數次迭代內準確獲取。首先，攝動展開損傷結構的剛度矩陣、特征值和特征向量, 并代入損傷結構的特征值方程；然后，集合p階的彈性模量攝動項,以顯式直接推導特征參數的p階攝動系數；最后，把系數代入攝動方程，對于多個彈性模量進行BFGS擬牛頓優化迭代, 其目標函數由攝動方程剩余項的總和產生。 使用兩端固定梁的有限元模型,五單元至九單元梁的損傷檢測驗證了該方法在有限模態參數與減少自由度模型的有效性。在終止準則方面，使用了d-模與t-模比較不同迭代階段的收斂性, 并精確地在0.06～0.001彈性模量誤差內檢測了小至大損傷的各個單元號及其損傷程度。

BFGS攝動法；兩端固定梁；損傷檢測；擬牛頓優化

引 言

各種敏感度分析在過去幾十年得到了快速的發展。Fox等[1]在考慮結構設計變量的基礎上，計算出特征參數的變化率。Rogers[2]將他們的研究發展到非對稱特征值問題中。Nelson[3]分析了對稱和非對稱多系統的特征向量簡化的導出式。Wanxie等[4]采用穩態雷利商對于多模態特征值作出二階敏感性分析。Wicher等[5]確定了結構系統在頻率域的二階敏感度矩陣。Wilkinson[6]制定了特征值問題的攝動理論。Brandon[7]以攝動分析計算出特征值和特征向量的二階攝動項。Ryland等[8]發展了二階攝動法，可以計算質量和剛度矩陣發生小攝動時的特征參數變化。文獻[9-10]推導出扭矩耦合建筑問題的二階攝動解法。大多數的攝動分析只涉及單變量，而Stahara[11]提出了一階多變量攝動程序來優化設計渦輪葉片的輪廓。然而, 涉及交叉項的多變量攝動分析尚未顯示在文獻中。

各種振動方法中，可以使用特征值、特征向量或特征向量曲率[12-13]作為優化目標。這項研究采用了特征向量和特征值構造優化目標函數。多變量p階的攝動法得到了發展，把彈性模量的變化設為攝動變量，令相同階的彈性模量攝動項在各特征向量和特征值系數中相等，特征參數的各階攝動項就可漸次得到，并采用BFGS擬牛頓法進行結構的彈性模量優化。從廣義的結果分析，兩端固定梁的有限元模型驗證了算法的收斂性與有效性。

1 BFGS攝動法的理論基礎

由于在一個損傷結構中慣性改變造成的影響非常小，往往只考慮損傷中造成的彈性模量改變。考慮一個nφ維自由度、線性、時間不變、不同特征值的自伴系統。未損傷結構的彈性模量為Ghi(i=1,2,...，m)，其中m為彈性模量的數量，以彈性模量的減少來描述結構損傷。在每次迭代前損傷結構的彈性模量為Gi(i=1,2,...，m)，而取決于Gi的線性剛度矩陣為K=K(G)，其中G=[G1,G2,...，Gm]T。帶有彈性模量Gi的結構的特征值問題為

(1)

式(1)中的標準化特征向量也滿足以下正交關系

(2)

其中:1≤u≤N;δku為克羅內克函數。

(3)

這幾個變量可通過攝動方程得到，其中剛度矩陣的一階攝動式為

(4)

其中：δGi=Gdi-Gi(i=1,2,...,m)為彈性模量的攝動量。

考慮到K為Gi的線性函數，其Gi更高階的導出式就被消去，因此一個連續結構的有限元整體剛度矩陣也會滿足式(4)。損傷結構的k級特征值和質量標準化的特征向量可通過攝動式與λk和φk相關聯

(5)

(6)

所形成的是特征值系數和特征向量的各階交叉項,下標括號中的數字代表項的階數。驗算這些交叉項，對于任何p≥1有

(7)

(8)

集合式(8)中的p階變量δGiδGj…δGsδGt得到式(5)、式(6)中的p階攝動項

(9)

(10)

在式(9)前乘以(φk)T,并利用式(1)、式(2)與式(10)得

(11)

p階特征值的攝動系數是從式(5)和式(11)中得到,它們各自依賴于p階以下的特征值和特征向量。

在式(9) 前乘以 (φv)T，其中1≤v≤N且v≠k，利用式(1)、式(2)和式(10) 得

(12)

(13)

(14)

整個優化過程使J極小化, 并采用以下擬牛頓迭代格式

(15)

(16)

(17)

其中:wdn為達到d-模準則的最少迭代次數。

另一個t-模終止準則是：當wtn次與損傷權重標準化特征參數差模，小于初始與損傷特征參數差模的tn百分比

(18)

其中:wtn為達到t-模準則的最少迭代次數。

2 兩端固定梁的損傷檢測

圖1 兩端固定梁的有限元模型Fig.1 Finite element model of fixed-fixed beam

(19)

剛度矩陣為

(20)

集合過程采用自動化程序，可導出2(Ne+1)×2(Ne+1)維的整體系統矩陣。約束邊界兩個節點的橫向位移和轉角變量為零，可得到N×N維的系統矩陣，其中N=2(Ne-1)為系統自由度，而系統的位移向量(包括所有無約束的節點)為[V2,θ2,V3,θ3,…,VNe,θNe]T。現在使用攝動法的計算機程序來檢測例案5o1_rs 至9o2_rl的五、七和九單元梁受到小、中、大三種程度損傷時的彈性模量攝動量。

2.1 五單元梁的損傷檢測

首先以一階算法來檢測5個單元固定梁的中損傷[15]，運用首五對模態參數,即nλ=nφ=5，其t-模值從笫1次迭代的9.72×10-1迅速下降至笫2次的8.27×10-2，達到10-6的t-模準則(tn=10-4)。從彈性模量的百分比誤差曲面(見圖2)，各單元的彈性模量在笫2次迭代扭轉, 其誤差范圍在-12.8% ～3.62%, 然后平穩地收斂在極小誤差向量Gdp={-0.006,0.006,0.000,0.031,0.013}%。總結所有五單元例案，得到1%d-模的收斂見表1。在小損傷的例案中，一階與二階算法的收斂情況是相等的；中損傷的例案，d-模的準則還未達到，t-模已達到，二階算法的收斂速度較快；大損傷檢測，一階算法需要達到d-模的次數較少，因此收斂速度較慢。分析表1的t-模, 在小損傷檢測中，兩種算法是一樣的；在中損傷檢測，二階算法相對更有效，對應d-模的情況；在大損傷檢測，兩種算法擁有相同的收斂性。

表1 五單元梁損傷檢測的收斂次數

Tab.1 Convergence number of five element beam damage detection

例案d-模t-模5ol_rs225o2_rs225o1_rm345o2_rm-25o1_rl275o2_rl77

圖2 例案5o2_rm 五單元梁二階中損傷的檢測誤差Fig.2 Case 5o2_rm minimum error of five element beam second order medium damage detection

2.2 七單元梁與九單元梁的損傷檢測

現在把單元數量增加至7個與9個，從表2顯示七單元梁大損傷中，二階算法的1% d-模收斂速度較一階算法快, 迭代次數分別是2次與3次。在10-6t-模準則，二階算法(6次)的收斂速度比一階(7次)稍快。運用二階的d-模曲線(見圖3)，其值從笫1次迭代的13.5迅速下降至笫2次迭代的1.31，然后收斂到4.44×10-2。分析2階的彈性模量的百分比誤差曲面，所有單元在笫2次迭代下降到 -33.2% ～16.1%的范圍。從笫3次迭代開始, 它們嚴格地收斂到笫7次的極小誤差向量 Gdp={0.001,0.014,-0.004,-0.011,0.010,-0.098,0.000}%。

圖3 例案7o2_rl七單元梁二階大損傷的d-模曲Fig.3 Case 7o2_rl d-norm curve of seven element beam second order large damage detection

Tab.2 Convergence number of seven and nine element beams damage detection

例案d-模t-模7o1_rl277o2_r1469o1_rs229o2_rs22

至于九單元的小損傷，兩種算法的d-模準則同時在笫2次迭代收斂。另外，在t-模準則，一階算法(3次) 的收斂速度比二階的(2次) 較慢。分析二階算法，彈性模量的誤差在笫1次迭代下降到-0.972%～0.253%范圍以內，然后在笫2次迭代，有效地收斂到極小誤差向量

Gdp={-0.045,-0.057,-0.034,-0.049,-0.058,-0.051,-0.042,-0.048,-0.049}%

3 結束語

基于BFGS優化的p階攝動法已直接推導出來, 準確檢測了固定梁的結構損傷。使用首五對模態參數, 在五單元的固定梁，檢測初期的收斂性隨著損傷的程度增加，二階算法達到精度的速度比一階更快，在迭代末期，兩種算法效率基本一樣。對于七單元梁的大損傷，在d-模準則一階算法的收斂性比較強，在t-模準則二階算法達到精度的速度較快，極小誤差值在0.1%以內。對于九單元梁的小損傷，在初期兩種算法具有相同的收斂性，在迭代末期一階算法達到精度的速度較慢，其極小誤差值在0.06%以內。所以隨著單元數量的增加，一階算法在d-模準則相對有效，而二階算法在t-模準則更有效。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.021

*國家自然科學基金資助項目(50905028，51275554)

2014-05-17；

2015-12-23

TH113.1

黃振南，男，1965年12月生，教授、碩士生導師。曾發表《Perturbed eigenvalue problem with the davidon-fletcher-powell quasi-Newton approach for damage detection of fixed-fixed beam》(《Mathematics and Mechanics of Solids》 2011,Vol.16,No.2)等論文。

E-mail: znhuang@lut.cn