具約束向量擬均衡問題的Global有效解的最優條件

孟旭東, 陳云龍

(南昌航空大學 科技學院, 南昌 330034)

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具約束向量擬均衡問題的Global有效解的最優條件

孟旭東, 陳云龍

(南昌航空大學 科技學院, 南昌 330034)

向量均衡問題是運籌學的重要組成部分,其研究的主要內容包含各種解的存在性、穩定性、連續性、連通性、適定性、最優條件。向量均衡問題的解主要有有效解、弱有效解、強有效解、Global有效解、Henig有效解、超有效解。研究向量均衡問題各種有效解的最優條件是向量均衡問題的一個重要課題。首先,在實Hausdorff拓撲線性空間中引入具約束條件的向量擬均衡問題及其Global有效解的概念;其次,在實拓撲線性空間中分析了錐-凸、幾乎錐-類凸與幾乎錐-次類凸3種廣義凸性的內在關系;最后,在3種廣義凸性條件下借助于凸集分離定理給出了具約束條件的向量擬均衡問題Global有效解的充要條件。

向量擬均衡問題; 全局有效解; 向量值映射; 最優條件

眾所周知,向量均衡問題理論是運籌學的重要組成部分,向量均衡問題解的最優性條件是向量均衡問題研究中的一個重要課題。因此,不少學者研究了各種向量均衡問題解的最優性條件,見文獻[1-5]。Gong[1]在凸性的條件下給出了向量均衡問題弱有效解、Henig有效解、全局有效解以及超有效解的最優性條件,得到了具約束條件的向量均衡問題與不帶約束條件的標量化最優性條件等價的結果,并且給出了向量變分不等式以及向量優化問題的各種解的充分必要條件。在凸性的條件下,龔循華等在文獻[2]中給出了約束錐內部為空時弱有效解的充分必要條件;在文獻[3]中減弱了文獻[1]中的凸性假設,也得到了相應的弱有效解的充分必要條件;龔循華等在文獻[4]中利用集值映射的切上導數的概念給出了集值向量均衡問題的最優性條件;龔循華等在文獻[5]中利用Fréchet可微的概念研究了具約束條件的向量均衡問題的弱有效解、Henig有效解、超有效解以及全局有效解的最優性條件,并在不具任何凸性條件下給出了向量均衡問題的K-T必要性條件,在加上凸性條件下給出了條件的向量均衡問題Heing有效解的充要條件。

1 預備知識

設X為實Hausdorff拓撲線性空間,Y,Z為實局部凸Hausdorff拓撲線性空間。設K為X的非空子集,C,D分別為Y,Z中的閉凸點錐,Y*,Z*分別表示Y,Z的拓撲對偶空間。

記C的共軛錐為C*,即

記C*的擬內部為C#,即

設M是Y的一個非空子集,M的錐包定義如下:

cone(M)={td:t≥0,d∈M}

M的閉包與拓撲內部分別記為cl(M)與intM。凸錐C的一個非空凸子集B稱為C的一個基,假若C=cone(B)且0?cl(B)。顯然,C#≠?當且僅當C有一個基。

設g:K→Z,F:K×K→Y為給定向量值映射,其中F(x,x)=0,?x∈K。本文考慮以下具約束條件的向量擬均衡問題(簡記為VQEPC):找出x∈G,使得

其中H?Y為點凸錐,滿足C{0}?intH,且G={x∈K:g(x)∈-D}。

稱滿足問題VQEPC的解x為問題VQEPC的Global有效解。

對任何的x∈G,記

引理[5]設C為實拓撲線性空間Y的凸子集:

1) 則C的閉包clC為凸的。

2) 若intC≠?,則cl(intC)=clC。

定義[7]設K為X的非空凸子集。

1) 稱映射h:K→Y在K上為C-凸，如果對任何的x1,x2∈K,μ∈[0,1]，都有

2) 稱映射h:K→Y在K上為幾乎C-類凸，如果cl(h(K)+C)為凸集。

3) 稱映射h:K→Y在K上為幾乎C-次類凸，如果cl(cone(h(K)+C))為凸集。

2 最優性條件

定理 假設以下條件成立:

1)x∈G且B為錐C的基;

2) (F(x,·),g(·))在K上為幾乎C×D-次類凸;

則x為問題VQEPC的Global有效解當且僅當存在y*∈C#,z*∈D*,使得

證明 設x為問題VQEPC的Global有效解。由定義知,存在點凸錐H?Y,滿足C{0}?intH,使得

其中G={x∈K:g(x)∈-D},即

由H?Y為點凸錐且C{0}?intH,知

(1)

設P(y)=(F(x,y),g(y)),?y∈K,則

(2)

事實上,假若不然,必存在x0∈K,使得

則

且

(3)

由D為點凸錐知,D+intD?D。再由式(3)知,g(x0)∈-intD,從而x0∈G。所以

這與式(1)矛盾。

由intH與intD為開凸錐以及式(2)知

cl(cone(P(K)+C×D))∩(-intH)×(-intD)=?

由P在K上為幾乎C×D-次類凸,知cl(cone(P(K)+C×D))為凸集。據凸集分離定理知,存在非零的(y*,z*)∈Y*×Z*,使得

(4)

再由cl(cone(P(K)+C×D))為凸集,知

由(0,0)∈C×D以及P(K)?cl(cone(P(K)+C×D)),知

即

(5)

另一方面,由(0,0)∈cl(cone(P(K)+C×D))以及式(4),有

(6)

由intH為凸錐,知對任意的c∈intH以及μ>0,有μc∈intH。據式(6)知

(7)

在式(7)中,令μ→∞,得

(8)

由H為凸錐與intH≠?以及引理知

(9)

由y*∈Y*以及式(8)知,y*∈H*。類似可證z*∈D*。

易證明y*≠0。事實上,假若y*=0,則有z*∈D*{0}。再由式(5)知

(10)

(11)

又由x∈G與z*∈D*,知

(12)

由式(11)、式(12),得

(13)

由F(x,x)=0與式(5)、式(13),知

反之,假設存在y*∈C#,z*∈D*,使得

且

由F(x,x)=0與z*(g(x))=0,知

(14)

以下證明x為問題VQEPC的Global有效解。即存在點凸錐H?Y,滿足C{0}?intH,使得

(15)

其中G={x∈K:g(x)∈-D}。

假若不然,則對任何的點凸錐H?Y,滿足C{0}?intH,都有

(16)

于是存在yG∈G,使得

(17)

再由C{0}?intH以及y*∈C#,知

(18)

又由yG∈G與z*∈D*,知

(19)

由式(18)、式(19),得

(20)

這與式(14)矛盾,因此,x為問題VQEPC的Global有效解。定理證畢。

推論1 假設以下條件成立:

1)x∈G且B為錐C的基;

2) (F(x,·),g(·))在K上為幾乎C×D-類凸;

則x為問題VQEPC的Global有效解當且僅當存在y*∈C#,z*∈D*,使得

推論2 假設以下條件成立:

1)x∈G且B為錐C的基;

2) (F(x,·),g(·))在K上為C×D-凸;

則x為問題VQEPC的Global有效解當且僅當存在y*∈C#,z*∈D*,使得

[1]GONGXunhua,MABochang.Optimalityconditionsforvectorequilibriumproblems[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2008,342(2):1455-1466.

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[4]龔循華,馬博廠. 向量均衡問題的最優性條件[J]. 南昌大學學報(理科版), 2009,33(6):511-517.

[5]龔循華,魏振飛. 向量均衡問題的K-T條件[J]. 南昌大學學報(理科版), 2010,34(5):413-419.

[6]LONG Xianjun, HUANG Yingquan, PENG Zaiyun.Optimality conditions for the Henig efficient solution of vector equilibrium problems with constrains[J]. Optimization Letters, 2011(5):717-728.

[7]DINH T L. Theory of vector optimization(Lecture notes in economics and mathematics systems)[M]. New York: Springer, 1989,319.

Optimality conditions for the global efficient solution of vector quasi-equilibrium problems with constrians

MENGXudong,CHENYunlong

(Science College, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330034, China)

Vector vector equilibrium problem is an important part of operations research,including the existence of various solutions, the stability of solutions, the continuity of solutions, the connectivity of solutions, the optimal conditions of solutions. The solution of vector equilibrium problem mainly contains effectivt solution, weak efficient solution, strong efficient solution, Global efficient solution, Henig efficient solution and super efficient solution. Studying optimal conditions of various efficient solutions of vector equilibrium problem is an important topic. Firstly,vector quasi-equilibrium problems with constrians and its Global efficient solution are introduced in real Hausdorff topological vector spaces．Secondly, the inner relations among cone convex, almost cone convex and almost conical sub-convex of generalized convexity are analyzed in real topological linear space. Finally, by using the separation of convex sets, under the generalized convexity conditions, the necessary and sufficient condtions for the Global efficient solution of vector quasiequilibrium problems with constrians are given.

vector quasi-equilibrium problem; Global efficient solution; vector-valued mapping optimality condition

2015-10-15。

國家自然科學基金資助項目(11061023,11201216)。

孟旭東(1982-),男,江西南昌人,南昌航空大學講師,碩士。

1673-5862(2016)02-0174-04

O317

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.02.010