整體不一定大于部分

陳德前

我們先來了解一下集合的有關概念：集合是具有某種特定性質的事物的總和。這里的“事物”包含的對象非常豐富，可以是人，比如在做廣播操時，各個班級的同學站在一起，每個班級的同學都組成了一個集合；可以是物品，比如全校的黑板擦放在一起就組成了一個黑板擦的集合；也可以是數學元素，比如所有正整數組成了一個集合，所有無理數組成了一個集合。

19世紀70年代康托爾創立了著名的集合論。在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊，但不久這一開創性成果就被廣大數學家所接受，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈，因而集合論成為現代數學的基石。集合論產生后，數學家們以為數學的嚴格性終于實現了，人們把數學基礎理論的不矛盾性歸結為集合論的不矛盾性。

可是，英國科學家羅素認為集合論是自相矛盾的，沒有相容性。這就是著名的羅素悖論，或者說是“集合論”悖論。通俗地講，我們知道整體大于部分，可羅素悖論卻告訴我們：整體并不一定大于部分，或者說部分并不一定小于全部。我們可以通過一個例子來說明羅素悖論的含義：

甲乙兩個人進行寫數字比賽，甲寫出一個整數，乙把它乘以2就得到一個偶數。

甲：1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8……

乙：2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16……

這樣你來我往，偶數與整數一樣多。

但是我們知道，整數是由奇數和偶數構成的，一般都認為整數的個數多于奇數或偶數的個數，也就是整體必然大于部分。但上面的例子卻說明：整數的個數與奇數或偶數的個數一樣多。

事實上，這樣的例子還有很多，我們再看一個幾何方面的例子：

Rt△ABC中，∠C=90°，在斜邊AB上任取一點，向直角邊BC作垂線，垂足在BC上，我們會發現，對于斜邊AB上的任意一點，直角邊BC上都有一個點與它對應，因此斜邊AB上的點與直角邊BC上的點一樣多，即斜邊AB與直角邊BC一樣長。

看，多么奇怪的結論！偶數（奇數）與整數一樣多，斜邊與直角邊一樣長。

為什么會出現這樣的奇怪結論？難道我們以前學習的結論是錯的？

其實，上面的兩個結論并不奇怪，我們以前學習的結論也沒有錯，問題是這些結論成立的前提不同。

我們以前學習的結論是在有窮的情況下研究的，而上面的兩個結論是在無窮的情況下研究的。比較兩個無窮集合的方法是給兩組無窮大數列中的每一個數一一配對，如果這兩組最后一個都不剩，這兩組無窮大就是相等的；如果有一組還有些沒有配完，這一組就比另一組大些。這種方法顯然是合理的也是唯一可行的方法。但是當把這種方法實際應用時，會得到許多令人大吃一驚的結論。根據上述比較無窮大數的原則，偶數的數量與整數的數量是同樣多的。當然，這個結論看起來是非常荒謬的，因為偶數只是整數的一部分，這與整體大于部分的結論顯然矛盾。由于這種矛盾首先是伽利略發現的，故稱“伽利略悖論”。康托爾認為，伽利略悖論并非什么“悖論”。任何兩組東西，只要能相互一一對應，就是一樣多。“整體大于部分”這條規律只有在有窮的情況下正確。在無窮大的世界里，部分可能等于全體！這就是無窮的本質。