慣性平臺自標定中慣性儀表安裝誤差可觀測性分析*

丁智堅，蔡 洪，張文杰

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙 410073)

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慣性平臺自標定中慣性儀表安裝誤差可觀測性分析*

丁智堅，蔡 洪，張文杰

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙 410073)

針對慣性平臺自標定中慣性儀表安裝誤差可觀測性問題，深入研究了系統模型與平臺坐標系對慣性儀表安裝誤差可觀測性的影響。根據不同系統動力學模型和觀測量構建四種系統模型。從可觀測性定義出發，分析與判斷慣性儀表安裝誤差在不同系統模型和不同平臺坐標系下的可觀測性。理論分析和仿真結果均表明慣性儀表安裝誤差在以下兩種情況完全可觀：觀測量為平臺框架角和加速度計輸出，系統動力學模型為框架角模型，平臺坐標系以平臺六面體為基準定義；觀測量為加速度輸出，系統動力學模型為姿態角或失準角模型，平臺坐標系以加速度計敏感軸為基準定義。

可觀測性；安裝誤差；自標定；慣性平臺

慣性儀表安裝誤差是高精度慣性平臺主要誤差源之一，故使用前需對其進行標定與補償。然而傳統的慣性平臺多位置自標定[1-2]或多位置靜漂[3-4]等方法均無法有效地標定慣性儀表安裝誤差。

慣性平臺連續翻滾自標定技術[5-10]是一種高精度慣性平臺自標定方法。通過框架系統控制平臺在1g重力場內連續翻滾，利用Kalman濾波技術完成平臺姿態角(或失準角)、慣性儀表安裝誤差以及儀表自身誤差等眾多誤差項的標定與補償，提高慣性平臺使用精度。相對于多位置自標定和多位置靜漂自標定方法，連續翻滾自標定技術能夠有效地分離出慣性器件安裝誤差，且標定精度較高，故引起了廣泛的研究興趣。

然而，不同文獻[4-11]對慣性平臺連續翻滾自標定問題建立了不同的系統模型。其中系統動力學模型有平臺失準角模型[5-7]、框架角模型[11]和姿態角模型等多種模型，觀測模型存在加速度計輸出模型[5-10]和框架角模型[4,11]等不同模型。由不同的動力學模型和觀測模型可以構建多種系統模型。而模型的不一致，會造成儀表安裝誤差的可觀性不同。不合適的系統模型會降低儀表安裝誤差的可觀度，甚至導致其不可觀。此外，上述文獻關于平臺坐標系存在兩種不同定義：一種以平臺六面體為基準定義[11]；另一種以石英加速度計輸入軸為基準定義[5]。不同的平臺坐標系定義會導致慣性儀表(加速度計和陀螺儀)安裝誤差矩陣不同，例如加速度計安裝誤差矩陣，在前者定義方式下存在六項安裝誤差角，而后者只有三項安裝誤差角。進而會影響慣性儀表安裝誤差的可觀性。

針對上述兩個問題，以慣性平臺連續翻滾自標定問題為研究對象，根據不同的系統動力學模型和觀測模型建立了四種可行的系統模型。從可觀性定義角度出發，以系統唯一解的存在與否為判據，分別分析了慣性儀表安裝誤差在各個系統模型和不同平臺坐標系定義下的可觀性。通過仿真對理論分析結果進行了驗證。最后，給出了滿足儀表安裝誤差可觀的條件。

1 慣性平臺自標定模型

1.1 相應坐標系定義

假設慣性平臺為三軸平臺，其三個單自由度積分陀螺儀和三個石英加速度計以平臺六面體為基準安裝于慣性平臺之上。為了分析問題簡便，定義下述坐標系：

1)導航系(n系)：以當地地理系作為導航坐標系，即北-天-東坐標系。

(1)

其中，C表示坐標系之間轉移矩陣，I為3階單位矩陣。

3)以平臺六面體為基準定義的平臺坐標系(ps系)：以平臺六面體三個正交軸為基準，建立平臺坐標系。不考慮框架安裝誤差，當框架均處于零位時，ps系的三個軸與平臺三個框架軸平行。

4)以石英加速度計輸入軸為基準定義平臺坐標系(pa系)：取平臺幾何中心O為原點；OXpa軸與X石英加速度計敏感軸平行；OYpa軸平行于X和Y石英加速度計敏感軸所確定的平面，并與OXpa軸垂直；OZpa軸與OXpa軸以及OYpa軸構成右手坐標系。

5)加速度計敏感軸坐標系(sa系):該坐標系是非正交坐標系，坐標軸與三個石英加速度計敏感軸平行。

6)陀螺儀敏感軸坐標系(sg系):與加速度計坐標系定義類似，定義sg系三個坐標軸分別與三個陀螺儀敏感軸方向平行。

7)計算平臺坐標系(c系)：定義計算機建立的數學平臺坐標系為計算平臺坐標系，其與平臺坐標系之間存在失準角ψ，則c系到p系的坐標轉移矩陣為：

(2)

1.2 慣性儀表安裝誤差矩陣

根據上述定義可以看出，從慣性儀表敏感軸坐標系(sa系與sg系)轉到平臺坐標系(ps系或pa系)需要經歷兩個過程：“扶正”和“轉動”。其中“扶正”是指將非正交的敏感軸坐標系正交化的過程。定義正交化后的坐標系滿足X軸與慣性器件的X敏感軸平行，Y敏感軸與正交化坐標系的XY平面平行。假設所有非正交角均滿足小角度假設，根據定義，加速度計和陀螺儀“扶正”矩陣Ta與Tg可表示為：

(3)

(4)

其中θaC與θgC表示從正交系到平臺坐標系的誤差角矢量。根據平臺坐標系的不同定義，式(4)中的矩陣C(θaC)與C(θgC)有不同的表達式，進而引起儀表安裝誤差存在不同形式。

1.2.1 平臺坐標系(p系)為ps系

當ps系為平臺坐標系時，矩陣C(θaC)與C(θgC)為：

(5)

將式(3)、式(4)代入式(5)且忽略小角度乘積，有

(6)

從式(6)中可以看出，當以六面體為基準定義平臺坐標系時，加速度計和陀螺儀組件各存在6項安裝誤差角。

1.2.2 平臺坐標系(p系)為pa系

當選擇pa系作為平臺坐標系時，根據相關定義，C(θaC)與C(θgC)可寫為：

(7)

其中上標*用于區分在pa系下和ps系下陀螺儀的非正交安裝誤差角矢量θgC。

將式(3)和式(4)代入式(7)，忽略小量乘積，有：

(8)

從式(8)中可以看出，當以石英加速度計輸入軸為基準定義平臺坐標系時，加速度計有3項安裝誤差，陀螺儀有6項安裝誤差角。

此外，根據pa系定義和式(5)，有

(9)

忽略小量乘積，有

(10)

式(6)與式(8)反映了慣性儀表安裝誤差矩陣與平臺坐標系定義之間的關系。從中可以看出，平臺坐標系定義不同會導致慣性儀表安裝誤差角個數的不同，進而引起儀表安裝誤差矩陣的差別。特別地，當pa系為平臺坐標系時，加速度計安裝誤差角個數可從6項降為3項。

1.3 系統模型

由于系統觀測量選取不同以及平臺坐標系定義不同，慣性平臺連續翻滾自標定存在不同系統模型，其中系統動力學模型有失準角、框架角和姿態角等模型，觀測模型有框架角、加速度計等模型。

為了簡化分析，假設慣性儀表自身誤差已由多位置等標定方案標定并已予補償。

1.3.1 系統運動學方程

慣性平臺失準角運動學方程[5]可寫為：

(11)

平臺框架角運動學方程[11]為：

(12)

考慮到平臺基座安裝誤差角，基座角速度可表示為：

(13)

若式(12)中α，β和γ為平臺坐標系姿態角，則式(12)可以改寫為：

(14)

1.3.2 系統觀測方程

慣性平臺自標定中，采用的觀測量有平臺框架角和加速度計輸出等。其中框架角觀測方程可寫為：

(15)

不考慮加速度計自身誤差時，加速度計輸出可寫為：

(16)

由上述系統方程和觀測方程可構建不同的系統模型。

1)系統模型一。選擇平臺失準角運動方程和加速度計輸出方程作為系統模型，即：

(17)

為了反映觀測量與平臺失準角之間聯系，可采用加速度計輸出誤差為觀測量，即：

(18)

(19)

故系統模型一可表示為：

(20)

2)系統模型二。選擇平臺框架角運動方程和框架角觀測方程以及加速度計輸出方程作為系統模型，即：

(21)

3)系統模型三。選擇平臺框架角運動方程和加速度計輸出方程作為系統模型，即：

(22)

4)系統模型四

選擇平臺姿態角運動方程和加速度計輸出方程作為系統模型，即：

(23)

綜上所述，在慣性平臺自標定中，根據不同的系統動力學模型和觀測模型共可構建四種系統模型，而每種模型中慣性儀表安裝誤差矩陣形式與慣性平臺坐標系的定義息息相關。

2 慣性儀表安裝誤差可觀測性分析

針對上述四種模型在不同平臺坐標系定義下慣性儀表安裝誤差的可觀測性展開分析。

2.1 模型一可觀測性分析

2.1.1 pa系為平臺坐標系

(24)

由式(24)易知，模型一屬于線性時變系統，其中單個時間段內系統可觀測性矩陣Qj為：

(25)

當ωc存在多個非共線值時，即可保證系統滿秩。根據PWCS理論[12]，模型一在pa系定義下，系統是完全可觀的。

2.1.2 ps系為平臺坐標系

(26)

考慮到式(10)，式(26)可改寫為：

(27)

(28)

式(28)表明，模型一在ps系的定義下，無法區分平臺失準角ψ與加速度計部分安裝誤差角θaC。而θaC的錯誤估計會影響θgC以及ψ的估計，因此系統中ψ，θgC和θaC不可觀，僅θaT和θgT可觀。

綜上所述，當系統采用平臺失準角模型和加速度計輸出構建系統模型時，平臺坐標系必須以pa系為定義，否則系統不完全可觀。

2.2 模型二可觀測性分析

根據慣性平臺工作原理，平臺指令角速度信號由陀螺儀傳遞至平臺各框架軸的力矩電機，驅動平臺按照指令旋轉。實際上，陀螺儀與平臺框架均以平臺六面體為基準進行安裝，故平臺框架角運動學方程中平臺坐標系必須以平臺六面體為基準進行定義，即模型為：

(29)

假設ωc遠大于地球自轉角速度ωie，當θA已知時，有：

(30)

(31)

綜上所述，當系統模型以框架角運動學方程和框架角以及加速度計輸出觀測方程建模時，必須以平臺六面體為基準定義平臺坐標系，此時加速度計6項安裝誤差、陀螺儀6項安裝誤差和2項平臺基座安裝誤差可觀，1項平臺基座安裝誤差不可觀。

2.3 模型三可觀測性分析

2.3.1 pa系為平臺坐標系

(32)

(33)

(34)

兩邊同時對時間求導并化簡，有：

(35)

由系統運動學方程(32)得：

(36)

(37)

將式(37)和式(34)代入式(35)，有：

(38)

當ωc為恒值時，有：

(39)

綜上所述，模型三中儀表安裝誤差可觀，而基座安裝誤差角不可觀。

2.3.2 ps系為平臺坐標系

(40)

式(40)可改寫為：

(41)

假設平臺上存在兩個六面體，由其確定的平臺坐標系為ps1和ps2兩個坐標系，系統模型(41)在上述兩個坐標系下可分別寫為：

(42)

和

(43)

因為六面體與平臺固連，故：

2.4 模型四可觀測性分析

2.4.1 pa系為平臺坐標系

(44)

由于系統模型中利用姿態角代替框架角構建系統動力學模型，故模型中不包含基座安裝誤差。由2.3節中的結論可知，此時系統完全可觀。

2.4.2 ps系為平臺坐標系

(45)

由2.3節中的結論，系統模型四在六面體定義下不可觀。

綜上所述，當系統模型以姿態角模型和加速度計輸出模型建立時，為保證系統完全可觀，平臺坐標系必須以pa系定義，此時，系統不包含基座安裝誤差，加速度計3項安裝誤差和陀螺儀6項安裝誤差完全可觀。

3 仿真

3.1 仿真參數

將慣性儀表安裝誤差設置為：

(46)

平臺連續翻滾路徑與文獻[5]一致，即初始對準導航系，平臺按照繞南旋轉180°，繞東旋轉90°，繞南旋轉180°，繞東旋轉90°順序轉動，其中轉速為0.1°/s；測量噪聲為1×10-6g；陀螺儀測量噪聲為0.1°/h；框架角測量噪聲為10″。

濾波器初值為0，濾波周期為1s，其余參數根據系統進行設置，采用4階龍格庫塔積分算法。

3.2 仿真結果

圖1～28為加速度計和陀螺儀安裝誤差角在不同模型不同平臺坐標系定義下的仿真結果，其中所有圖中y軸單位為°。

3.2.1 模型一仿真結果

圖1～3為模型一以pa系定義平臺坐標系時濾波結果示意圖。從圖中可以看出，加速度計3項安裝誤差、陀螺儀6項安裝誤差濾波曲線收斂較好，估計誤差較小，系統完全可觀。

圖4～7為模型一以ps系為平臺坐標系時濾波結果示意圖。從圖中可以看出，θgC和θaC濾波曲線收斂至錯誤值，θaT和θgT濾波曲線收斂較好，估計誤差較小，因此θgC和θaC不可觀，θaT和θgT可觀，該結論與理論分析結果一致。

綜上所述，當采用失準角和加速度計輸出構建系統模型時，必須以加速度計敏感軸坐標系定義平臺坐標系，否則系統不可觀。

3.2.2 模型二仿真結果

圖8～12為模型二在ps系為平臺坐標系定義方式下的仿真結果圖。從圖中可以看出加速度計6項安裝誤差和陀螺儀6項安裝誤差角估計效果較好，收斂精度高。對于基座安裝誤差λ，由于λy沒有激勵，其估值一直為零。因此，除了λy以外，系統各項誤差系數濾波效果較好。仿真結果與2.2節理論分析結果一致。

3.2.3 模型三仿真結果

圖13～16為模型三在pa系為平臺坐標系定義方式下仿真結果圖。從圖中可以看出，儀表安裝誤差濾波效果較好，均可觀。但基座安裝誤差濾波曲線收斂至錯誤值，即不可觀。圖17～21為模型三在ps系為平臺坐標系定義方式下的仿真結果圖。從圖中可以看出，除部分誤差系數收斂至真值以外，大多數誤差系數收斂至錯誤值甚至不收斂，即系統不可觀。

圖1 模型一在pa系下濾波曲線Fig.1 Flitting curve of with model 1 and pa coordinate frame

圖2 模型一在pa系下θgT濾波曲線Fig.2 Flitting curve of θgT with model 1 and pa coordinate frame

圖3 模型一在pa系下θaT濾波曲線Fig.3 Flitting curve of θaT with model 1 and pa coordinate frame

圖4 模型一在ps系下θgC濾波曲線Fig.4 Flitting curve of θgC with model 1 and ps coordinate frame

圖5 模型一在ps系下θgT濾波曲線Fig.5 Flitting curve of θgT with model 1 and ps coordinate frame

圖6 模型一在ps系下θaC濾波曲線Fig.6 Flitting curve of θaC with model 1 and ps coordinate frame

圖7 模型一在ps系下θaT濾波曲線Fig.7 Flitting curve of θaT with model 1 and ps coordinate frame

圖8 模型二在ps系下θgC濾波曲線Fig.8 Flitting curve of θgC with model 2 and ps coordinate frame

圖9 模型二在ps系下θgT濾波曲線Fig.9 Flitting curve of θgT with model 2 and ps coordinate frame

圖10 模型二在ps系下θaC濾波曲線Fig.10 Flitting curve of θaC with model 2 and ps coordinate frame

圖11 模型二在ps系下θaT濾波曲線Fig.11 Flitting curve of θaT with model 2 and ps coordinate frame

圖12 模型二在ps系下λ濾波曲線Fig.12 Flitting curve of λ with model 2 and ps coordinate frame

圖13 模型三在pa系下濾波曲線Fig.13 Flitting curve of with model 3 and pa coordinate frame

圖14 模型三在pa系下θgT濾波曲線Fig.14 Flitting curve of θgT with model 3 and pa coordinate frame

圖15 模型三在pa系下θaT濾波曲線Fig.15 Flitting curve of θaT with model 3 and pa coordinate frame

圖16 模型三在pa系下λ濾波曲線Fig.16 Flitting curve of λ with model 3 and pa coordinate frame

圖17 模型三在ps系下θgC濾波曲線Fig.17 Flitting curve of θgC with model 3 and ps coordinate frame

圖18 模型三在ps系下θgT濾波曲線Fig.18 Flitting curve of θgT with model 3 and ps coordinate frame

圖19 模型三在ps系下θaC濾波曲線Fig.19 Flitting curve of θaC with model 3 and ps coordinate frame

圖20 模型三在ps系下θaT濾波曲線Fig.20 Flitting curve of θaT with model 3 and ps coordinate frame

圖21 模型三在ps系下λ濾波曲線Fig.21 Flitting curve of λ with model 3 and ps coordinate frame

圖22 模型四在pa系下濾波曲線Fig.22 Flitting curve of with model 4 and pa coordinate frame

圖23 模型四在pa系下θgC濾波曲線Fig.23 Flitting curve of θgC with model 4 and pa coordinate frame

圖24 模型四在pa系下θgC濾波曲線Fig.24 Flitting curve of θgC with model 4 and pa coordinate frame

圖25 模型四在ps系下θgC濾波曲線Fig.25 Flitting curve of θgC with model 4 and ps coordinate frame

圖26 模型四在ps系下θgT濾波曲線Fig.26 Flitting curve of θgT with model 4 and ps coordinate frame

圖27 模型四在ps系下θaC濾波曲線Fig.27 Flitting curve of θaC with model 4 and ps coordinate frame

圖28 模型四在ps系下θaT濾波曲線Fig.28 Flitting curve of θaT with model 4 and ps coordinate frame

上述仿真結果驗證了2.3節中理論分析結果。

4)模型四仿真結果

圖22～24為模型四在pa系為平臺坐標系定義方式下的仿真結果圖。從圖中可以看出，各項慣性儀表安裝誤差濾波曲線收斂較快，收斂精度高，此時系統完全可觀。

圖25～28為模型四在ps系為平臺坐標系定義方式下的仿真結果圖。從圖中可以看出，除部分誤差系數收斂至真值以外，大多數誤差系數收斂至錯誤值甚至不收斂，此時系統不可觀。

上述仿真結果與前一節中理論分析結果一致，充分驗證了理論分析結果的正確性，也直觀地反映了系統模型和平臺坐標系定義方式對慣性儀表安裝誤差可觀測性的影響。

4 結論

針對慣性平臺自標定中慣性儀表安裝誤差可觀測性問題，研究了系統模型、平臺坐標系定義方式和慣性儀表安裝誤差可觀測性之間的關系。通過理論推導與分析，可以得到以下結論：

1)當觀測量僅為加速度計輸出時，為保證系統完全可觀，系統動力學模型可選擇失準角模型或姿態角模型，但平臺坐標系以pa系為其定義，此時系統包含加速度計3項安裝誤差，陀螺儀6項安裝誤差，不需考慮基座安裝誤差。

2)當觀測模型中包含平臺框架角時，系統動力學模型必須選擇框架角模型，平臺坐標系必須按照ps系定義。此時，系統模型中包含加速度計6項安裝誤差、陀螺儀6項安裝誤差和3項基座安裝誤差。各儀表安裝誤差可觀，但僅有2項基座安裝誤差角可觀。

上述結論為慣性平臺連續翻滾自標定方案中系統模型的建立和平臺坐標系的選擇提供了理論支撐，并可用于后續平臺旋轉路徑設計中，具有重要意義。

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Observability analysis for misalignments of inertial sensors in inertial platform self-calibration

DING Zhijian, CAI Hong, ZHANG Wenjie

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

For the observability of inertial sensor misalignments in inertial platform self-calibration problem, the effects of the system model and platform coordinate frame on observability were analyzed. Based on different system dynamic models and measurement vectors, four system models were built. The observability of inertial sensors misalignments in different models with different definitions of platform coordinate frame was investigated. The theory conclusions and simulation results show that the system is observable only in two conditions: the system measurement models are built up with platform angles and accelerometer triad outputs, the system dynamic model is built up with platform angles and the platform coordinate frame should be defined with the benchmark hexahedron of platform; the system measurement models are built up only with accelerometers triad outputs, the system dynamic models are built up with platform attitude or misalignment models and the platform coordinate frame should be defined with the accelerometer sensor axes.

observability; misalignment; self-calibration; inertial platform

10.11887/j.cn.201605020

http://journal.nudt.edu.cn

2015-05-18

航天科技創新基金資助項目(CASC201105)

丁智堅(1988—)，男，新疆烏魯木齊人，博士研究生，E-mail：dzjqe@126.com；蔡洪(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：hcai@nudt.edu.com

V448. 12

A

1001-2486(2016)05-127-10