基于確定學習理論的軸流壓氣機系統分岔預測

文彬鶴，王聰，易學飛，聞偉，朱愛峰

（1.中國航發控制系統研究所，江蘇無錫214063；2.華南理工大學自動化科學與工程學院，廣州510641）

基于確定學習理論的軸流壓氣機系統分岔預測

文彬鶴1，王聰2，易學飛1，聞偉1，朱愛峰1

（1.中國航發控制系統研究所，江蘇無錫214063；2.華南理工大學自動化科學與工程學院，廣州510641）

針對軸流壓氣機系統中的分岔預測問題，基于簡化的M oore-G reitzer 3階壓氣機模型，分析了該系統中存在的分岔現象；利用最新發展的確定學習理論，對壓氣機系統隨著γ參數變化出現的幾種典型模態的相關系統動態進行辨識，并將所學知識保存成常值RBF神經網絡以構成模式庫；利用該模式庫構建1組嵌入了常值RBF神經網絡的動態估計器；將測試模式與估計器相比，得到1組殘差，并利用動態模式識別方法的殘差最小原則實現了對Pitchfork分岔的預測。

pitchfork分岔；旋轉失速；確定學習；系統辨識；動態模式識別；快速預測；軸流壓氣機

0 引言

長期以來，學術界對軸流壓氣機的喘振和旋轉失速的研究廣泛開展[1-3]。研究表明，在系統喘振的起始，總是伴有壓氣機的旋轉失速[4]，旋轉失速被認為是喘振先兆，因此很多研究者將注意力集中在對旋轉失速的研究上[5]。理論模型研究方面，Emmons[6]從失速初始擾動和壓氣機葉片通道流動的機理開始建立了旋轉失速初始擾動模型。在Emmons理論的基礎上，Moore和Greitzer等[7-8]進一步利用3次性的非線性壓氣機特性曲線和1階Galerkin逼近方法，將壓氣機模型轉化為3階常微分方程模型。Mc Caughan[9-10]、Abed[11-12]此模型進行了分岔分析。旋轉失速實驗檢測方面，研究者們提出了許多旋轉失速檢測方法[13-16]，這些檢測方法多是直接對旋轉失速的初期擾動的檢測，而根據Abed[12]的分岔分析結果，在3階常微分Moore-Greitzer模型中旋轉失速的出現對應于1個亞臨界pitchfork分岔的產生，因此對壓氣機旋轉失速的檢測可以轉化成對亞臨界pitchfork分岔的檢測。

本文意在利用模式識別方法識別該系統中亞臨界pitchfork分岔。利用確定學習理論方法[17-21]，將亞臨界pitchfork分岔的檢測分為2部分，即辨識和識別。辨識方面，研究對Moore-Greitzer模型系統動態的辨識。當模型中的參數不同時，系統產生的動態模式不同。對于不同的動態模式，利用確定學習方法，構建自適應RBF神經網絡模型對系統內部動態進行辨識。識別方面，利用辨識階段建立的動態模式庫構造動態估計器。然后利用相似性定義，判斷測試模式與模式庫中的模式的相似性，誤差最小的模式即被認為是與測試模式相同的模式。若系統即將發生亞臨界pitchfork分岔，系統的內部動態與模式庫中臨近分岔的模式相吻合，即可認定系統即將發生亞臨界pitchfork分岔。

1 預備知識和問題描述

1.1 旋轉失速模型及其分岔分析

Moore-Greitzer模型中用到的部分符號見表1。

表1 Moore-Greitzer模型符號

利用表1中定義的相關變量，3階Moore-Greitzer模型表達如下

式中：W和α均為常數；γ為與噴管開度相關的系統參數；B為與轉子速度成正比的無量綱參數；F為噴管特性曲線的反函數，是1個隨自變量γ和Ψ嚴格遞增的函數。

根據Abed[12]對系統（1）分岔特性的分析，給出2個引理：

引理1：當Ψ'c（Φ0（γ））＜0時，系統（1）的標稱平衡點x0（γ）是漸近穩定的；而當Ψ'c（Φ0（γ））＜0時，系統(1)的標稱平衡點x0（γ）是不穩定的。

引理2：假設Ψ"c（Φ0（γ））≠0且F是關于其所有自變量嚴格遞增的。另外假設穩定性系數β2不為零。那么在平衡點（x0，γ0）處γ的微小改變將使系統（1）出現pitchfork分岔。且當β2＜0(β2＞0)時，該pitchfork分岔為超臨界(亞臨界)pitchfork分岔，即在平衡點（x0，γ0）附近產生的新的平衡點是漸進穩定（不穩定）的。

根據引理1，在參數γ通過臨界值γ0之后，軸流壓氣機系統（1）的非失速平衡點將不穩定。

本文將平衡點（x0，γ0）稱為旋轉失速先兆點。而根據引理2，失速先兆點附近的局部分岔解可能是不穩定的，這類分岔被稱為亞臨界分岔。當參數γ通過臨界值γ0時，如果亞臨界分岔發生的條件成立，壓氣機系統將從穩定平衡點處掉到不穩定平衡點。導致壓氣機系統動態隨參數γ在γ0附近變化時出現1個時滯環，文獻[12]的仿真結果說明了系統的分岔特性。

1.2 確定學習理論

本文將使用的辨識旋轉失速模型系統動態的理論方法，即確定學習理論。確定學習理論[17-19]運用自適應控制和非線性動力學系統的概念與方法，研究未知動態環境下的知識獲取、表達、存儲和再利用等問題。通過選擇局部RBF神經網絡作為參數化的模型結構，對于周期軌跡或者更一般的回歸軌跡，RBF神經網絡中沿著回歸軌跡的神經元函數構成的子向量可以滿足部分持續激勵條件。對于連續非線性系統的辨識問題，沿著由非線性系統產生的周期或回歸軌跡，部分持續激勵條件可以使辨識誤差系統滿足指數穩定，并因而在沿周期或回歸軌跡的局部區域實現對非線性系統動態的準確神經網絡逼近。這樣依靠動態環境下的系統狀態信息，確定學習可以對非線性系統的未知動態進行局部準確建模。

通過1類非線性動態系統說明確定學習的基本方法。考慮如下的非線性動態系統

式中：x=[x1,x2,…，xn]T∈Rn，是可測量的系統狀態；p為系統的常值參數向量(通常不同的p產生不同的動態行為)；F（x;p）=[f1（x;p）,f2（x;p）,…，fn（x;p）]T，表示系統（2）的未知系統動態；fi（x;p）為未知的連續非線性函數。

針對系統（2），假設系統狀態x保持一致有界(如x（t）∈Ω?Rn，?t≥t0)，其中Ω是1個緊集；且始于初值x0的系統軌跡φζ（x0）是回歸軌跡。

基于以上假設，確定學習理論采用如下的動態RBF神經網絡辯識系統（2）的未知系統動態[18]

神經網絡權值估計通過如下自適應學習率調節[18]

確定學習理論[18-19]指出，對于周期軌跡或者更一般的回歸軌跡，RBF神經網絡中沿著回歸軌跡的神經元函數構成的子向量可以滿足部分持續激勵條件。即靠近軌跡φζ（x0）的神經網絡回歸向量Sζ滿足部分持續激勵條件，部分持續激勵條件可以使得辨識誤差系統滿足指數穩定，進而在沿周期或回歸軌跡的局部區域實現對非線性系統動態的準確神經網絡逼近[18]

這就實現了對非線性系統的未知動態進行局部準確建模。

1.3 問題描述

考慮系統（1）并分析第2部分對此模型的分岔分析結果，本文主要目的是利用確定學習理論方法為軸流壓氣機系統中存在的分岔建立1個預測方法。由于在大多數壓氣機中旋轉失速都先于喘振發生，而旋轉失速又對應于壓氣機系統（1）中的亞臨界pitchfork分岔，因此更具體地說，本文目的是利用確定學習方法預測壓氣機系統（1）存在的亞臨界pitchfork分岔。進一步將此目的一分為二。首先，利用確定學習去辨識壓氣機系統（1）的系統動態，并將系統對應于不同參數情況下的系統動態表達成常值的神經網絡，這些常值神經網絡是對系統的時變動態的1個局部準確表達。然后將每個常值神經網絡存儲的系統動態定義為1個訓練模式，并將這些動態模式組成1個模式庫。尤為重要的是，將參數γ臨近γ0時對應的模態定義為臨界模態，這個模態在預測pitchfork分岔時起關鍵作用。其次，利用1個參數隨時間變化的系統（1）的動態當做測試模式。當這個測試模式進入模式庫時，將利用模式庫中的所有訓練模式與其構成相應的誤差系統。誤差系統中誤差最小的模式即為系統運行所處的模式。當系統運行到達臨界模式時，測試模式與臨界模式所構成的誤差系統的狀態將為最小，則可認定系統已進入臨界區域，表明系統即將發生亞臨界pitchfork分岔，據此可以預警，建立1個預測(或預防、預警)方法。

2 旋轉失速模型的系統辨識

旋轉失速Moore-Greitzer模型的系統辨識方法，即如何利用確定學習算法對Moore-Greitzer模型的系統動態進行辨識?？紤]系統（1），假設x=[x1,x2,x3]T=[A,ΦΨ]Τ，那么該系統可以改成如下形式

式中：p=[α,W,B,γ]T，為系統參數向量。針對系統（6），構造如下的動態RBF神經網絡辨識其主要內部動態

針對式（7）中3個神經網絡，分別對其設計如下的自適應權值調節率

再將式（8）中的各分量與式（6）中的相應分量做差可得以下狀態估計誤差系統

依據式（8）所示的權值更新率，可以得到以下權值誤差系統

根據RBF神經網絡的局部精確的逼近能力，可將狀態估計誤差系統（9）的第i個子系統和權值誤差系統（10）的第i個子系統沿著系統軌跡分解成靠近系統軌跡和遠離系統軌跡的2部分，得到如下表達式

式中：（·）ζi和（·）ζˉi分別為靠近和遠離軌跡φζ的部分；為靠近系統軌跡部分的子向量為對應Sζi的神經網絡權值子向量

依據文獻[18]中的定理2.7，任何周期或者回歸軌跡都可使Sζi滿足持續激勵條件，從而使得中心點靠近軌跡的神經元的權值指數收斂到其最優值而中心點遠離系統軌跡的神經元的權值幾乎保持不變，即總是很小且幾乎不變，則

根據確定學習理論方法，只需設計合理的參數ki、σi、Γi，便可利用式（7）所示的動態RBF神經網絡實現對系統（6）的動態f1、f2、f3的近似準確逼近

對神經網絡權值估計值在其收斂的一段時間內求平均得到

式中：tb＞ta＞0，為權值收斂后的小的時間瞬態過程，利用以上獲得的常值神經網絡權值可得到3個常值的RBF神經網絡使得式（15）成立，其中|εi|=0（|εi|）。

3 旋轉失速模型的動態模式庫的建立和亞臨界pitchfork分岔的識別方法

旋轉失速模型動態模式庫中既包括旋轉失速模型的正常模式，也包含臨近亞臨界pitchfork分岔的模式。然后定義動態模式的相似性，基于相似性的定義和所建立的動態模式庫，提出1種識別亞臨界pitchfork分岔的方法。

3.1 旋轉失速模型的動態模式庫的建立

第1.1節分析了旋轉失速Moore-Greitzer模型的分岔時選取的分岔參數是γ。Moore-Greitzer模型的系統動態隨著γ的改變逐漸變化，即隨著參數γ的改變，可以得到系統的不同動態模式。而由于系統參數值的任意性，Moore-Greitzer模型必定存在無數種動態模式，要遍歷所有模式顯然不可行。因此選取其中K種典型的系統模式，這K種模式既包括旋轉失速模型的正常模式，也包含臨近亞臨界pitchfork分岔模式。依照系統（6），把產生以上第m=1，2，…M種模式(記為φm)的系統表示成如下形式

式中：xm（t0）為系統的初始條件，且系統參數pm=[α，W，B，γm]T表示系統的不同動態模式是因γ參數的改變而產生。此處選取的γ包括遠離γ0和接近γ0的值。其中，γ值遠離γ0的系統所產生的模式被定義為正常模式；γ值臨近γ0的系統所產生的模式被定義為臨近亞臨界pitchfork分岔模式。這些模式將是預測亞臨界pitchfork分岔的關鍵。本文將以上M種模式定義為K種訓練模式。

對第m=1,2,…,M種訓練模式按照式（7）、（8）構造如下動態RBF神經網絡和神經網絡權值估計更新率

式中：i=1，2，3。

式中：εi為近似逼近誤差。

3.2 旋轉失速模型的動態模式的相似性定義

為識別Moore-Greitzer模型的亞臨界pitchfork分岔，定義動態模式的相似性，這是識別階段用于判斷壓氣機處于何種模式的基礎。

定義1：對由系統(16)產生的2個動態模式φm和φn，若動態模式φm的狀態xm處于動態模式φn的狀態xn的小領域內，同時2個動態模式的主要內部動態之間的差異非常小，即

式中：ε*為1個小的正常數；x∈φm，為動態差異，是沿著模式φm的軌跡做比較的。那么稱動態模式φm相似于動態模式φn，其中ε*是相似性度量。

定義2：對由系統（16）產生的2個動態模式φm和φn，若動態模式φm的狀態xm處于動態模式φn的狀態xn的小領域內，同時2個模式內部動態的常值神經網絡表達差異較小，即

基于以上動態模式相似性定義，確定學習理論提出的動態模式識別方法指出2個動態模式之間的狀態差異正比于相似性度量[19]。因此，可以利用狀態差異作為判別2個動態模式是否相似的狀態變量。

3.3 旋轉失速模型中亞臨界pitchfork分岔的預測

利用第3.1節對壓氣機旋轉失速模型所建的動態模式庫和第4.2節中關于動態模式的相似性定義，提出1個預測旋轉失速模型（Moore-Greitzer模型）亞臨界pitchfork分岔的方法。

考慮如下的待識別系統

該系統跟Moore-Greitzer模型（6）的結構相同，只是參數pt可能不同，上標t表示該系統為待識別系統，并稱由該系統產生的動態模式為測試模式。

將動態估計器（22）和被檢測壓氣機系統（21）做差，可以得到如下的殘差系統

因此，如果壓氣機系統（21）正處于第s種模式，則殘差系統（23）可改寫為

則第s個估計器的殘差系統為

依據確定學習理論的動態模式識別方法，旋轉失速快速檢測的核心是利用被檢測壓氣機系統的內部動態與動態估計器的內部動態之間的相似性。具體而言，如果動態模式s發生，則被檢測壓氣機系統（21）的狀態與估計器s的狀態最相似，從而使得二者之間的殘差是所有殘差中最小的。尤其是當被檢測壓氣機系統（21）即將出現亞臨界pitchfork分岔時，其與模式庫中對應的臨近亞臨界pitchfork模式的殘差就變為最小，即可預測亞臨界pitchfork分岔的發生。基于最小殘差原理，可定義如下檢測策略[20]。

亞臨界pitchfork分岔識別策略：如果對所有的r∈{1，2，…，K}/{s}存在1個有限時間（ts）||對t＞ts成立，則認定亞臨界pitchfork分岔模式s發生，表明亞臨界pitchfork模式即將發生，可以預警。

4 結束語

基于確定學習理論提出了1種針對Moore-Greitzer模型系統動態的辨識方法；基于動態模式識別方法，提出了針對Moore-Greitzer模型的動態模式庫構建及亞臨界pitchfork分岔預測方法。

本文方法可進一步向高階發動機動態模型推廣使用，并最終用于預測航空發動機旋轉失速的理論及試驗研究。

[1] Moore F K,Greitzer E M.A theory of post-stall transients inaxial compression systems（partⅠ）：development of equations[J].Journal of Engines for Gas Turbines and Power,1986,108（1）：68-76.

[2] Moore F K,Greitzer E M.A theory of post-stall transients inaxial compression systems（partⅡ）：application[J].Journal of Engines for Gas Turbines and Power,1986,108（2）：231-239.

[3] 蔣康濤.低速軸流壓氣機旋轉失速的數值模擬研究[D].北京：中國科學院工程熱物理研究所,2004.JIANG Kangtao.Numerical investigation on rotating stall in a low-speed axial compressor[D].Beijing：Graduate School of the Chinese Academy of Sciences,2004.(in Chinese)

[4] Greitzer E M.The stability of pumping systems—the 1980 freeman scholar lecture[J].ASME Journal of Fluid Engineering,1981,103（2）：193-242.

[5] 吳艷輝，楚武利，張皓光.軸流壓氣機失速初始擾動的研究進展[J].力學進展，2008，38（5）：571-584.WU Yanhui,CHU Wuli,ZHANG Haoguang.A review of studies on stall precursors in axial-flow compressor[J].Advances in Mechanics,2008,38（5）：571-584.(in Chinese)

[6] Emmons H W,Pearson C E,Grant H P.Compressor surge and stall propagation[J].Transactions of the ASME,1955,77（3）：455-469.

[7] Greitzer E M.Surge and rotating stall in axial flow compressors(partⅠ)：theoretical compression system model,and(partⅡ)：experimental results and comparison with theory[J].ASME Journal of Engineering for Power,1976,98（2）：190-217.

[8] Abed E H,Houpt P K,Hosny W M.Bifurcation analysis of surge and rotating stall in axial flow compressors[J].AMSE Journal of Turbomachinery,1993,115（4）：817-824.

[9] Mc Caughan F E.Application of bifurcation theory to axial flow compressor instability[J].Journal of Turbomachinery,1989（111）：426-433.

[10]Mc Caughan F E.Bifurcation analysis of axial flow compressor stability[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,1990,50（5）：1232-1253.

[11] Abed E H，Houpt P K,Hosny W M.Bifurcation analysis of surge and rotating stall in axial flow compressors[J].AMSE Journal of Turbomachinery,1993,115（4）：817-824.

[12] Liaw D C,Abed E H.Control of compressor stall inception：a bifurcation-theoretic approach[J].Automatica,1996,32（1）：109-115.

[13] Mcdougal N M,Cumpsty N A,Hynes T P.Stall inception in axial compressors[J].ASME Journal of Turbomachinery,1990,112（1）：116-125.

[14] Tryfonidis M,Etchevers O,Paduano J D,et al.Prestall behavior of several high-speed compressors[J].ASME Journal of Turbomachinery,1995,117（1）：62-80.

[15] LIAO S F,Chen J Y.Time frequency analysis of rotating stall by means of wavelet transform[R].ASME 1996-GT-57.

[16] TAN C S,Day I,Morris S,et al.Spike-type compressor stall inception,detection,and control[J].Annu.Rev.Fluid Mech，2015，42（1）：275-300.

[17] WANG C,CHEN T R,Chen G R,et al.Deterministic learning of nonlinear dynamical systems[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2009,19（4）：1307-1328.

[18] WANG C,Hill D J.Deterministic learning theory for identification,recognition and control[M].Florida：CRC Press,2009：158-173.

[19] WANG C,Hill D J.Deterministic learning and rapid dynamical pattern recognition[J].IEEE Transactions on Neural Networks,2007,18（3）：617-630.

[20] WANG C,CHEN T R.Rapid detection of small oscillation faults via deterministic learning[J].IEEE Transactions on Neural Networks,2011,22（8）：1284-1296.

[21] Bin XU,Chenguang YANG,Zhongke SHI.Reinforcement learning output feedback NN control using deterministic learning technique[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems,2014,24（3）：635-641.

Precursor for Bifurcation of Axial Compression System based on Deterministic Learning

WEN Bin-he1,WANG Cong1,YI Xue-fei1,WEN Wei1,ZHU Ai-feng1
（1.AECC Aero Engine Control System Institute,Wuxi Jiangsu 214063;2.College of Automation Science and Engineering,South China University of Technology,Guangzhou 510641）

Aiming at bifurcation prediction problem in axial compression system,the bifurcation behavior of the system was analyzed based on simplified Moore-Greitzer model.Several typical patterns generated by varying in Moore-Greitzer model were identified by deterministic learning,the obtained knowledge were stored in constant RBF networks to form the pattern library finally.A dynamic estimator which was embedded in the constant RBF networks estimators was constructed using the pattern library.Comparing the set of estimators with the test pattern,a set of residual error was generated.Pitchfork bifurcation was predicted by using minimum residual of dynamical pattern recognition.

pitchfork bifurcation;rotating stall;deterministic learning;system identification;dynamical pattern recognition;rapid detection；axial compressor

V 233.7+1

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2016.06.004

2016-05-01基金項目：航空動力基礎研究項目資助

文彬鶴（1987），男，主要從事航空發動機控制系統設計工作；E-mail：bhwen5516521@126.com。

文彬鶴，王聰，易學飛，等.基于確定學習理論的軸流壓氣機系統分岔預測[J].航空發動機，2016，42（6）：23-29.WEN Binhe，WANG Cong，YI Xuefei，et al.Precursor for bifurcation of axial compression system based on deterministic learning[J].Aeroengine，2016，42（6）：23- 29.

（編輯：趙明菁）