六次PH曲線G2Hermite插值

王　慧， 朱春鋼， 李彩云

(1. 大連理工大學數學科學學院，遼寧 大連 116024；2. 大連理工大學盤錦校區基礎教學部，遼寧 盤錦 124221)

六次PH曲線G2Hermite插值

王慧1， 朱春鋼1， 李彩云2

(1. 大連理工大學數學科學學院，遼寧 大連 116024；2. 大連理工大學盤錦校區基礎教學部，遼寧 盤錦 124221)

以其在弧長計算與等距線表示上的優勢，PH曲線成為近年來計算機輔助幾何設計研究的焦點問題之一。為此討論了六次PH曲線的G2Hermite插值問題。在指定自由參數下，對兩類六次PH曲線分別進行復分析曲線求解，得到滿足G2插值條件的六次PH曲線和控制頂點。通過弧長、能量積分、絕對旋轉數的衡量，選取較好的插值曲線。進一步，討論了用六次PH曲線G2Herm ite插值逼近90°和67°圓弧的問題。在同一個自由參數下，選擇插值最好的曲線，可實現六次C1Hermite插值逼近圓弧的效果，且逼近90°圓弧時，優于五次G2Hermite插值逼近的PH曲線，而逼近67°圓弧時，與最好的五次PH曲線達到的效果幾乎相同。

PH曲線；G2Herm ite插值；圓弧

1990年，Farouki和Sakkalis[1-2]提出一種速端曲線模長為多項式參數曲線的 (Pythagorean hodographs, PH)曲線。這種曲線克服了一般參數曲線的一些缺點，具有良好的性質，如弧長是原參數的多項式函數、等距線可以用精確的有理形式表示等，這些優點為數控加工和路徑規劃提供了方便。由于在幾何與工業設計上的廣泛應用，導致PH曲線的理論分析和應用性研究成為近些年來計算機輔助幾何設計(computer aided geometric design, CAGD)研究的焦點之一，其中PH曲線插值是一個重要研究內容。

PH曲線插值一般分為Hermite插值和樣條插值2種形式。在Hermite插值的研究中，可分為參數連續(Ci, i階)和幾何連續(Gj, j階)Herm ite插值。Meek 和W alton[3]研究了一般的三次參數曲線的G1Hermite插值。1995年，Farouki和Neff[4]利用復分析的方法求解五次PH曲線的C1Hermite插值，在產生的4條滿足Hermite條件的曲線中，利用計算旋轉數來選擇最優解。文獻[5]采用速度參數化的方法用凸五次PH曲線求解C1Hermite插值問題。C1Hermite插值需用五次PH曲線解決文獻[4]，C2Hermite插值需用九次PH曲線有效解決文獻[6]，一般地，CkHermite插值可以用4k+1次PH曲線解決文獻[7]。五次及五次以上PH曲線可以解決G2Herm ite問題，所以Jüttler[8]采用了七次PH曲線解決介C1和C2的G2Hermite插值問題。2002年，Walton和Meek[9]對G2Hermite插值問題分別構造了“C”和“S”形狀的五次過渡PH曲線。陳國棟和王國瑾[10]用復形式表示，研究了五次PH曲線的G2Hermite插值求解。楊平和汪國昭[11-12]用同倫算法研究了C3連續的七次PH樣條曲線和閉曲線插值問題。文獻[13]用一種三次PH曲線逼近代數曲線，且逼近曲線具有G1連續性。文獻[14-15]介紹了三次、五次、七次PH曲線控制多邊形幾何性質，文獻[16-17]介紹了四次PH曲線控制多邊形的特點。2015年，Farouki等[18]給出了兩種判別三次和五次PH曲線的方法。由于PH曲線具有良好的幾何性質，近年來，采用PH曲線對圓弧進行逼近也成為研究的熱點問題。張偉紅等[19]對圓弧進行了C1五次PH曲線等弧長逼近。2014年，Farouki[20]在G2Hermite插值條件下，利用具有單峰曲率特點的五次和能微調曲率的七次PH曲線構造了圓直角。

從以上研究發現，絕大多數都是基于奇次PH曲線的研究，主要原因是偶次PH曲線是非正則曲線會存在奇異點。方林聰和汪國昭[21]首次研究了六次PH曲線的C1Hermite插值問題，并將曲線分成兩類討論，通過自由參數的控制，構造了六次PH曲線。在實際應用中，有對已知型值點采用兩端點的位矢、單位切矢和有向曲率構造Hermite插值的需要，在現有的G2Hermite插值和六次PH曲線的分析理論上，本文研究了六次PH曲線的G2Hermite插值問題。并從復分析的角度，對自由參數進行選取，避免了六次PH曲線出現奇異點的情況，從而構造了兩類情況下六條不同的六次PH曲線。利用弧長、能量積分、絕對旋轉數等度量標準，選擇較好的插值曲線。對比滿足G2Hermite插值條件的六次PH曲線插值逼近圓弧的6個結果，得到最好的兩條六次PH曲線。同時對比五次PH曲線G2Hermite插值逼近圓弧和六次PH曲線C1Hermite插值逼近圓弧的研究發現，90°圓弧的六次PH曲線里，式(18)的G2Hermite插值逼近效果最好，對于67°圓弧，最好的六次、五次G2Hermite插值以及六次C1Hermite插值PH曲線的逼近效果幾乎相同。

1　六次PH曲線

1990年，Farouki和Sakkalis[1]定義了PH曲線并給出其相關性質。Farouki[2]在2008年又從代數與幾何的角度，總結了之前對平面PH曲線和空間PH曲線的研究工作。有關PH曲線的定義和相關定理介紹如下(其中黑斜體字母表示復變量)：

定義1[1]. 平面多項式參數曲線r(t)=(x(t), y(t))稱為 PH曲線，如果存在多項式σ(t)，使得x′2(t)+y′2(t)=σ2(t )。

一條平面參數曲線 r (t)=(x(t), y(t))的復表示為r(t)=x(t)+iy(t)。

定理 1[1]. 平面參數曲線r(t)=x( t)+iy( t )是PH曲線的充要條件，其為：

其中，w( t), u( t), v( t)為非零實系數多項式，u(t)與v(t)不同時為常數。

由定理1可以得到如下等價定理：

定理 2[2]. 平面參數曲線 r (t)=(x( t), y(t))是PH曲線的充要條件，為r(t)的速端曲線：

其中，Q(t)=u( t)+iv( t)。

設平面n次Bézier曲線r(t)的控制頂點記為Pj, j=0,…,n，控制頂點的一階向前差分為ΔPj=Pj+1-Pj，則n次Bézier曲線的速端曲線r′(t)可以表示為：

定理3[2]. 平面n次Bézier曲線r(t)是PH曲線的充要條件，為r(t)的速端曲線：

其中，w(t)為實系數多項式，Q(t)為復系數多項式。

其中，實系數多項式w(t)和復系數多項式Q(t)也表示為Bézier形式。

引理4[2]. n次PH曲線r(t)=x(t)+iy(t)滿足的次數關系是n= n1+2n2+1，其中n1=deg(w), n2=max[deg(u), deg(v)]。

當n=6時, n1,n2取值有2種情況：n1=3,n2=1 或n1=1,n2=2，對應的2類曲線分別為：

其中，wi( i=0,1,2)為待定實系數，uj( j=0,1)為待定復系數。

其中，w0為待定實系數，ui( i=0,1,2)為待定復系數。

易知，r′(t)的奇異點與實多項式w(t)的根對應。由代數基本定理可知，第一類六次PH曲線上可能存在3個奇異點，第二類六次PH曲線存在一個奇異點，使其為非正則曲線。

2　六次PH曲線的G2 Hermite插值

定義 2[6]. 六次 PH 曲線, t∈[0,1]，若滿足：

2.1第一類曲線

將向量進行復形式表示，記：

若給定式(*)和w0，將式(6)、(7)聯立，可以求得λ,μ值。將其代入式(4)、(5)求出 u0,u1，再由式(3)，分離實部和虛部，解關于w1, w2的二元一次方程組，從而最終求得六次PH曲線及其控制頂點。

雖然式(4)、(5)的符號選擇有4種組合情況，但是式(6)、(7)所得表達結果唯一，其求解出來的是兩組互為相反數的(λ,μ)，分別代回式(3)，得到的兩組w1, w2相同，因此求得第一種六次PH曲線只有一條。

設ξi,( i=1,2,3)為實多項式w(t)的3個代數根，則。w0＞0說明(0,1)區間存在兩個奇異點或者不存在奇異點，而w0＜0說明(0,1)區間存在1個或3個奇異點[20]。因此，自由參數w0可以體現出六次PH曲線奇異點情況。

例1. 取與文獻[10]相同的插值條件：P0=-5, P6=6,T0=0.5154+0.8575i,T1=0.4472-0.8944i, k0=-0.11, k1=-0.14。

令w0=1，代入上述分析過程，得到關于w1,w2的方程組：

進而可計算得到滿足G2Hermite插值條件(*)的六次PH曲線為如圖1(a)所示：

其控制頂點為：

令w0=0.5，關于1,2ww的方程組為：

計算可得滿足G2Hermite插值條件(*)的六次PH曲線，如圖1(b)所示：

其控制頂點為：

令w0=0.1, 關于1,2w w的方程組為：

計算可得滿足G2Hermite插值條件(*)的六次PH曲線，如圖1(c)所示：

其控制頂點為：

圖1　第一類六次PH曲線w0取不同值時的圖像

對于以上3種不同w0的取值情況，采用如下選取標準對曲線度量[2]：

其中，k為曲率。

以上3類積分，采用105為細分單位求其數值解。并對以下選取標準的求解施以相同方法。

從表1可知，w0=0.5時其弧長小于w0=1且大于w0=0.1，但其能量積分、絕對旋轉數都是三者中最小的。

表1　第一類六次PH曲線w0取不同值時的選取標準

2.2第二類曲線

(2)創建宗地的關聯屬性方法。如在調查庫中查看宗地屬性時，發現沒有相應的屬性信息，系統可自動獲取宗地上的建筑面積、容積率等關聯信息，即創建關聯屬性的方式來獲取相應的屬性。

若給定式(*)和w0，將式(15)、(16)聯立，可以用(λ,μ)表示出u1,x，u1,y，再將式(12)、(13)代入式(11)，分離實部和虛部得到關于(λ,μ)的二元六次方程組，將求出的(λ, μ)代回式(12)～(14)求得u0, u1, u2，進而得到原六次PH曲線和控制頂點。

式(12)、(13)符號有(+,+),(+,-),(-,+),(-,-) 4種組合情況，符號的差異會得到不同的(λ, μ)值。通過以下幾組實例數據發現，給定 w0值，每組符號均得到10組互為相反數的不同(λ, μ)值，且4組符號得到對應的(λ, μ)絕對值相同。類似上一種，互為相反數的(λ, μ)求得的PH曲線也一樣，所以每種符號求得5條不同的曲線。而式(12)符號的改變，會導致μ值符號改變，同樣式(13)符號的改變，也決定λ值符號的改變，但最終得到的控制頂點坐標和六次 PH曲線是一致的，說明絕對值相同的(λ, μ)求得的PH曲線也一樣，所以最終只有5條不同的第二種六次PH曲線，如圖2～3所示。

例2. 取與例1相同的G2Herm ite插值條件。w0= 1，w0=0.5，w0=0.1時，相應的關于(λ, μ)的二元六次方程組如下，六次PH曲線及其控制頂點如圖2～4所示。

如表2并結合圖形，比較以上標準可發現，13條六次PH曲線的弧長相近；有尖點出現的曲線弧長相對較長，能量積分和絕對旋轉數偏大；能量積分越小，絕對旋轉數也越小。綜合來看，圖2(a～c)、圖3(a～c)、圖4(a)均較好地滿足了G2Hermite插值條件的PH曲線。

圖2　第二類六次PH曲線w0=1時的圖像

圖3　第二類六次PH曲線w0=0.5時的圖像

圖4　第二類六次PH曲線w0=0.1時的圖像

表 2　第二類六次PH曲線w0取不同值時的選取標準

本文不研究 w0對曲線的決定作用，所以針對例1和例2的G2Hermite插值條件，只給出了w0分別取 1，0.5，0.1時對應的曲線和衡量標準。第一類曲線里，w0=0.5是較好的曲線，其弧長介于兩者之間，能量積分和絕對旋轉數均最小。第二類曲線里，w0=1和 w0=0.5的滿足條件且較好的曲線數量要多于w0=0.1，且w0=1和w0=0.5的衡量標準相近。下面采用的是w0=0.5的六次PH曲線解決插值逼近圓弧的問題。一段圓弧，其滿足的G2Hermite插值條件復表示為：

3　圓弧的六次PH曲線逼近

上面討論了六次PH曲線的G2Hermite插值，下面利用以上分析解決插值逼近特殊的 90°和 67°圓弧的問題。其他度數的圓弧，可以類似得到，也可以利用對稱等變換或樣條等知識解決更一般的圓弧插值逼近問題。這里w0=0.5。

3.190°圓弧的六次PH曲線逼近

弧長誤差分別為0.000 424 5和0.000 082 68。

采用六次PH曲線逼近x2+(y-1)2=1的四分之

圖5　90°圓弧的G2六次PH插值曲線

表 3　90°圓弧的G2六次PH曲線選取標準

為了檢驗六次PH曲線G2Hermite插值逼近圓弧的效果，將其與圓弧的五次PH曲線G2Herm ite插值逼近和圓弧的六次PH曲線C1Hermite插值逼近進行對比。

(1) 90°圓弧的五次PH曲線G2Hermite插值逼近。依據文獻[10]的方法，在G2Hermite插值條件(**)下，得到滿足條件的五次PH曲線本質上(將曲線及其控制頂點關于直線 y=-x+1對稱的兩條曲線算作一條)有3條，如圖6所示。選取標準見表4，其中弧長誤差最小的是0.000 114 ，對應的是五次PH曲線 G2Herm ite插值逼近效果最好的曲線如圖6(c)所示，但是和圖5(d)的六次PH曲線比較見表3，曲線式(18)的插值逼近效果更好。

圖6　90°圓弧的G2五次PH插值曲線

表 4　90°圓弧的G2五次PH插值曲線選取標準

(2) 90°圓弧的六次PH曲線C1Hermite插值逼近。依據文獻[20]中的討論，取 w0=0.5，若進行六次PH曲線C1Hermite插值逼近圓弧，需要構造C1Hermite插值條件：

為了和圓弧的六次PH曲線G2Hermite插值逼近進行比較，式(***)應分別選取第一類曲線式(17)的4個控制頂點P0=0,P1=0.1982, P5=1+0.7198i,P6=1+i和第二類曲線式(18)的4個控制頂點 P0=0,P1=0.2406,P5=1+0.7198i, P6=1+i。

第一類得到圓弧的 C1插值逼近六次 PH曲線(如圖7(a)所示)的選取標準見表5與表3中第一類的相同，說明該六次 PH曲線與曲線(17)的插值逼近效果相同。第二類關于u1的一元二次復方程有2組解：u1= 1.3840+0.6133i ，u1=-5.1777- 2.1413i ，則求得圓弧的C1插值逼近六次PH曲線有兩條，見圖7(b)、(c)。顯然圖7(b)是較好的圓弧插值逼近曲線，且相應的選取標準(見表5)與曲線式(18)幾乎相同，說明二者是插值逼近效果非常相近的曲線。

圖7　90°圓弧的C1六次PH插值曲線

表 5　90°圓弧的C1六次PH插值曲線選取標準

以上結果分析，關于90°圓弧的Hermite插值逼近曲線，五次G2Hermite插值PH曲線的最好逼近效果，不如六次G2Hermite插值PH曲線的最好逼近效果。而2條六次G2Hermite插值PH曲線(17)、(18)的逼近效果與最好的2條六次C1Hermite插值PH曲線的逼近效果幾乎相同。

3.267°圓弧的六次PH曲線逼近

采用六次PH曲線逼近x2+y2=1的67°圓弧，其滿足的G2Hermite插值條件復表示為：

從得到的六次PH曲線(如圖8所示)和選取標準(見表6)可知，圖8(a)、(c)是近似效果最好的2條曲線，弧長誤差分別為0.000 005 073和0.000 060 83。類似上述90°圓弧的分析，可以做這2條曲線確定的C1Hermite插值條件下的六次PH逼近曲線和式(****)條件下的五次PH逼近曲線，見圖9與表7、圖10與表8。

圖8　67°圓弧的G2六次PH插值曲線

表6　67°圓弧的G2六次PH插值曲線選取標準

圖9　67°圓弧的G2五次PH插值曲線

表 7　67°圓弧的G2五次PH插值曲線選取標準

圖10　67°圓弧的C1六次PH插值曲線

表8　67°圓弧的C1六次PH插值曲線選取標準

從以上圖形和表格數據發現，67°圓弧的逼近曲線里，最好的2條六次G2Hermite插值PH曲線的逼近效果與六次C1Hermite插值PH曲線的逼近效果幾乎相同；但和 90°圓弧的逼近效果略有不同的是，最好的G2五次PH曲線和G2六次PH曲線的弧長誤差有相同的數量級10-6，且前者的逼近效果略好于后者。

4　結　論

本文對六次PH曲線的G2Hermite插值進行了研究，對其依據次數關系分成兩類，通過自由參數的確定，分別討論了兩類曲線在G2Herm ite插值條件下的曲線求解。對比曲線弧長、能量積分、絕對旋轉數，選取了較好的插值曲線。其中自由參數恰恰是六次PH速端曲線r′(t)= w( t)Q2(t)中w(t)的一個系數 w0，其可以由r(t)的奇異點表示，因此控制了w0，便確定了六次PH曲線上奇異點的位置，從而簡化了非正則的六次PH曲線的研究。對于第一類曲線，奇異點在曲線中的位置不易控制，但是第二類的更易控制，且表達結果更加豐富。依據以上分析，本文利用六次 PH曲線在 G2Hermite插值條件下，分別對90°和67°兩種圓弧進行了逼近。對于每種圓弧逼近問題，取定一個自由參數，兩類六次PH曲線都達到了很好的逼近效果，對比圖像、弧長、弧長誤差、能量積分、絕對旋轉數，找到逼近效果最好的曲線。同時對五次PH曲線G2和六次PH曲線C1插值逼近這兩種圓弧的研究發現，90°圓弧的逼近曲線里，式(18)的逼近效果最好，弧長誤差為0.000 082 68。在式(17)、(18)確定的C1Hermite插值條件下，得到的逼近效果最好的兩條C1六次PH曲線與式(17)、(18)近乎相同，說明C1六次PH曲線插值逼近90°圓弧的問題可以通過G2Hermite六次PH曲線求解，這個結論也體現在插值逼近67°圓弧上。在 67°圓弧的逼近曲線里，最好的五次和六次G2Hermite插值PH曲線逼近效果相近，弧長誤差都達到10-6數量級。對圓弧的六次PH曲線逼近的研究突破了以往都是對奇次 PH曲線插值逼近圓弧的傳統，在CAD和工業設計上，若提供了插值端點、切向量和曲率數據，可以利用六次PH曲線進行插值逼近，同時自由參數增加了構造的靈活性。

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G2Herm ite Interpolation by Pythagorean Hodograph of Degree Six

Wang Hui1,Zhu Chungang1,Li Caiyun2

(1. School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China; 2. School of Science, Dalian University of Technology, Panjin Liaoning 124221, China)

By the advantages of computing arcs and representing offsets, study of phythagorean hodograph curves is one of the hot topics in recent years. In this paper, G2Hermite interpolation by sextic PH curves is studied. Sextic PH curves can be classified into two types and the interpolation problem can be resolved to get the control points with some free parameter in complex representation. With the analysis of arc-length, bending energy and absolute rotation number, the better interpolation curves are selected. Moreover, the sextic PH G2Hermite interpolation is applied to approximate the 90° and 67° arcs. The best approximating curves can solve C1Hermite interpolation by the PH sextics. And the best curves’ performance is better than the quintic G2Hermite interpolation curves when approximating the 90° arc, and is almost same as the latter’s best curve when approximating the 67° arc.

PH curve; G2Hermite interpolation; arc

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2016020155

A

2095-302X(2016)02-0155-11

2015-09-24；定稿日期：2015-10-09

國家自然科學基金項目(11271060，11290143，11401077)；民用飛機專項項目(M J-F-2012-04)；中央基本科研業務費資助項目(DUT16LK38)；遼寧省高等學校優秀人才支持計劃項目(LJQ2014010)

王慧(1990–)，女，吉林吉林人，博士研究生。主要研究方向為計算幾何。E-mail：wanghui21301062@mail.dlut.edu.cn

朱春鋼(1977–)，男，北京人，教授，博士，博士生導師。主要研究方向為計算幾何。E-mail：cgzhu@dlut.edu.cn