指數SVD和Kriging模型的聲波傳感器三維溫度場重建研究

遼寧工業大學機械工程與自動化學院，遼寧錦州 121001

一、引言

目前在儲糧測溫、爐膛測溫通常采用聲學法測溫方法，但是由于在大部分溫度場中布置傳感器存在邊界位置以及數目有限的問題，導致的弊端是測溫點密度低，邊界溫度值無法得出。如果熱點不是恰好出現在內部一定范圍中，霉變、蟲害通常就會蔓延到較大區域才能被發現，而控制處理措施不及時將導致儲糧損失增大。

王明吉等[1]以最小二乘方法構建了三維溫度場聲學測量重建算法，對球對稱型模型溫度場進行了仿真重建；白燕[2]基于最小二乘法與傅里葉正則化方法進行了重建仿真，研究結果表明，當傳感器數量增多時，其重建精度較高；王交峰等人[3]用最小二乘方法對航空發動機燃燒室環形出口溫度場進行了重建。這些研究所提算法都要求被測區域劃分的單元數小于系統所獲得的投影數據數，因此原始重建出的溫度點非常少，所帶來的信息缺失無法通過插值運算彌補。

顏華等[4]在測量聲波飛行時間時，將采樣信號的互相關函數在峰值附近做三次樣條插值，該方法對提高聲學法溫度場檢測精度具有實際意義。后來，顏華又提出了一種徑向基函數逼近和正則化的溫度場重建算法[5,6]，結果表明此算法熱點定位精度高，重建算法誤差較小；

鄭永駿[7]運用對偶Kriging模型插值分析氣象資料，擬合4類半變異函數模型對降水分析精度較高；曾懷恩等[8]提出了Kriging方法運用在空間數據插值中，通過實例與反距離加權法相比較，證實了Kriging插值的優越性；王婧雅等[9]運用改進的克里金插值法對大尺度農田土壤墑情分布進行了插值，結果表明，模擬值與實測值具有較好的吻合度，兩者的相對誤差和相關系數均接近最優值，驗證了修正克里金插值法具有可行性和可靠性。綜上，Kriging模型雖應用廣泛，但還沒有應用到溫度場重建的內外推中。

本文基于現有重建算法弊端及不足，提出了一種基于指數奇異值分解（(Singular Value Decomposition，SVD）的三維溫度場重建算法，并將Kriging模型引入到溫度場重建的內外推中，以正方體溫度場空間為例，采用典型單峰、雙峰、四峰模型溫度場進行了重建及插值研究。結果表明，指數SVD算法和Kriging模型結合的重建溫度場達到較高的精度指標。

二、溫度場重建

聲學法測溫的主要過程，首先是在被測區域周圍盡可能均勻的設置聲波收發器，任意一個聲波收發器發射信號，所有聲波收發器接收信號，這樣就形成穿過該被測區域的多條均勻分布的聲波飛行路徑，測量這些穿過被測區域的聲波飛行時間；然后再利用合適的溫度場重建算法和聲速與溫度的關系，重建出被測區域的溫度場分布[10]。

氣體介質中的聲速、氣體介質的絕對溫度和氣體介質的聲音常數之間的關系為[1,6]：

其中，c—體介質中的聲速，單位：m/s；

T—氣體介質的絕對溫度，單位：K；B—聲音常數，由氣體組成成分決定的。

在氣體組成成分一定的條件下，B是一個常量，如被測氣體為煙道混合氣體時，B取19.08，被測氣體為空氣時，B取20.05[11]。

三、指數SVD和Kriging模型算法

1、指數SVD算法

假設被測空間溫度場為T(x,y,z)，聲速的倒數為f(x,y,z)，由公式（1）可得：

任一聲波路徑pk上，聲波的飛行時間gk可以表示為：

其中，k—穿過三維溫度場的有效聲波飛行時間總數。

將被測空間劃分成M個立方體網格，設第m個網格中心點坐標表示為(xm,ym,zm)，m∈[1,M]。

將f(x,y,z)離散為M個基函數的線性組合：

其中，εm—待定系數；

φm(x,y,z)—徑向基函數[12]，有：

其中，a—徑向基函數的形狀參數，被測空間的大小和聲波收發器的位置都影響形狀參數的選取。

為了求解式公式（4）中的待定系數εm，合并式（3）、（4）和（5）得到：

定義：A=(akm)k=1,…,K;m=a,…M；

則公式（6）可寫成：

對重建矩陣A作SVD分解：

其中，σ1,σ2,…,σγ—重建矩陣A的γ個非零奇異值，σ1≥σ2≥ … ≥σγ≥ 0；

γ—重建矩陣A的秩；

U—列向量，正交矩陣AAT的特征向量；V—列向量，正交矩陣ATA的特征向量。

由此，可以推出A的偽逆為：

通過奇異值分解，式（7）可以寫成

為了增加系統的抗噪聲能力，用一個濾波函數對ε進行濾波：

其中，g、a—濾波參數。

由此，通過合并（3）式（11）式，可以求的被測區域的聲波傳播速度，進而代入式（2）就可以求出M個空間網格的中心點溫度值。

2、Kriging模型插值算法

Kriging模型[12]是一種基于統計理論的插值技術。通常Kriging模型變量x=[x1,...,xw]與真實響應y間的關系可表示為：

式中，f(x) —回歸函數（一般采用多項式形式）；

λ—回歸系數；

μ(x) —均值為0、方差為σ2的隨機函數，μ(x)的協方差矩陣為：

式中，ns—采樣點數；

R—沿對角線對稱的相關矩陣；

R(x(i),x(j)) —采樣點x(i)與x(j)的相關函數，相關函數常用平穩高斯函數來表述：

其中，θ=(θ1,θ2,…,θw)T—相關函數參數；

w—變量的維數。

位置x處的響應值y(x)的預測估計值為：

其中，λ的估計值；

y的長度為ns，包含樣本數據的響應值；

rT(x)的長度為ns，是位置x和樣本數據(x(1),)間的相關向量：

設λ的最優估計值為λ*，全局模型的方差估計值由λ*和y給出：

相關函數參數θ由極大似然估計給出，即在θd＞0時使下式最大：

四、實驗結果

本文利用聲學法進行溫度場的重建，將重建溫度點進行內外推的插值，使得整個被測區域的三維溫度場得到更加細化和邊緣部分無遺漏的重建推算。

被測的三維空間為10m × 10m × 10m的正方體，如圖1所示，在每個頂點及每條棱邊三等分的間隔位置都放置一個聲波發生器和一個聲波接收器，這樣在被測正方體的周圍共放置32組聲波收發器。飛行有效路徑按照剔除棱邊的選取方式，可以得到424條有效聲波路徑（如圖2所示），計算有效聲波路徑上的聲波飛行時間。將被測空間劃分為1000個均勻的網格，計算重建矩陣。利用指數SVD法，重建出1000個網格的中心點溫度值。

式中，n—被測區域所劃分的網格（像素）的總數；

T(j)和—模型溫度場和重建溫度場第j個網格中心點的溫度；

Tave和—模型溫度場和重建溫度場的平均溫度。

表1為4種典型溫度場重建后的最大相對誤差、平均相對誤差和均方根誤差。雙峰模型的重建溫度場與模型溫度場的三維展示圖如圖3所示。

根據表1與圖3可知，通過指數SVD算法對4種溫度場重建出的1000個網格的中心點溫度值與模型中1000個相應位置真實值的三種誤差結果比較小。但是被測溫度場10m × 10m × 10m的范圍內，所有邊緣部分的剖分網格外部一半沒有重建出來，內部的溫度值也不夠細化分布。

本文運用Kriging模型進行擬合插值，對以上指數SVD算法重建后待解決的填充與細致化問題進行研究。對重建出來的范圍內的溫度值進行內插與外推，剖分網格由原來的10 × 10 × 10個（即1000個）變為41 × 41 × 41個（即68921個）。

表2為4種典型溫度場Kriging模型插值后的最大相對誤差、平均相對誤差和均方根誤差。圖4所示為經過Kriging模型插值后的雙峰模型的重建溫度場與模型溫度場的三維展示圖。

由表2和圖4可知，指數SVD算法和Kriging擬合插值后對4種溫度場重建出的41 × 41 × 41個（即68921個）網格的中心點溫度值與模型中41 × 41 ×41個（即68921個）相應位置真實值的三種誤差結果比較小。被測溫度場10m × 10m × 10m的范圍內的所有溫度值能夠較精確的重建出來，并得到了細致化展示。

五、結論

本文提出了指數SVD法與Kriging模型相結合的三維溫度場重建方法。采用指數SVD法對典型單峰、雙峰、四峰模型溫度場進行了重建，kriging模型對重建溫度場進行了內插、外推。研究表明：采用指數SVD和Kriging法對典型單峰、雙峰、四峰模型溫度場重建，重建最大溫度相對誤差小于2.2%、平均溫度相對誤差小于0.2%、溫度均方根誤差小于2%，適用模型廣泛，且重建精度高。

表1 指數SVD重建誤差

表2 Kriging模型插值誤差