源自賭博的概率論

郭雨萌

賭博遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題

概率論起源于17世紀(jì)中葉，是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。當(dāng)時(shí)在人口統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)等工作中，需要整理和研究大量的隨機(jī)數(shù)據(jù)資料，這就孕育出一種專(zhuān)門(mén)研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)。但當(dāng)時(shí)，刺激數(shù)學(xué)家們首先思考概率論的問(wèn)題卻是源自賭博者的問(wèn)題。

三四百年前，在歐洲許多國(guó)家，貴族之間盛行賭博之風(fēng)，擲骰子是他們常用的一種賭博方式。因骰子的形狀為小正方體，當(dāng)它被擲到桌面上時(shí)，每個(gè)面向上的可能性是相等的，即出現(xiàn)1點(diǎn)至6點(diǎn)中任何一個(gè)點(diǎn)數(shù)的可能性是相等的。有的參賭者就想：如果同時(shí)擲兩顆骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為9與點(diǎn)數(shù)之和為10，哪種情況出現(xiàn)的可能性較大？17世紀(jì)中葉，法國(guó)有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德·梅耳發(fā)現(xiàn)了這樣的事實(shí)：將一枚骰子連擲四次至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)的機(jī)會(huì)比較多，而同時(shí)將兩枚骰子擲24次，至少出現(xiàn)一次雙6點(diǎn)的機(jī)會(huì)卻很少。

這是什么原因呢？后人稱(chēng)此為著名的德·梅耳問(wèn)題。又有人提出了“分賭注問(wèn)題”：兩個(gè)人決定賭若干局，事先約定誰(shuí)先贏得6局便算贏家。如果在一個(gè)人贏3局，另一人贏4 局時(shí)因故終止賭博，應(yīng)如何分賭本？諸如此類(lèi)需要計(jì)算可能性大小的賭博問(wèn)題有很多，但他們自己也無(wú)法給出答案。

數(shù)學(xué)家們參與“賭博”

參賭者將他們遇到的上述問(wèn)題請(qǐng)教了當(dāng)時(shí)法國(guó)的數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問(wèn)題，他沒(méi)有立即回答，而是把它們交給另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)始了深入細(xì)致的研究。這些問(wèn)題后來(lái)被到巴黎的荷蘭科學(xué)家惠更斯獲悉，回到荷蘭后，他獨(dú)立地進(jìn)行研究。

帕斯卡和費(fèi)馬一邊親自做賭博實(shí)驗(yàn)，一邊仔細(xì)分析計(jì)算賭博中出現(xiàn)的各種問(wèn)題，終于完整地解決了“分賭注問(wèn)題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個(gè)基本概念——數(shù)學(xué)期望，這是描述隨機(jī)變量取值的平均水平的一個(gè)量。而惠更斯經(jīng)過(guò)多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。1657年，他將自己的研究成果寫(xiě)成了專(zhuān)著《論擲骰子游戲中的計(jì)算》，這本書(shū)迄今為止仍被認(rèn)為是概率論中最早的論著。因此可以說(shuō)，早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費(fèi)爾馬和惠更斯。這一時(shí)期被稱(chēng)為組合概率時(shí)期，計(jì)算各種古典概率。

在他們之后，對(duì)概率論這一學(xué)科做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家族——貝努利家族的幾位成員。這個(gè)家族中最著名的數(shù)學(xué)家雅可布·貝努利在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問(wèn)題，給出了“賭徒輸光問(wèn)題”的詳盡解法，并證明了一個(gè)被稱(chēng)為“大數(shù)定律”的定理，其內(nèi)容是：在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律。通俗地說(shuō)，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。我們可以用擲骰子來(lái)說(shuō)明“大數(shù)定律”。大家都知道骰子擲1、2、3、4、5、6點(diǎn)的機(jī)率各是六分之一，可是實(shí)際上擲六次卻很難得到1、2、3、4、5、6點(diǎn)各一次，那這個(gè)機(jī)率到底是如何得來(lái)的呢？以前有位西方數(shù)學(xué)家，擲了一萬(wàn)次骰子，得出來(lái)各點(diǎn)的機(jī)率不是六分之一，他又繼續(xù)擲，擲了五萬(wàn)次、六萬(wàn)次，甚至十萬(wàn)次，發(fā)現(xiàn)得到1、2、3、4、5、6點(diǎn)的機(jī)率愈來(lái)愈平均，也就是六分之一。

大數(shù)定律的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程是極其困難的，雅可布·貝努利做了大量的實(shí)驗(yàn)計(jì)算，首先猜想到這一事實(shí)，然后為了證明這一猜想，他花費(fèi)了20年的時(shí)間。雅可布將他的全部心血傾注到這一數(shù)學(xué)研究之中，從中他發(fā)現(xiàn)了不少新方法，取得了許多新成果，終于將此定理證實(shí)。

雅可布的侄子尼古拉·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問(wèn)題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲第一次擲出正面，則乙付給甲一個(gè)盧布；若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲兩個(gè)盧布；若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲22個(gè)盧布。一般地，若甲前n-1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個(gè)盧布。問(wèn)在賭博開(kāi)始前甲應(yīng)付給乙多少盧布才有權(quán)參加賭博而確保乙方不致虧損？

與尼古拉同時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家研究了這個(gè)問(wèn)題，并給出了一些不同的解法。但其結(jié)果是很奇特的，所付的款數(shù)竟為無(wú)限大。即不管甲事先拿出多少錢(qián)給乙，只要賭博不斷地進(jìn)行，乙肯定是要賠錢(qián)的。

走出賭博成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科

隨著18世紀(jì)～19世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展，人們注意到某些生物、物理和社會(huì)現(xiàn)象與機(jī)會(huì)游戲相似，從而由機(jī)會(huì)游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中，同時(shí)也大大推動(dòng)了概率論本身的發(fā)展。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論推進(jìn)，他首先明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的數(shù)學(xué)分析工具，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。

概率論在20世紀(jì)迅速發(fā)展起來(lái)，現(xiàn)在，概率論與以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科一起，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、軍事科學(xué)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域中起著不可或缺的作用。衛(wèi)星上天、導(dǎo)彈巡航、飛機(jī)制造、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞；及時(shí)準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)、海洋探險(xiǎn)、考古研究等更離不開(kāi)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；在社會(huì)服務(wù)領(lǐng)域，概率論的應(yīng)用更為明顯，比如應(yīng)用排隊(duì)過(guò)程模型來(lái)描述和研究電話通信、機(jī)器損修、水庫(kù)調(diào)度，病人候診等一系列服務(wù)系統(tǒng)。

概率論作為理論嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)分支正日益受到人們的重視，并將隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而得到發(fā)展。