源自賭博的概率論

郭雨萌

賭博遇到數學問題

概率論起源于17世紀中葉，是研究隨機現象規律的數學分支。當時在人口統計、保險等工作中，需要整理和研究大量的隨機數據資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機現象的規律性的數學。但當時，刺激數學家們首先思考概率論的問題卻是源自賭博者的問題。

三四百年前，在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博之風，擲骰子是他們常用的一種賭博方式。因骰子的形狀為小正方體，當它被擲到桌面上時，每個面向上的可能性是相等的，即出現1點至6點中任何一個點數的可能性是相等的。有的參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子，則點數之和為9與點數之和為10，哪種情況出現的可能性較大？17世紀中葉，法國有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德·梅耳發現了這樣的事實：將一枚骰子連擲四次至少出現一個6點的機會比較多，而同時將兩枚骰子擲24次，至少出現一次雙6點的機會卻很少。

這是什么原因呢？后人稱此為著名的德·梅耳問題。又有人提出了“分賭注問題”：兩個人決定賭若干局，事先約定誰先贏得6局便算贏家。如果在一個人贏3局，另一人贏4 局時因故終止賭博，應如何分賭本？諸如此類需要計算可能性大小的賭博問題有很多，但他們自己也無法給出答案。

數學家們參與“賭博”

參賭者將他們遇到的上述問題請教了當時法國的數學家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，他沒有立即回答，而是把它們交給另一位法國數學家費馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數學問題開始了深入細致的研究。這些問題后來被到巴黎的荷蘭科學家惠更斯獲悉，回到荷蘭后，他獨立地進行研究。

帕斯卡和費馬一邊親自做賭博實驗，一邊仔細分析計算賭博中出現的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念——數學期望，這是描述隨機變量取值的平均水平的一個量。而惠更斯經過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數學問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》，這本書迄今為止仍被認為是概率論中最早的論著。因此可以說，早期概率論的真正創立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。這一時期被稱為組合概率時期，計算各種古典概率。

在他們之后，對概率論這一學科做出貢獻的是瑞士數學家族——貝努利家族的幾位成員。這個家族中最著名的數學家雅可布·貝努利在前人研究的基礎上，繼續分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并證明了一個被稱為“大數定律”的定理，其內容是：在隨機事件的大量重復出現中，往往呈現幾乎必然的規律。通俗地說，在試驗不變的條件下，重復試驗多次，隨機事件的頻率近似于它的概率。我們可以用擲骰子來說明“大數定律”。大家都知道骰子擲1、2、3、4、5、6點的機率各是六分之一，可是實際上擲六次卻很難得到1、2、3、4、5、6點各一次，那這個機率到底是如何得來的呢？以前有位西方數學家，擲了一萬次骰子，得出來各點的機率不是六分之一，他又繼續擲，擲了五萬次、六萬次，甚至十萬次，發現得到1、2、3、4、5、6點的機率愈來愈平均，也就是六分之一。

大數定律的發現和證明過程是極其困難的，雅可布·貝努利做了大量的實驗計算，首先猜想到這一事實，然后為了證明這一猜想，他花費了20年的時間。雅可布將他的全部心血傾注到這一數學研究之中，從中他發現了不少新方法，取得了許多新成果，終于將此定理證實。

雅可布的侄子尼古拉·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲第一次擲出正面，則乙付給甲一個盧布；若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲兩個盧布；若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲22個盧布。一般地，若甲前n-1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個盧布。問在賭博開始前甲應付給乙多少盧布才有權參加賭博而確保乙方不致虧損？

與尼古拉同時代的許多數學家研究了這個問題，并給出了一些不同的解法。但其結果是很奇特的，所付的款數竟為無限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博不斷地進行，乙肯定是要賠錢的。

走出賭博成為嚴謹的學科

隨著18世紀～19世紀科學的發展，人們注意到某些生物、物理和社會現象與機會游戲相似，從而由機會游戲起源的概率論被應用到這些領域中，同時也大大推動了概率論本身的發展。法國數學家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論推進，他首先明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的數學分析工具，將概率論推向一個新的發展階段。

概率論在20世紀迅速發展起來，現在，概率論與以它作為基礎的數理統計學科一起，在自然科學、社會科學、工程技術、軍事科學及工農業生產等諸多領域中起著不可或缺的作用。衛星上天、導彈巡航、飛機制造、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞；及時準確的天氣預報、海洋探險、考古研究等更離不開概率論與數理統計；在社會服務領域，概率論的應用更為明顯，比如應用排隊過程模型來描述和研究電話通信、機器損修、水庫調度，病人候診等一系列服務系統。

概率論作為理論嚴謹、應用廣泛的數學分支正日益受到人們的重視，并將隨著科學技術的發展而得到發展。