基于復Givens矩陣與蝙蝠優化的卷積盲分離算法

賈志成，韓大偉，陳雷，郭艷菊，許浩達

(1. 河北工業大學電子信息工程學院，天津 300401；2. 天津大學精密儀器與光電子工程學院，天津 300072；3. 天津商業大學信息工程學院，天津 300134)

基于復Givens矩陣與蝙蝠優化的卷積盲分離算法

賈志成1，韓大偉1，陳雷2,3，郭艷菊1，許浩達1

(1. 河北工業大學電子信息工程學院，天津 300401；2. 天津大學精密儀器與光電子工程學院，天津 300072；3. 天津商業大學信息工程學院，天津 300134)

針對傳統卷積混合盲分離待求參數多、分離效果易受分離矩陣初值影響的局限性，提出了基于復Givens矩陣與蝙蝠優化的頻域求解算法。算法采用復Givens矩陣表示分離矩陣，減少了待求參數，降低了求解難度和計算量。利用蝙蝠算法代替梯度算法優化求解旋轉角度完成各頻點線性瞬時混合復信號的盲分離，全局收斂性更強。此外，由于對源信號的先驗知識要求較少，可以分離服從多種分布的信號。仿真實驗表明，該算法可有效地實現卷積混合盲分離。

盲分離；卷積混合；蝙蝠算法；復Givens矩陣

1 引言

盲分離是指在缺乏源信號和傳輸信道參數先驗知識的情況下，僅依據觀測到的混合信號分離出源信號的過程[1]。盲分離主要有線性瞬時混合和卷積混合2種類型，線性瞬時混合因為原理簡單而得到廣泛的研究，許多有效分離方法被提出[2～4]。然而在現實環境中，傳感器所接收到的真實信號一般為各個源信號經過衰減和時延后的卷積混合信號。因此，卷積混合盲分離開始逐漸受到了學者們的更多關注。

目前，解決卷積混合盲分離的方法有時域求解和頻域求解 2種形式。時域方法[5,6]由于要用到卷積運算，隨著濾波器長度的增加，計算量增長較快。相較而言，頻域方法把時域信號轉化到頻域進行分離，計算量較小，是近幾年的研究熱點。但是大部分頻域算法存在以下局限性：1) 求解中需要進行非線性函數或概率密度函數的選取[7～9]，對源信號的先驗知識要求較高；2) 優化算法主要采用梯度類方法[8～10]，需要進行步長的選取且分離矩陣初值不合理時易陷入局部收斂，影響分離性能。

針對已有卷積盲分離算法的上述不足，本文提出基于復Givens矩陣與蝙蝠優化的頻域求解方法。算法選用復數域峭度作為目標函數，避免了非線性函數和概率密度函數選取的問題，對源信號的先驗知識要求較少，可適用于多種分布信號的分離。進而利用蝙蝠算法代替傳統的梯度類優化算法對目標函數進行優化求解，避免了步長及分離矩陣迭代初值的確定，分離算法的全局收斂性能更好。其中，為減少分離矩陣中未知參數的個數，利用QR分解理論，將分離矩陣的求解轉化為復Givens矩陣中旋轉角度的求解，降低了求解難度和算法計算量。

2 信號卷積混合模型

其中，t為離散時間，N為源信號個數，hij為第 j個源信號到第 i個麥克風的沖激響應，*為卷積運算，P為濾波器階數。為了在頻域求解卷積混合盲分離，用STFT（short-time Fourier transform）將式(1)中的時域卷積混合信號轉換到頻域，可得

其中，K為STFT的點數，win(k)為窗函數，各頻點頻率值其中，f為

s采樣頻率。若窗函數win(k)的長度比濾波器的長度P大得足夠多，頻域卷積混合信號近似為

其中， x(t, f) =(x( t, f ),… ,x (t, f ))T為頻域中混合

1

M信號， K( s3( t)) = 22.9843 > 0為頻域中源信號，M、N分別為混合信號與源信號的個數，A(f)為頻域中混合矩陣。由式(3)可知，時域源信號的卷積混合經STFT轉換為各頻率點的線性瞬時混合，可利用線性瞬時混合盲分離方法求解各頻點的分離信號。分離模型如式(4)所示。

其中， y(t, f ) =(y( t, f ),… ,y (t, f ))T為頻域中分離

1

N信號，W(f)為頻域中分離矩陣。

3 蝙蝠算法

蝙蝠算法[11]是Yang于2010年提出的一種新型群智能算法，該算法利用回聲定位的原理搜索食物的最佳位置，是一種非常有效的優化算法。相較粒子群算法、蟻群算法和蜂群算法等仿生智能算法，蝙蝠算法的收斂速度更快，尋優能力更強，已應用于工程設計、組合優化、神經網絡等諸多領域[12～14]。蝙蝠算法每次迭代進化的頻率、速度和位置更新公式如下

其中，fp為第p只蝙蝠的頻率，fmin、 fmax分別為頻率的最小值和最大值分別為第p只蝙蝠在第q次和第q?1次迭代的速度和位置，x?為最優位置， β為[0,1]內滿足均勻分布的隨機向量。每次迭代找出最優解后，通過判定，依據式(6)在其周圍進行局部搜索，產生新解。

其中，ε為[-1,1]的一個隨機數，qA為所有蝙蝠在此次迭代中的平均音強。通過比較選擇是否接受這個新解，若新解優于當前最佳解，依據式(7)進行脈沖頻率和脈沖音強的更新。

4 基于蝙蝠優化的卷積混合盲分離算法

本文算法將時域卷積混合信號經STFT轉換到頻域進行求解，此時，信號由卷積混合轉換為復數域下各個頻率點的線性瞬時混合。首先利用QR分解理論，將各頻率點的分離矩陣用復Givens矩陣表示，然后用蝙蝠算法優化求解復Givens矩陣中的旋轉角度完成各頻率點的盲分離。最后，對各頻率點的分離信號進行順序和比例模糊性消除，經ISTFT得到最終時域源信號的估計。算法原理如圖1所示。

4.1 用復Givens矩陣表示分離矩陣

時域卷積混合信號經STFT后，轉化為各頻率點的復數域線性瞬時混合信號。為減少分離求解的變量數目，從而降低求解難度和算法計算量。分離之前，首先對混合矩陣進行QR分解可得

其中，v(t, f)為預處理后的混合信號，P(f)為白化陣，Q(f)為酉陣，R(f)為上三角陣。因預處理實現了信號的去相關，所以

基于源信號之間相互獨立這一假設，源信號之間必不相關，所以 E{s( t, f) sH(t, f) }=I，可得R(f)為酉陣。由R(f)既為上三角陣，也為酉陣，可以推導出其為對角陣，所以式(8)可轉換為

圖1 基于復Givens矩陣與蝙蝠優化的卷積盲分離算法

所求的信號與源信號成比例關系，所以可以作為對源信號的估計，即為分離信號。將式(10)與式(4)對照可得，QH(f)即為分離矩陣W(f)的估計。因為QH(f)為酉陣，即正交陣在復數域的擴展，由文獻[15]，正交陣可由Givens矩陣連乘的形式表示，擴展到復數域分離矩陣W(f)表示如下

其中， Ta,b(f)為N階復Givens矩陣，復數形式的Givens矩陣定義為[16]

其中，N為矩陣階數，即信號路數， c= cosθ,d= sinθ ，θ為旋轉角度且滿足θ1+ θ4= θ2+ θ3。因為θ1+ θ4= θ2+ θ3這一約束條件，可以減少 1個未知參數，因此每個復Givens矩陣的未知參數個數為4。又因為T1(f)包含N?1個復Givens矩陣，T2(f)包含N?2個復Givens矩陣，依此類推，TN?1(f )包含1個復Givens矩陣，而每個復Givens矩陣含有4個未知參數，所以分離矩陣W(f)用復Givens矩陣連乘表示后，未知參數個數為

而如果不用復Givens矩陣連乘表示復值分離矩陣W(f)，因為W(f)是N階的，而且每個元素都是復數形式的，含 2個未知參數，所以包含未知參數個數為22N。因此用復 Givens矩陣連乘表示分離矩陣W(f)后可以減少的未知參數個數為

對于3路信號，即N=3時，分離矩陣W(f)可表示如下

將分離矩陣表示為復Givens矩陣連乘的形式，未知參數個數為12，若不用復Givens矩陣，因分離矩陣為3階復矩陣，未知參數個數為18，可減少6個未知參數。

由以上分析可知，依據QR分解理論，本文算法把對分離矩陣的求解轉化為對復 Givens矩陣中旋轉角度的求解。不僅可以保證復數域下分離矩陣的正交性，提高求解精度，而且可以減少未知參數2N個，大大簡化了求解難度，降低算法計算量。

4.2 用蝙蝠算法優化復Givens矩陣中旋轉角度

將各頻率點的分離矩陣用復Givens矩陣表示，對分離矩陣的求解轉化為對 Givens矩陣中旋轉角度的求解。本文采用蝙蝠算法優化復Givens矩陣中的旋轉角度，經多次迭代，當目標函數即蝙蝠算法的適應度函數取得極值時，所得到蝙蝠的最佳位置即為分離矩陣的解。

因為各頻率點信號的采樣點為復值，所以必須采用復數域下的目標函數。由于峭度相較負熵、互信息等目標函數避免了非線性函數及概率密度函數的選取，所需源信號先驗知識較少，本文采用復數域峭度作為目標函數。對于超高斯及亞高斯信號而言，峭度分別為正和負，為了實現不同分布信號的盲分離，需要取峭度的絕對值。由式(11)可知，分離矩陣W(f)是旋轉角度θ的函數，所以構造目標函數為

其中，N為信號的路數，上標?為取共軛，E為取均值，?為取絕對值。用蝙蝠算法優化旋轉角度使目標函數取得極大值，從而完成各頻率點的線性瞬時混合復值信號盲分離。

進一步，需要消除各頻率點分離信號存在的順序模糊性及比例模糊性。時域下分離信號幅度的比例伸縮及順序錯位并不影響對分離結果的理解，頻域下則會影響分離效果。頻域下各頻率點的順序錯位會導致相鄰頻率點來自不同信號的子信號重新混合，無法實現最終的分離。本文依據相鄰頻率點來自同一源信號的分離信號之間幅度相關性大于來自不同源信號的分離信號之間的幅度相關性這一準則進行排序，2個相鄰頻率點的復值分離信號ym(f)和 yl( f+ 1)之間的幅度相關系數如下

其中，diag表示對角化。

4.3 算法步驟

基于復 Givens矩陣與蝙蝠優化的卷積盲分離算法具體步驟如下。

步驟1 將時域卷積混合信號經STFT轉換為各個頻率點的線性瞬時混合復值信號。

步驟 2 對各頻率點的混合信號進行中心化和白化預處理。

步驟 3 根據信號路數，初始化各頻率點搜索種群，確定蝙蝠數量及維數，搜索范圍為[?π,π]，每個蝙蝠的位置代表分離矩陣的一個可能解，由復Givens矩陣連乘的形式表示。

步驟4 依據式(4)，以每個蝙蝠的位置求得各頻率點分離信號，采用式(16)作為蝙蝠算法的適應度函數，求得初始條件下各頻率點最佳蝙蝠。

步驟5 對各參量進行更新，依據步驟4求得每次迭代的各頻率點最佳蝙蝠。

步驟 6 若達到最大迭代次數，輸出各頻率點最佳蝙蝠即為分離矩陣W(f)，否則重復步驟5。

步驟7 依據式(4)求得各頻率點分離信號。

步驟 8 依據式(17)和式(18)解決各頻率點求得分離信號的順序模糊性和比例模糊性。

步驟9 經ISTFT恢復時域中分離信號，即源信號的估計。

5 仿真實驗與分析

為了驗證本文算法的有效性，進行2組實驗。實驗1為不同分布復值線性瞬時混合信號盲分離，實驗2為語音卷積混合信號盲分離。實驗1采用卷積混合信號在各頻率點進行盲分離的算法，為實驗2提供基礎。通過將其他一些方法作為對照，分別測試本文算法對不同分布復值線性瞬時混合信號盲分離及卷積混合信號盲分離的效果。

5.1 不同分布復值線性瞬時混合信號盲分離

本實驗采用3路服從不同分布的復值信號作為源信號。s1( t)為 BPSK信號，s2( t)為實部服從Poisson分布、虛部服從 Gamma分布的信號，s3( t) =r( t) [cos(?( t) ) + isin(?(t ))]，r( t)服從 Poisson分布，?(t)在[?π,π]之間隨機產生。信號的采樣點數為5 000。

判斷源信號的分布特性，依據復數域峭度。峭度值為正，信號服從超高斯分布；峭度值為負，信號服從亞高斯分布。復數域峭度的定義如下[10]

其中，s表示復值信號，?表示取共軛，E表示取均值。判斷復值源信號的正則性，依據偽協方差矩陣Css，若 Css=0則為正則信號，反之，則為非正則信號。Css的定義如下

其中，T表示轉置， m = E(sr) + jE(si)表示信號的均值。s1( t)的峭度值 K( s1( t)) =?2 < 0，偽協方差矩陣 Css=1，為服從亞高斯分布的非正則信號；s2( t)的峭度值 K( s2( t))= 10.522 7 > 0，偽協方差矩陣Css=0.29，為服從超高斯分布的非正則信號；s3( t)的峭度值 K( s3( t)) = 22.9843 > 0，偽協方差矩陣Css=0，為服從超高斯分布的正則信號。

所用3階復混合矩陣 A=[1+ 2i,3+ i,2+ i;4+2i,2 + i,1 + 0.5i;3 + i,9 + 2i,2 + 2i]。實驗中分別采用復數域下的快速固定點（C-FastICA）算法[7]、基于峭度的梯度（KM-G）算法[10]、聯合塊對角化（JADE）算法[18]以及本文算法進行對照仿真。

各算法參數設置如下。

KM-G算法：步長0.1，分離矩陣初值向量為[0,1]內均勻分布的隨機數。

JADE算法：累積量矩陣的個數為3。

本文算法：蝙蝠的個數為 20，維數為 12，搜索范圍[?π,π]，脈沖音強及脈沖頻率均為 0.5，頻率范圍[0,2]。

圖2 采用不同算法分離不同分布線性瞬時混合復值信號所得分離信號星座圖

因盲分離的目的為使所獲取的分離信號與源信號之間的相似程度盡可能高，為了更加直觀地對其進行比較，圖2給出了源信號及分別采用上述4種算法所得分離信號的星座圖。

C-FastICA算法不能實現正則與非正則混合信號的分離，且受非線性函數選取的影響，未恢復源信號。KM-G算法、JADE算法及本文算法對源信號的先驗知識要求較少，均可實現信號分離。為了客觀說明算法分離性能，本文采用相關系數的模ζ作為評價指標。因為信號采樣點均為復數，相關系數為復值，所以取模。相關系數的模定義為[19]

其中，Z為信號的采樣點數，sj表示第j路源信號，s?j表示分離信號中第 j路源信號 sj的估計，|·|表示求模運算。ζ取值為0～1，取值為0時說明兩信號互不相關，取值越大，則兩信號的相關程度越大。表1列出了KM-G算法、JADE算法及本文算法所得分離信號相關系數的模。實驗結果數據為 20次仿真的平均值。

表1 采用不同算法用于3路不同分布復值信號盲分離所得相關系數的模

通過對相關系數的模分析可知，本文算法所求得信號相關系數的模均在0.999 2以上，可以精確恢復源信號。與KM-G算法及JADE算法對比，提高了分離精度。綜上，本文算法可以實現不同分布線性瞬時混合復值信號盲分離，并且效果很好。因卷積混合信號轉化到頻域后，各頻率點上為線性瞬時混合復值信號，此實驗為實驗2提供基礎。

5.2 語音卷積混合信號盲分離

本實驗采用來自NTT通信科學實驗室Hiroshi Sawada的主頁所提供的3路語音信號作為源信號注注1：http：//www.kecl.ntt.co.jp/icl/signal/sawada/demo/bss2to4/index.html。1。信號采樣頻率為8 kHz，采樣周期為 1.25× 10?4s，分辨率16位/采樣點，即量化位數為16，每個采樣點由16位二進制數組成，數值介于-32 768和32 767之間，然后將量化電平值轉為-1和1區間，得信號采樣點圖，信號長度為56 000。3路語音源信號的峭 度 值 分 別 為 4.5241× 10?6、 5.5768× 10?6、2.9481× 10?6，均服從超高斯分布。通過如下所示的9個5階濾波器對源信號進行卷積混合

作為對照實驗，本文分別在時域及頻域進行卷積混合盲分離的求解。時域中利用快速固定點（Fast-ICA）算法[20]進行求解。頻域中分別利用下述方法進行求解：直接應用于頻域卷積混合盲分離的獨立矢量分析（IVA）算法[8]、實驗1中所采用的應用于各個頻率點的復值盲分離算法（C-FastICA算法[7]、KM-G 算法[10]、JADE 算法[18]以及本文算法）。其中，頻域算法所采用的STFT的階數為1 024，窗長為256，重疊比率為，時頻變化后共513個頻率點，每個頻率點信號的采樣點數為878。

各算法參數設置如下。

Fast-ICA算法：分離矩陣初值向量為[0,1]內均勻分布的隨機數。

IVA算法：步長 0.1，概率密度函數選用多維Laplace分布即分離矩陣初值為單位陣。

KM-G算法：步長0.1，分離矩陣初值向量為[0,1]內均勻分布的隨機數。

JADE算法：累積量矩陣的個數為3。

本文算法：蝙蝠的個數為 20，維數為 12，搜索范圍為[?π,π]，脈沖音強及脈沖頻率均為 0.5，頻率范圍為[0,2]。

為了更加直觀地對各算法所得分離信號與源信號進行比較，圖3給出了源信號及各個算法所得分離信號波形圖。

圖3 采用不同算法分離3路卷積混合信號所得分離信號

Fast-ICA算法為在時域解決線性瞬時混合盲分離的方法，未考慮信號的衰減和時延，并不能解決卷積混合盲分離問題。其他算法為卷積混合盲分離的頻域求解算法，IVA算法將每個信號的所有頻點分量視為一個整體進行分離信號的求解，圖3(d)～圖3(g)所示算法分別在各個頻點進行復值線性瞬時混合盲分離，圖3(c)～圖3(g)所示算法均可實現源信號的恢復。為了客觀說明各算法分離性能，在實驗1的基礎上增加重構信噪比這一評價指標。因實驗1為復數域下線性瞬時混合盲分離，信號采樣值為復數，不適合計算所以并未采用這一評價指標定義為[21]

其中，Z為信號的采樣點數，sj表示第j路源信號，s?表示分離信號中第j路源信號s的估計。的值

j

j越大，表示分離信號與源信號之間的誤差越小，分離效果越好。表2分別列出了上述6種算法所得分離信號的相關系數絕對值及重構信噪比，因時域下信號采樣點為實數，所以對相關系數取絕對值。實驗結果數據為20次仿真的平均值。

IVA算法、C-FastICA算法及KM-G算法需要選取概率密度函數、非線性函數或步長等參量，而且均易受分離矩陣初值的影響，在一定程度上限制了分離性能。本文算法所求得分離信號相關系數絕對值的均值達到了 0.98以上，重構信噪比的均值達到15 dB以上，源信號恢復效果很好，較其他算法有所提升。雖然KM-G算法與本文算法的分離性能指標接近，但KM-G算法受步長選取的影響較大，算法的收斂速度與穩定性難以同時滿足，而且分離矩陣初值向量的選取也會影響其分離性能。綜上，本文算法相較其他一些算法，具有很大優越性。

6 算法復雜度分析

為了進一步分析算法的復雜度，作出了不同算法PI收斂曲線。PI的定義為[22]其中，N指信號的路數表示求模運算。PI值越小，分離的效果越好。因JADE算法不涉及迭代運算，圖 4給出了本文算法及 KM-G算法的PI收斂曲線。

圖4 本文算法及KM-G算法的PI收斂曲線

表2 采用不同算法用于3路卷積混合信號盲分離所得相關系數絕對值及重構信噪比

由圖4可知，本文算法比KM-G算法的收斂速度更快，僅在第12次迭代時PI值收斂于0.082 4，PI收斂值比KM-G算法的PI收斂值更小，分離效果更好。為了進一步對算法進行比較，表3給出了當迭代次數為12時，本文算法及KM-G算法所得分離信號相關系數的模。

表3 本文算法及KM-G算法所得分離信號相關系數的模

當迭代次數為12時，KM-G算法因未收斂，所得分離信號性能不高，較表1有所降低。通過對比，本文算法所得分離信號相關系數的模較KM-G算法有較大提升。為了多方面比較算法性能，表4給出了當滿足收斂條件時各算法的運行時間。

各算法的運行時間很接近，但JADE算法的分離性能并不高，KM-G算法受步長及分離矩陣初值向量的選取影響較大。步長的選取使算法的收斂速度與穩定性難以同時滿足，不易確定。雖然隨步長的增加，算法的收斂速度更快，但分離效果有所降低，而隨步長的減小，算法的收斂速度明顯減慢，運行時間也會顯著增加。分離矩陣初值向量選取不當也會降低算法性能。本文算法不受步長及分離矩陣初值向量選取的影響，而且分離性能較其他算法有所提升。

此外，為了縮短群智能算法的運行時間，多種GPU并行算法的方案被提出[23～26]，時間至少可減少為原來的，效果很理想。本文所用蝙蝠算法也是群智能算法的一種，可以利用 GPU并行算法來縮減運算時間，將作為下一步的研究方向。

7 結束語

本文提出了一種基于復 Givens矩陣與蝙蝠優化的頻域卷積盲分離算法。依據QR分解理論，將分離矩陣用復Givens矩陣表示，然后利用蝙蝠算法優化求解旋轉角度完成各頻率點線性瞬時混合復值信號盲分離。復Givens矩陣的使用減少了待求解的未知參數個數，降低了算法求解難度和計算量，而且保證了分離矩陣的正交性，提高了計算精度。利用蝙蝠算法取代傳統的梯度算法優化復 Givens矩陣中旋轉角度，避免了步長及分離矩陣迭代初值的選取，全局收斂性能更好。此外，在求解過程中避免了非線性函數及概率密度函數的選用，對源信號的先驗知識要求較少，可以分離服從多種分布的信號。仿真結果表明，本文算法相較其他一些算法提高了分離效果。

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Convolutive blind separation algorithm based on complex Givens matrix and bat optimization

JIA Zhi-cheng1, HAN Da-wei1, CHEN Lei2,3, GUO Yan-ju1, XU Hao-da1
(1. Institute of Electronic Information Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300401, China;2. Institute of Precision Instrument and Optoelectronics Engineering, Tianjin University , Tianjin 300072, China;3. Institute of Information Engineering, Tianjin University of Commerce, Tianjin 300134, China)

For the limitations such as many unknown parameters, the separation accuracy was easily influenced by initial value of separation matrix in traditional convolutive blind separation, a kind of frequency method based on complex Givens matrix and bat optimization was proposed. The algorithm used a series of complex Givens matrices to denote separation matrix, it reduced unknown parameters, decreased the difficulty and the amount of calculations as a result. Besides, the algorithm utilized bat algorithm instead of conventional gradient algorithm to optimize rotation angles and completed the separation of complex linear instantaneous mixing signals at each frequency point, the use of bat algorithm made the optimization ability better. In addition, little prior information was needed and signals following various distributions could be separated. Simulation results show that the proposed method can realize convolutive blind separation efficiently.

blind separation, convolutive mixtures, bat algorithm, complex Givens matrix

s: The National Natural Science Foundation of China (No. 61401307), The China Postdoctoral Science Foundation(No.2014M561184), Tianjin Research Program of Application Foundation and Advanced Technology(No. 15JCYBJC17100)

TN911.7

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016138

2016-01-23；

2016-04-24

陳雷，chenleitjcu@139.com

國家自然科學基金資助項目（No.61401307）；中國博士后科學基金資助項目（No.2014M561184）；天津應用基礎與前沿技術研究計劃基金資助項目（No.15JCYBJC17100）

賈志成（1957-），男，黑龍江齊齊哈爾人，河北工業大學教授、碩士生導師，主要研究方向為智能算法和盲源分離等。

韓大偉（1990-），女，河北廊坊人，河北工業大學碩士生，主要研究方向為盲信號處理。

陳雷（1980-），男，河北唐山人，博士，天津商業大學副教授，主要研究方向為盲信號處理、仿生智能計算等。

郭艷菊（1980-），女，河北邢臺人，河北工業大學講師，主要研究方向為盲信號處理、高光譜圖像處理。

許浩達（1990-），男，河北保定人，河北工業大學碩士生，主要研究方向為基于DSP的盲信號處理、智能算法等。