基于U模型的混沌系統Super-Twisting同步控制研究

張建華，李 楊，吳學禮，趙 民，莊沈陽

(1.河北科技大學電氣工程學院，河北石家莊 050018；2.河北省生產過程自動化工程技術研究中心，河北石家莊 050018；3.河北科技大學信息科學與工程學院，河北石家莊 050018；4.齊齊哈爾大學計算機與控制工程學院，黑龍江齊齊哈爾 161006)

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基于U模型的混沌系統Super-Twisting同步控制研究

張建華1,2，李 楊2,3，吳學禮1,2，趙 民1，莊沈陽4

(1.河北科技大學電氣工程學院，河北石家莊 050018；2.河北省生產過程自動化工程技術研究中心，河北石家莊 050018；3.河北科技大學信息科學與工程學院，河北石家莊 050018；4.齊齊哈爾大學計算機與控制工程學院，黑龍江齊齊哈爾 161006)

提出了一種基于U模型的混沌系統Super-Twisting同步控制方法，對混沌系統的混沌控制進行了描述，結合混沌系統的研究現狀和非線性系統設計中的一些成果，提出了混沌控制與同步的一些新方法，設計出相應的控制器實現有限時間混沌同步控制。針對Lorenz 系統和Chen系統進行了數值仿真，仿真結果證明了所給方法的有效性。

穩定性理論；混沌系統；同步；U模型；Super-Twisting算法；有限時間

混沌現象廣泛地存在于自然界，它是非線性系統所包含的一種比較特殊的復雜運動?；煦缡且环N非線性系統的動態形式，其明顯特點是對噪聲和初始值的敏感性。類似隨機現象是混沌現象在確定性系統中本身固有的一種特性?；煦绗F象揭示了自然界及人類社會中普遍存在的統一性問題，即復雜性與有序和無序、確定性和隨機性彼此間的統一，加深了人們對客觀世界的認識?！盎煦纭笔墙浅Ｒ俗⒛康臒狳c研究問題，它掀起了繼相對論和量子力學以來基礎科學的第三次革命。在現實生活和實際工程技術問題中，混沌無處不在，揭示了隨機現象背后可能隱藏的簡單規律[1-2]。

混沌同步原理是PECORA和CARROLL在1990年提出的，在非線性系統研究中，混沌系統同步控制已成為學者們研究的熱門領域[3]。混沌同步的研究受到了包括通訊、信息科學、醫學、生物、工程等領域中大量研究人員的關注[4-6]，包括線性反饋[3]和自適應[4]等方法實現同步[5]和反同步[6]等控制，具有很大的應用潛力和發展前景[7-9]。所謂混沌系統同步控制，是指一個混沌動力學軌道收斂于另一個混沌動力學軌道，以致兩個系統始終保持步調的一致[10-11]。近年來，學者們提出了很多有關混沌同步的方法[12-13]應用到同步控制的設計過程中，如反推控制、延時反饋控制、基于觀測器控制和滑模控制等。

滑?？刂颇軌蚩朔到y的不確定性，對干擾和未建模動態具有很強的魯棒性，尤其是對非線性系統的控制具有良好的控制效果[14-16]。U模型為傳統的非線性系統構造了一個通用的模型結構，相對于其他方法的優點:U模型可以采用時變參數多項式的方式表示一大類平滑非線性系統，而且U模型的形式不會使對象的非線性特性有任何損失，可以優化非線性系統的控制器部分的設計；U模型可以將非線性動態模型轉換為一類僅有偽輸入的參數時變非線性多項式模型，它的提出將為非線性對象控制系統設計提供一個良好的發展方向；U模型可以把繁瑣的模型轉換到一種簡潔的結構模型[17-18]。

Super-Twisting算法[19-20]是一種高階滑?？刂品椒?，可以解決有限時間的同步控制問題，特別是通過設計嚴格的Lyapunov泛函[21]給出有限時間收斂性。這里借助U模型控制方法，將系統的控制輸出設計為虛擬控制的控制輸入，解決非線性系統的控制問題，通過Super-Twisting滑?？刂频挠邢迺r間收斂特性，設計有限時間滑模同步控制器。

1 基礎知識

典型的統一混沌系統，可以通過下面的系統進行描述：

(1)

式中：x1，x2和x3是混沌系統狀態變量。系統參數α∈[0,1]，當0≤α<0.8時，式(1)稱為Lorenz混沌系統；當α=0.8時，式(1)稱為Lü混沌系統；當0.8<α≤1時，式(1)稱為Chen混沌系統。

帶有不確定外界擾動的混沌系統可以描述為

(2)

式中：Δ1，Δ2和Δ3是外界擾動。

用于同步的子混沌系統描述為

(3)

式中：y1,y2,y3表示子混沌系統的狀態；ui指的是子系統的控制輸入。

2 基于Super-Twisting算法的滑模同步控制

Super-Twisting算法[21]是一種二階滑模控制方法，系統表示為

(4)

(5)

選取Lyapunov泛函為

V=ζTPζ，

(6)

于是就有

(7)

滿足Lyapunov等式

ATP+PA=-Q。

(8)

考慮沒有外界擾動的系統，ρ1=ρ2=0和控制增益k1,k2，于是就有如下的條件等價：

1)系統的平衡點x=0是有限時間穩定的；

2)矩陣A是Hurwitz的，也就是所有的特征值的實部都在左半平面；

3)控制增益是正數，即k1>0,k2>0；

4)對于任意正定對稱的矩陣Q=QT>0，對于Lyapunov等式(8)存在正定對稱解P=PT>0。對于函數V(x)，解的軌跡在t=0有x(0)=x0，會在有限時間T(x0)內達到原點，并且有如下關系成立：

關于收斂性的研究表明系統是有限時間收斂的，并且具有很好的魯棒性。

定理1 針對主混沌系統(1)，子混沌系統(3)，對于任意的常數ki>0,li>0,i=1,2,3，設計如下的Super-Twisting滑?？刂破鳎?/p>

(9)

其中，自適應律設計為

(10)

那么主混沌系統(1)，子混沌系統(3)可以在有限時間內達到同步。

證明 為設計控制器以實現主混沌系統和子混沌系統的同步，首先構造誤差狀態：

ei=yi-xi,i=1,2,3,

(11)

針對主混沌系統(1)，子混沌系統(3)可以得到：

(12)

根據U模型控制方法將控制器(9)帶入可得誤差系統見式(13)：

(13)

對于誤差系統(13)，根據Super-Twisting滑?？刂品椒梢缘玫较到y是有限時間收斂，所以主混沌系統和子混沌系統能夠達到有限時間同步。

同步控制算法具有很強的魯棒性，如果針對帶有不確定外界擾動的混沌系統(2)進行同步控制，同樣采用定理1中的同步控制器，誤差系統表示為

(14)

3 數值仿真

為說明同步控制的性能，這里對同步控制的算法給出相應的仿真實驗。

算例1 考慮如下混沌系統，主系統為

子系統為

選取定理1中設計的控制器，帶入控制器之后可以得到如下結果。

通過數值仿真，選取初始條件為

(x1(0)x2(0)x3(0))T=(-5 1 5)T，

(y1(0)y2(0)y3(0))T=(0 0 0)T，

(v1(0)v2(0)v3(0))T=(1 1 1)T，

控制增益l1=1，l2=1,l3=5,

(15)

根據控制增益可以得到矩陣， 于是可以得到

λ(P)=(1.109 8 2.075 6),λ(Q)=(0.334 3 1.237 8),

于是就有T=79.813 2，有限時間和初始條件有關，同時由于對于LMI求解過程中得到的矩陣P,Q只是滿足條件的一組，所以給出的收斂時間只是說明在有限時間內收斂，很難得出系統的收斂時間。圖1描述的是Lorenz混沌系統的混沌特性；圖2描述的是Lorenz主混沌系統的狀態x1和子混沌系統的狀態y1；圖3描述的是Lorenz主混沌系統的狀態x2和子混沌系統的狀態y2；圖4描述的是Lorenz主混沌系統的狀態x3和子混沌系統的狀態y3；圖5給出同步誤差曲線。通過仿真曲線可以看出，系統中增加控制器作用之后，子混沌系統的狀態是y1,y2,y3已經分別同步到主混沌系統的狀態x1,x2,x3中。

圖1 Lorenz系統的混沌特性Fig.1 Chaotic attractor by Lorenz system

圖2 Lorenz系統x1的仿真Fig.2 State trajectories of Lorenz system x1

圖3 Lorenz系統x2的仿真Fig.3 State trajectories of Lorenz system x2

圖4 Lorenz系統x3的仿真Fig.4 State trajectories of Lorenz system x3

圖5 同步誤差曲線Fig.5 Error trajectories of synchronization

算例2 考慮Chen混沌系統同步控制性能，選取定理中設計的控制器，帶入控制器之后可以得到。

通過數值仿真，選取初始條件為

(x1(0)x2(0)x3(0))T=(-5 1 5)T，

(y1(0)y2(0)y3(0))T=(0 0 0)T，

(v1(0)v2(0)v3(0))T=(1 1 1)T，

控制增益l1=1,l2=1,l3=5

圖6描述的是Chen混沌系統的混沌特性；圖7描述的是Chen主混沌系統x1的狀態和子混沌系統的狀態y1；圖8描述的是Chen主混沌系統的狀態x2和子混沌系統的狀態y2；圖9描述的是Chen主混沌系統的狀態x3和子混沌系統的狀態y3；圖10給出了同步誤差曲線。

圖6 Chen系統的混沌特性Fig.6 Chaotic attractor by Chen system

圖7 Chen混沌系統x1的仿真Fig.7 State trajectories of Chen system x1

圖8 Chen混沌系統x2的仿真Fig.8 State trajectories of Chen system x2

圖9 Chen混沌系統x3的仿真Fig.9 State trajectories of Chen system x3

圖10 同步誤差曲線Fig.10 Error trajectories of synchronization

4 結 論

基于U模型的控制過程，研究混沌系統的同步控制問題，提出了一種Super Twisting混沌同步控制方法，對混沌系統進行有限時間同步控制，并計算出收斂時間。針對Lorenz 系統和Chen系統進行了數值仿真，仿真結果證明了所給方法的有效性。

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Study on Super-Twisting synchronization control of chaotic system based on U model

ZHANG Jianhua1,2, LI Yang2,3, WU Xueli1,2, ZHAO Min1, ZHUANG Shenyang4

(1.School of Electrical Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；2.Hebei Provincial Research Center for Technologies in Process Engineering Automation, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；3.School of Information Science and Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；4.College of Computer and Control Engineering, Qiqihar University, Qiqihar, Heilongjiang 161006, China)

A U model based Super-Twisting synchronization control method for chaotic systems is proposed. The chaos control of chaotic systems is prescribed, then, based on the current research status of chaotic systems and some useful research results in nonlinear system design, some new methods for chaos control and synchronization are provided, and the controller is designed to achieve the finite time chaos synchronization. The numerical simulations are carried out for Lorenz system and Chen system, and the result proves the effectiveness of the method.

stability theorem; chaotic system; synchronization; U model; Super-Twisting algorithm; finite time

1008-1542(2016)03-0268-07

10.7535/hbkd.2016yx03009

2016-02-29；

2016-03-31；責任編輯：李 穆

河北省自然科學基金(F2015208128)；河北省教育廳基金(QN20140157, BJ2016020)

張建華(1980—)，男，吉林延吉人，講師，博士，主要從事神經網絡控制、滑模控制、航跡優化方面的研究。

E-mail:zhangjianhua@hebust.edu.cn

TP273

A

張建華，李 楊，吳學禮，等.基于U模型的混沌系統Super-Twisting同步控制研究[J].河北科技大學學報,2016,37(3):268-274.

ZHANG Jianhua, LI Yang, WU Xueli,et al.Study on Super-Twisting synchronization control of chaotic system based on U model[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(3):268-274.