新的最佳非對(duì)稱(chēng)量子碼和最佳量子卷積碼*

陳丙亞

（安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232007）

新的最佳非對(duì)稱(chēng)量子碼和最佳量子卷積碼*

陳丙亞

（安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232007）

量子MDS碼是一類(lèi)重要的量子碼。目前，許多學(xué)者利用常循環(huán)碼構(gòu)造量子MDS碼。通過(guò)研究常循環(huán)碼，得到兩類(lèi)新的非對(duì)稱(chēng)量子碼，且對(duì)于相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤具有更大的糾錯(cuò)能力。由常循環(huán)碼得到的兩類(lèi)新的量子卷積碼，和之前文獻(xiàn)中的不同。經(jīng)驗(yàn)證，所構(gòu)造的非對(duì)稱(chēng)量子碼和量子卷積碼是最佳的。

常循環(huán)碼；非對(duì)稱(chēng)量子碼；量子卷積碼；最佳碼

0　引 言

量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造一直是量子信息和量子計(jì)算方面重要的研究課題。當(dāng)前，一些學(xué)者在研究常循環(huán)碼構(gòu)造量子碼[1-8]。眾所周知，常循環(huán)碼包括循環(huán)碼和負(fù)循環(huán)碼。2013年，Kai[9]等人利用負(fù)循環(huán)碼構(gòu)造兩類(lèi)量子MDS碼。同年，Kai、Zhu[10]又用負(fù)循環(huán)碼構(gòu)造幾類(lèi)好的量子碼。2014年，Kai[11]等人又用幾類(lèi)常循環(huán)碼構(gòu)造幾類(lèi)量子MDS碼。Chen[12]等人則研究與文獻(xiàn)[11]中不同的幾類(lèi)常循環(huán)碼，并構(gòu)造出量子MDS碼。Zhang、Chen[13]用常循環(huán)碼構(gòu)造兩類(lèi)新的量子碼。現(xiàn)在，常循環(huán)碼已經(jīng)成為量子研究方面好的資源。

非對(duì)稱(chēng)量子碼是定義在有不同性質(zhì)的量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤的量子通道上的量子碼。在許多量子力學(xué)系統(tǒng)中，量子比特翻轉(zhuǎn)和相位翻轉(zhuǎn)是不同的。過(guò)去的二十年，好的非對(duì)稱(chēng)量子碼[14-19]一直被研究。Chen[20]等人利用負(fù)循環(huán)碼研究最佳非對(duì)稱(chēng)量子碼。Wang、Zhu[21]則用常循環(huán)碼構(gòu)造六類(lèi)新的非對(duì)稱(chēng)量子碼。

現(xiàn)在，好的量子卷積碼[22-26]的構(gòu)造一直被許多學(xué)者研究。Guardia[27]利用幾類(lèi)循環(huán)碼構(gòu)造一些好的量子卷積碼，并和文獻(xiàn)[22]中的量子卷積碼做了比較。Guardia[28]又用BCH循環(huán)碼研究了一類(lèi)最佳量子卷積碼，同時(shí)也利用負(fù)循環(huán)碼構(gòu)造兩類(lèi)最佳量子卷積碼[29]，還用常循環(huán)碼構(gòu)造了幾類(lèi)最佳卷積碼和非對(duì)稱(chēng)量子碼[30]。

本文將利用文獻(xiàn)[13]中的兩種常循環(huán)碼構(gòu)造兩類(lèi)非對(duì)稱(chēng)量子碼和量子卷積碼，具體如下：

（4）[[8(q-1),8(q-1)-2δ'+2,1;1,δ'+1]]q，其中q是奇素?cái)?shù)冪且q=8t-1，t是偶正整數(shù)，δ'是正整數(shù)，且

本文結(jié)構(gòu)如下：第一部分介紹常循環(huán)碼的一些定義和基本結(jié)論。第二部分，復(fù)習(xí)非對(duì)稱(chēng)量子碼的一些定義和基本結(jié)論，構(gòu)造兩類(lèi)最佳非對(duì)稱(chēng)量子碼。第三部分，首先介紹經(jīng)典卷積碼和量子卷積碼的概念和結(jié)論，然后構(gòu)造兩類(lèi)最佳量子卷積碼。最后總結(jié)全文。

1　常循環(huán)碼的基本知識(shí)點(diǎn)

首先，介紹常循環(huán)碼的基本結(jié)論[11-12]。

若C?C⊥h，則C是Hermitian自正交碼。若C⊥h?C，則C是Hermitian對(duì)偶包含碼。

性質(zhì)1[13]（常循環(huán)碼的BCH邊界）：假設(shè)gcd(n,q)=1，令C是長(zhǎng)度為n的q2元λ常循環(huán)碼。若C的生成多項(xiàng)式g(x)有元素作為根。其中，η是單位本原rn次根，則C的最小距離至少是d。

2　最佳非對(duì)稱(chēng)量子碼的構(gòu)造

首先陳述一些定義和基本結(jié)論[14-18]，然后用文獻(xiàn)[13]中的兩類(lèi)常循環(huán)碼構(gòu)造兩類(lèi)最佳非對(duì)稱(chēng)量子碼。

定義1[14]：參數(shù)為gcd(n,q)=1的q元非對(duì)稱(chēng)量子碼Q是Hilbert空間Γqn的一個(gè)qk維子空間，且Q能夠糾正至多個(gè)量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和個(gè)相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤。

定理1對(duì)Euclidean和Hermitian兩種情況都成立，具體如下。

定理1[15]（CSS構(gòu)造）：令Ci是參數(shù)為[n,ki,di]的經(jīng)典碼，i=1,2，有則存在參數(shù)為的非對(duì)稱(chēng)量子碼。其中，

性質(zhì)2[8]（Singleton界）：若線性碼C=[n,k,d]存在，則k≤n-d +1。

性質(zhì)3[20]：C是參數(shù)為[[n,k,dz/dx]]的非對(duì)稱(chēng)量子碼，則C滿足量子Singleton邊界k≤n-dzdx+2。若C滿足等式k =n -dz-dx+2，則C是最佳碼。

引理1[13]：假設(shè)q是一個(gè)奇素?cái)?shù)冪，且q≡3(mod4)。令n =(q2-1)4，r=4。設(shè)C是Fq2上長(zhǎng)度為n，定義集合為：

定理2：假設(shè)q是一個(gè)奇素?cái)?shù)冪，且q≡3(mod4)。令n =(q2-1)4，r=4，則存在參數(shù)為[[(q2-1)4,(q2-1)4-(δ1+δ2),δ1+1/δ2+1]]的非對(duì)稱(chēng)量子碼。其中，δ1、δ2是正整數(shù)，且

證明：n =(q2-1)4，r=4。令是單位本原四次根。模rn的每個(gè)q2元分圓陪集恰好包含一個(gè)元素。假設(shè)Cδ是Fq2上長(zhǎng)度為n的λ循環(huán)碼，其定義集合為：

式中δ是正整數(shù)，且

令C1是定義集合為：的λ常循環(huán)碼。

于是，根據(jù)性質(zhì)1和引理1可知，C1是參數(shù)為[(q2-1)4,(q2-1)4-δ,d≥δ+1]2的λ常循111q環(huán)碼。根據(jù)性質(zhì)2知，C1是λ常循環(huán)碼

令C2是定義集合為的λ常循環(huán)碼。

于是，根據(jù)性質(zhì)1和引理1可知，C2是參數(shù)為[(q2-1)4,(q2-1)4-δ2,d2≥δ2+1]q2的λ常循環(huán)碼。根據(jù)性質(zhì)2知，C2是λ常循環(huán)碼

其中，δ1、δ2是正整數(shù)，且

注1：由性質(zhì)3知，所構(gòu)造的非對(duì)稱(chēng)量子碼是最佳的。

引理2[13]：假設(shè)q是奇素?cái)?shù)冪，且q=8t-1，t是偶正整數(shù)。令n=8(q-1)，r=t。假設(shè)C是上長(zhǎng)度為n、定義集合為Z={1+ti|4t-8≤i≤8t-3}的λ常循環(huán)碼，則C是對(duì)偶包含碼。

定理3：假設(shè)q是奇素?cái)?shù)冪，且q=8t-1，t是偶正整數(shù)。令n=8(q-1)，r=t，則存在參數(shù)為[[8(q-1),8(q-1)-(δ1+δ2),δ1+1δ2+1]]q2的非對(duì)稱(chēng)循環(huán)碼。

其中，δ1是正整數(shù)，且

根據(jù)性質(zhì)1和引理1知，C1是參數(shù)為[8(q-1),8(q-1)-δ1,d1≥δ1+1]q2的λ常循環(huán)碼。

令C2是定義集合為：的λ常循環(huán)碼，

[8(q-1),8(q-1)-δ2,d2≥δ2+1]q2的λ常循環(huán)碼。

因此，由定理1知，存在參數(shù)為

[[8(q-1),8(q-1)-(δ1+δ2),δ1+1δ2+1]]q2的非對(duì)稱(chēng)量子碼。

注2：由性質(zhì)3知，構(gòu)造的非對(duì)稱(chēng)量子碼是最佳的。

例1：根據(jù)定理2、定理3，得到一些非對(duì)稱(chēng)量子碼，分別如表1、表2所示。在表3中，我們列舉了文獻(xiàn)[21]定理4.3中的一些非對(duì)稱(chēng)量子碼。

表1　由定理2得到的一些非對(duì)稱(chēng)量子碼

表2　由定理3得到的一些非對(duì)稱(chēng)量子碼

表3　由文獻(xiàn)[21]中的定理4.3得到的一些非對(duì)稱(chēng)量子碼

固定碼長(zhǎng)和維數(shù)，比較關(guān)于相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤的最小距離dz/dx。通過(guò)研究表1、表2、表3，發(fā)現(xiàn)在相同碼率下，表1和表2中dz和dx的取值更大，即dz/dx可取到較大的值。所以，定理2和定理3構(gòu)造的非對(duì)稱(chēng)量子碼對(duì)相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤具有更大的糾錯(cuò)能力。

文獻(xiàn)[15]中，G.G.La Guardia用RS碼構(gòu)造非對(duì)稱(chēng)量子碼p是素?cái)?shù)。用表1和表2構(gòu)造的兩類(lèi)最佳非對(duì)稱(chēng)量子碼和文獻(xiàn)[15]中的進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)定理2和定理3構(gòu)造的兩類(lèi)非對(duì)稱(chēng)量子碼的較大邊界dz比較小邊界dx大。所以，文中構(gòu)造的非對(duì)稱(chēng)量子碼對(duì)相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤具有更大的糾錯(cuò)能力。

3　最佳量子卷積碼的構(gòu)造

首先介紹經(jīng)典卷積碼和量子卷積碼的一些定義和基本結(jié)論[22-23,26-28]，然后利用常循環(huán)碼構(gòu)造兩類(lèi)量子卷積碼。

若G(D)是正逆多項(xiàng)式，則稱(chēng)多項(xiàng)式編碼矩陣G(D)∈Fq[D]k×n是基本的。假如整體約束長(zhǎng)度在卷積碼C的所有基本生成矩陣中有最小值，則卷積碼C的基本生成矩陣是截短的。所以，整體約束長(zhǎng)度γ是卷積碼C的階次。定義元素的權(quán)重為其中，wt（ vi（ D））是vi（D）的非零系數(shù)的數(shù)量。

定義2[22-23]：碼率為kn的卷積碼是由截短基本矩陣生成的的一個(gè)子模塊，

卷積碼C的Euclidan對(duì)偶為：

下面介紹經(jīng)典卷積碼的基本結(jié)論[22-23,26,28-30]。

令[n,k,d ]q是奇偶校驗(yàn)矩陣H的塊碼，矩陣H被分割成μ+1個(gè)不相交的子矩陣Hi，使得H=［H0,H1,…,Hì］T。其中，每個(gè)Hi有n列。因此，多項(xiàng)式矩陣：

矩陣G（D）生成卷積碼V。其中，G（D）有κ行，κ是矩陣Hi中行的最大數(shù)量。矩陣是通過(guò)在矩陣Hi底端增加元素為零的行得到的，使得矩陣一共有κ行。

下面的結(jié)論對(duì)Euclidean和Hermitian兩種情況都成立。

定理4[28-30]：令是奇偶校驗(yàn)矩陣為的[n,k,d ]q碼。假設(shè)H被分割成子模塊使得對(duì)1≤i≤μ，κ=rkH0， rkHi≤κ。考慮式（1）中的矩陣G（D），則有：

（a）矩陣G（D）是截短基本生成矩陣。

（b）若C⊥?C（相對(duì)應(yīng)C⊥h?C），則卷積碼V=｛v（D）=u （D）G（D）|u（G）∈Fqn-k[D]｝滿足V?V⊥（相對(duì)應(yīng)V?V⊥h）。

（c）若df和分別表示V和V⊥的自由距離，di表示碼的最小距離，d⊥是碼C⊥的最小距離，則碼有

下面介紹量子卷積碼的基本結(jié)論[22-23,28-29]。

穩(wěn)定子可由形式為S（ D）=（X（ D）|Z（ D））∈F[D](n-k)×2nq的矩陣給出，滿足X（D）Z（1D ）t-Z（D）X （1D）t=0。考慮由滿秩穩(wěn)定子矩陣S（D）定義的量子卷積碼C。則C是碼率為kn的量子卷積碼[(n, k,μ; γ,df)]q。其中，n是幀大小，k是每個(gè)幀上邏輯量子數(shù)的數(shù)量。量子卷積碼的存儲(chǔ)量df是自由距離，γ是碼的階次。定義約束長(zhǎng)度為則整體約束長(zhǎng)度是

下面定理給出如何用經(jīng)典卷積碼構(gòu)造量子卷積穩(wěn)定碼。

定理5[22-23]令C是參數(shù)為的卷積碼，有C?C⊥h。于是，存在量子卷積穩(wěn)定碼[(n, k,μ; γ,df)]q。其中df=wt( C⊥hC)。

性質(zhì)4[22,23]（量子Singleton界）：Fq2上純的線性卷積穩(wěn)定碼[(n, k,μ; γ,df)]q的自由距離為

定理6：假設(shè)q是奇素?cái)?shù)冪，且q≡3(mod4)。令n =(q2-1)4，r=4，則存在參數(shù)為[(q2-1)4,(q2-1)4-2δ′+2,1;1,δ′+1)]q的量子卷積碼。其中，

證明：令C是定義集合為

所以，存在參數(shù)為[(q2-1)4,(q2-1)4-δ′, δ′+1]q2的λ常循環(huán)碼。

同樣，令C0是定義集合為

Z0=C4-q∪C8-q∪…∪C4δ′-4-q 的λ常循環(huán)碼。從引理4知，C0的奇偶校驗(yàn)矩陣為：

所以，存在參數(shù)為

[(q2-1)4,(q2-1)4-δ′+1,δ′]q2的λ常循環(huán)碼。

假設(shè)C1是Fq2上定義集合為Z1=C4δ′-q的λ常循環(huán)碼。根據(jù)引理4知，C1的奇偶矩陣H1為

所以得到參數(shù)[(q2-1)4,(q2-1)4-1,d≥2]q2的λ常循環(huán)碼。

根據(jù)上面的討論，得到rkH0≥rkH1。因此，由矩陣生成的卷積碼V是參數(shù)為的λ常循環(huán)碼。其中，是通過(guò)在H1底端增加元素為零的行而得到，使得和H0的行數(shù)相等。因?yàn)槟敲锤鶕?jù)定理4得到由定理4和引理1知

因此，由定理2知，存在量子卷積碼

定理7：假設(shè)q是奇素?cái)?shù)冪，且q=8t-1，t是偶正整數(shù)。令n=8(q-1)，r=t，則存在量子卷積碼[[8(q-1),8(q-1)-2δ′+2,1;1,δ′+1]]q。其中，

令λ常循環(huán)碼C0、C1的定義集合分別為其中

因此，使用和定理6相同的方法可證明結(jié)論成立。

例2：根據(jù)定理5、定理6，得到一些量子卷積碼，分別如表4、表5所示。

表4　由定理5得到的一些量子卷積碼

表5　由定理6得到的一些量子卷積碼

和文獻(xiàn)[25,28-31]構(gòu)造的量子卷積碼比較，發(fā)現(xiàn)本文構(gòu)造的卷積碼和它們均不相同。

4　結(jié) 語(yǔ)

常循環(huán)碼用于構(gòu)造最佳量子碼是一類(lèi)好的資源。通過(guò)研究文獻(xiàn)[13]中的常循環(huán)碼，構(gòu)造兩類(lèi)最佳非對(duì)稱(chēng)量子碼和兩類(lèi)最佳量子卷積碼。通過(guò)比較分析得出，文中構(gòu)造的非對(duì)稱(chēng)量子碼比文獻(xiàn)[21]中的定理4.3和文獻(xiàn)[15]中的非對(duì)稱(chēng)量子碼對(duì)相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤具有更大的糾錯(cuò)能力。表4、表5分別列舉了一些最佳量子卷積碼，證明文中構(gòu)造的量子卷積碼和文獻(xiàn)[25,28-31]不同。

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陳丙亞（1990—），女，碩士，主要研究方向?yàn)榧m錯(cuò)碼理論及應(yīng)用。

Novel Optimal Asymmetric Quantum Code and Optimal Quantum Convolutional Code

CHEN Bing-ya
(College of Science, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232007, China)

Quantum MDS (maximal-distance-separable) code is an important class of quantum codes. Recently, many scholars utilize constacyclic codes to construct some quantum MDS codes. Based on the research of constacyclic codes, two new classes of asymmetric quantum codes are achieved,and they have even greater error-correction capability than the original in regard to phase flip error and quantum bit flip error. Quantum convolutional codes from constacyclic codes are different from the ones mentioned in the lierature. Demonstration indicates that, the constructed asymmetric quantum codes and quantum convolutional codes are optimal in performance.

constacyclic cod;asymmetric code;quantum convolutional code;optimal code

National Science Foundation of Anhui Province(No.1408085MA05)

TN911.2

A

1002-0802(2016)-08-0968-07

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.08.003

2016-04-21;

2016-07-22

date:2016-04-21;Revised date:2016-07-22

安徽省自然科學(xué)基金（No.1408085MA05）