基于SOM神經網絡聚類以及支持向量機的數控機床熱誤差建模方法的研究

陳 卓，李自漢，楊建國，姚曉棟

(上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

?

基于SOM神經網絡聚類以及支持向量機的數控機床熱誤差建模方法的研究

陳 卓，李自漢，楊建國，姚曉棟

(上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

為了減小主軸季節(jié)性熱誤差影響，提高機床的加工精度，提出了基于針對機床熱源進行SOM神經網絡預聚類后的支持向量回歸機的主軸熱誤差綜合模型。針對一臺型號為HTM40100h的車銑復合中心，對主軸的關鍵溫度測點進行了內外熱源的劃分，并在冬夏兩個季節(jié)對所有測溫點溫度和熱誤差數據進行采集，將外部熱源溫度數據作為SOM網絡的輸入變量進行季節(jié)性聚類，聚類后的外部熱源溫度數據連同同時刻的內部熱源溫度數據一起作為不同季節(jié)支持向量回歸機模型的輸入變量，得到熱誤差擬合值。將通過聚類預處理的方法與未經聚類的方法進行了對比試驗，結果表明：該綜合預測模型在冬夏兩個季節(jié)均獲得了較高的建模精度和魯棒性。

機床熱誤差建模；SOM神經網絡；支持向量回歸機；季節(jié)性預聚類

0 引言

數控機床在加工工件的過程中，會產生加工誤差。按照原因的不同，這些誤差包括熱誤差、幾何誤差、切削力誤差等[1]。其中由機床熱變形引起的誤差占到了總誤差的40%以上。因此，機床熱誤差的實時補償技術的研究對于工程實踐而言顯得極為迫切而重要。而在熱誤差補償技術中，機床熱誤差建模又是所有問題中最重要的一環(huán)，不僅僅是因為它高度概括地將生產實踐中的實際問題抽象為了數學模型，使得工程技術人員可以采用信息化手段著手解決，也因為要得到一個具有好的魯棒性和穩(wěn)定性的熱誤差模型是極為困難且難以實現的。

在機床各個部件中，機床主軸是因為熱變形導致產生加工誤差的最主要部件之一[2]。從上世紀八十年代開始，國內外許多學者對此進行了深入探討和研究，總結出了很多極具價值的建模算法，包括最小二乘法建模[3]、BP神經網絡模型[4]、灰色系統(tǒng)神經網絡模型[5]，多項式擬合與縱向建模[6]，因子分析與貝葉斯估計建模方法[7]等。

近些年的研究更多的認為，導致機床產生熱誤差的原因分為兩類，即內部熱源和外部熱源。其中內部熱源包括機床在加工過程中的切削熱、進給軸的滾珠絲杠螺母發(fā)熱以及驅動電機發(fā)熱等等；外部熱源則主要歸結為環(huán)境溫度的變化。這樣分類的目的是希望能較好地區(qū)別不同季節(jié)、不同環(huán)境溫度下機床所產生的熱誤差，從而區(qū)別對待，建立更具魯棒性的模型。而國內外很多學者的研究也充分說明了這樣做的有效性，比如上海交通大學的李自漢等人提出了對于滾珠絲杠溫度的時間模型[8]，通過建立機床熱量傳遞的模型，將滾珠絲杠溫度和室溫的差值與滾珠絲杠溫度上升曲線的斜率聯系起來，從而建立了機床運行(熱機)時與(停機)冷機時的滾珠絲杠溫度的時間模型，因為考慮了環(huán)境溫度作為外部熱源，模型具有較高精度；又比如華中科技大學的Bo Tan等人，將傳統(tǒng)機床熱誤差模型魯棒性不強的原因歸結為機床對于環(huán)境溫度的熱遲滯效應[9]，并且將機床誤差明確分為由內部熱源引起的誤差以及由外部熱源引起的誤差，對于外部熱源引起的誤差，通過采用時序法建立全年環(huán)境溫度模型，從而建立了基于傅里葉級數分解的熱誤差模型，而對于內部熱源引起的誤差，則采用傳統(tǒng)的多元線性回歸法進行建模，合成模型具有很高的魯棒性并且較好地解決了不同環(huán)境溫度下的熱誤差模型魯棒性不足的問題。

在建模方法的討論上，近年來機器學習領域中發(fā)展起來的支持向量機(support vector machine)理論具備了很多傳統(tǒng)神經網絡模型所不具備的優(yōu)勢，包括[10]：

(1)具有較好地處理非線性問題的能力。

(2)具備全局最優(yōu)解，避免了神經網絡的局部極值問題。

(3)較高的計算效率，因為經過訓練后的支持向量只占訓練樣本的很小一部分，因此極大地節(jié)省了存儲空間。

(4)相較于神經網絡模型，可以更好地處理高維輸入向量。

因此，支持向量機是一種有效的機器學習方法，在建立機床熱誤差數學模型的應用中具有獨特的優(yōu)勢。

同時，為獲得具有較高魯棒性的誤差模型，Ramesh, R等人提出了對誤差進行分類的思想[11-12]。其中，文獻[10]介紹了一種采用支持向量機對不同載荷下的熱誤差進行分類后，再次采用支持向量回歸機(support vector regression machine, SVRM)進行建模的方法，具有一定參考價值。而文獻[13]在算法層面上提出了基于SOM神經網絡聚類的SVM模型，具有一定新穎性。

受此啟發(fā)，結合上文提到的機床內外熱源的概念，本文提出了一種基于SOM神經網絡聚類的支持向量回歸機熱誤差模型(SOM-SVRM)，旨在通過利用自組織特征映射神經網絡(Self-Organizing Feature Map Neural Networks, SOM NN)良好的聚類性能，將樣本數據中不同季節(jié)由外部熱源所左右的機床溫度數據進行分類后，分別采用支持向量回歸機對所有機床測溫點(包括內部熱源測溫點和外部熱源測溫點)所得溫度數據進行熱誤差建模的方法來提高模型的魯棒性和通用性。該方法特點如下：

(1)利用SOM神經網絡可以對不同季節(jié)的機床外部熱源溫度數據進行有效的分類。通過對SOM神經網絡的訓練，不斷調整其輸出層的權值系數，最終使網絡具有針對不同模式的溫度輸入向量的聚類能力，有效區(qū)分數控機床在不同季節(jié)的外部熱源溫度數據，將其結合同時刻的內部熱源溫度數據傳遞給下游支持向量回歸機進行建模。

(2)采用支持向量機對經神經網絡聚類后的內外熱源溫度數據集進行熱誤差的建模。

模型結構圖如圖1所示。

圖1 SOM-SVRM模型結構圖

本文首先介紹了針對機床熱誤差的SOM神經網絡聚類和支持向量回歸機建模原理，其后針對同一臺機床在冬夏兩個季節(jié)的相同工況下所采集的溫度數據進行熱誤差建模，并將結果與單一季節(jié)模型建模結果進行比較，用以驗證。

1 溫度測點的優(yōu)化和內外熱源的區(qū)分

在模型建立之前，需要確定哪些溫度測點對于機床來說是內部熱源，哪些是外部熱源。這里提出一種根據所測溫度數據在一天內與環(huán)境溫度之差的大小進行確定的方法。

針對所測量的機床，在選取了適量溫度測點后，截取其在一天24h內所測數據進行分析，計算該測溫點與當天室內環(huán)境溫度的差值的絕對值ΔT并繪制曲線，分析該曲線的波動情況。

為簡便起見，這里僅分析ΔT的最大值。根據實測溫度數據分析可得如下結論：如果ΔT最大值ΔTmax<5℃則可認為該測溫點主要受外部環(huán)境熱源影響，即該點數據對于機床熱誤差為外部熱源溫度數據，該點的數據將作為SOM神經網絡分類器的輸入的一部分。反之，則為內部熱源溫度數據，該點溫度將在SVRM回歸機模型中作為輸入數據的一部分。

假設外部熱源由n個傳感器的數據組成，內部熱源由m個傳感器的數據組成，則SOM網絡的輸入向量為n維，SVRM模型的輸入向量為n+m維。

2 SOM神經網絡原理

自組織特征映射神經網絡的運行包括網絡的訓練和工作階段[10]，訓練階段包括競爭、合作和更新三個過程，競爭過程確定獲勝神經元，合作過程確定獲勝鄰域，更新過程改變鄰域內神經元的權值。SOM神經網絡的拓撲結構分為兩層，包括輸入層和輸出層，其中輸入層神經元僅僅起到簡單傳遞輸入樣本的作用，而輸出層神經元分布在二維、三維甚至更高維的網格中。 設樣本數據為u=(u1,u2,…,uN)T∈RN，即分布在機床上的N個溫度傳感器所測溫度值，則輸入層包含N個神經元。設輸出層(即為競爭層)，包含M個神經元，其中每個神經元都與輸入層神經元以一定權值連接，權值為ωij(i=1,2,…,N；j=1,2,…,M)。任意一個競爭層神經元的權值向量為ωj=(ω1j,ω2j,ω3j,…,ωNj)T∈RN。故競爭層神經元的輸入：

(1)

競爭層神經元的輸出為yj=f(xj)。 f(x)在搭建完神經網絡的結構之后，就可以開始對其進行學習訓練。自組織特征映射學習網絡的學習算法依次包括以下步驟[10]：

初始化→采樣→競爭→合作→自適應(即權值調整)→更新學習率→判斷循環(huán)是否結束。

限于篇幅，這里不對每一流程詳細展開，讀者可查閱相關資料或者參考文獻。

經過以上的學習過程，SOM神經網絡應當具備了對輸入向量的聚類功能。而聚類的過程如下：

(1)對經過學習后的SOM網絡輸出層各神經元標以記號，以表示該神經元所對應的季節(jié)類型；

(2)將待檢樣本(即由外部熱源溫度數據組成的輸入向量)輸入到SOM神經網絡中；

(3)若競爭層(即輸出層)獲勝神經元在輸出層的位置與某季節(jié)神經元的位置相同，說明該輸入溫度數據屬于該種季節(jié)的數據。若獲勝神經元在競爭層的位置介于不同季節(jié)神經元之間，說明該輸入溫度數據為兩季節(jié)之交所采集得到的數據，且其更靠近哪一個季節(jié)由該位置與某季節(jié)標準樣本的位置的歐氏距離決定。

溫度數據經過SOM聚類之后，便可以分別輸入到不同的支持向量機模型中進行熱誤差建模(見圖2)。

圖2 二維自組織特征映射神經網絡結構圖

3 支持向量回歸機(SVRM)模型原理

機床熱誤差模型是典型的非線性模型，熱誤差與溫度或者開機時間、轉速等因素的函數關系不呈線性。因此，對于該問題的建模應當采用支持向量機的非線性回歸模型。限于篇幅，關于SVRM的相關數學推導和演算，本文不作深入探討。這里直接給出如下回歸函數：

f(x)=w·φ(x)+b

(2)

該回歸函數是通過將分類問題中的廣義最優(yōu)超平面的法向量w最小化問題(即二次凸優(yōu)化問題)轉化為求解拉格朗日函數的對偶變量的最大值問題而導出的[14]，其中x為經過SOM神經網絡聚類之后的訓練樣本點。在求解二次凸優(yōu)化問題時還需要確定的參數包括ε損失系數以及懲罰系數C。經過計算之后得到回歸函數為下式[14]：

(3)

(4)

k(xi,x)=exp-|x-xi|22σ2

(5)

其中,σ是函數的寬度參數，控制著函數的徑向作用范圍。

這樣，在求解過程中需要確定的參數有：懲罰系數C，損失系數以及核函數中的寬度參數σ，可以通過經驗確定，也可以通過粒子群算法等算法進行優(yōu)化得到[16]。

4 實驗與仿真

依據本文的觀點，對一臺型號為HTM40100h的車銑復合中心進行了誤差補償實驗。限于篇幅，這里僅就該方法在冬季和夏季的機床主軸x向熱漂移誤差建模效果進行評估。根據有關機床溫度布點優(yōu)化實驗和理論分析結論[17]，對機床床身的測溫點進行了優(yōu)化布置，最終確認一共使用4個測溫點，其分布以及所屬熱源類別如表1所示。同時，在刀架上安裝基恩士激光位移傳感器，用于測量主軸的熱誤差。

表1 所屬熱源類別

4.1 實驗方案

實驗方案如下：

(1)在冬季和夏季兩個季節(jié)中分別選取比較有代表性的一天進行機床溫度和熱誤差測量，該組溫度數據和熱誤差數據用于建模，標以實驗1組和實驗2組。

(2)在所選取的測量日之后第二天使機床冷機，第三天進行同樣的測量，并且要求同季節(jié)兩次測量時環(huán)境溫度最高值和最低值相差不大于5℃。該組數據用于驗證模型。標以驗證1組和驗證2組。

(3)在四個測量日，以早晨六點作為測量初始點，使機床開機，主軸以恒定轉速空切削，持續(xù)運行5h(300min)，獲得在此時間段內的溫度和熱誤差數據。

這樣，一共獲得四組溫度和熱誤差數據。實驗1組和2組用于模型的建立，驗證1組和2組用于驗證模型的精度。根據方案，所選擇的測量日分別為：

夏季：2013年7月20日數據作為實驗1組，2013年7月22日數據作為驗證1組。

冬季：2014年12月8日數據作為實驗1組，2014年12月10日數據作為驗證2組。

4.2 SOM網絡的訓練和分類應用

首先須建立SOM網絡模型，這里運用matlab神經網絡工具箱建立一個競爭層包括36個神經元的SOM網絡[18]，其拓撲結構如圖3所示。將實驗1組和實驗2組數據中的外部熱源溫度向量(二維向量)代入SOM

圖3 SOM神經網絡拓撲結構 圖4 SOM網絡神經元分類結果

網絡進行訓練，訓練次數上限設定為100次。訓練后的網絡中各個神經元的分類如圖4所示。圖中左下角和右上角的兩個神經元分別代表冬季和夏季兩個季節(jié)，神經元標號分別為1和36。

如果輸入數據在神經網絡的競爭層中激發(fā)兩個神經元中的某一個，或者其鄰近區(qū)域內某一神經元，則代表該輸入溫度數據屬于相應季節(jié)的數據。這里從驗證組選取四組溫度數據進行分類測試，包含兩組夏季溫度數據和兩組冬季溫度數據，如表2所示。定義變量result代表測試結果，其值即為輸入數據在SOM網絡競爭層激起的獲勝神經元的標號。

表2 SOM分類測試溫度數據表

分類測試結果如表3所示。

表3 SOM數據分類測試結果

可見，經過100次訓練的網絡可以很精確地區(qū)分夏季和冬季溫度數據。

4.3 支持向量回歸機模型的訓練和誤差預測應用

在完成了對外部熱源溫度向量的分類之后，即可將對SVR模型進行訓練和建模。這里分別給出夏季和冬季兩次驗證組預測誤差的結果，如圖5所示。其中誤差數據采集自數控機床主軸在300min內的徑向熱漂移。由圖可見，無論是冬季還是夏季模型，預測的殘差被成功控制在±0.5μm以內，模型的精確性和魯棒性得到了很好的驗證。而之所以夏季熱誤差擬合結果更可觀的原因可能是夏季熱誤差在開始的上升階段的上升趨勢趨于平穩(wěn)，這樣會更加利于模型的學習，而出現這樣的現象的原因主要是數控機床主軸在夏季室溫以及機床溫度本身較高，開機到機床達到熱平衡的熱機階段溫升較小，且趨勢緩慢，因此熱變形趨勢趨于平緩，而冬季室溫較低，熱機階段機床溫度迅速攀升，導致主軸熱誤差增長趨勢也較陡峭。如果未經分類，將夏季溫度數據代入冬季模型進行預測并且將冬季溫度數據代入夏季模型進行預測可得到如圖6所示結果。可見，如果不對溫度數據采取分類處理，擬合殘差明顯增大，模型將失去其魯棒性。

(a)冬季誤差擬合結果

(b)夏季誤差擬合結果

圖5 主軸熱漂移誤差補償結果

(a)夏季模型擬合冬季熱誤差結果

(b)冬季模型擬合夏季熱誤差結果

圖6 冬夏兩季模型與數據交叉擬合結果

5 結束語

本文提出利用SOM-SVR模型對于不同季節(jié)的機床熱誤差進行了建模和預測，研究結果表明采用SOM對數據進行預分類之后的支持向量機模型具有較高的精度，采用該模型對不同季節(jié)機床熱誤差進行擬合前后的殘差值被控制在5μm以內，因此該模型適用于不同季節(jié)復雜工況下的機床熱誤差建模和預測，并被運用于數控機床熱誤差補償領域。本文在完善了機床熱誤差建模方法的同時，提出了根據不同季節(jié)機床所表現出的不同溫升趨勢來進行熱誤差建模的思想，在熱誤差建模季節(jié)性預分類領域踏出了第一步。

另外，在數控機床誤差預分類建模領域仍有亟需改進之處，具體包括：

(1)對于機床內外熱源的劃分方法較為簡單，如果可能，可以采用其他分類方法加以區(qū)分，如機理分析法以及有限元分析法。

(2)由于當內部熱源與環(huán)境溫度溫差增大時，內部熱源對于機床熱誤差的影響會隨之增大，可考慮在模型公式中加入權重因子，針對不同的內外熱源溫差調整輸入向量中各項的值，從而更加精確地模擬不同季節(jié)的情況。

(3)如何將分類建模的方法擴展到全年任何季度仍須深入研究，這意味著某一季度的SVR模型將能夠適應環(huán)境溫度的連續(xù)漸變。這需要在全年不同時段采集多組機床熱誤差數據，分析其漸變趨勢和機理，并建立更有針對性的模型。

[1] 楊建國．數控機床誤差綜合補償技術及應用[D]．上海:上海交通大學,1998.

[2] Chang Long Zhao, Yi Qiang Wang, Xue Song Guan. The thermal error prediction of NC machine tool based on LS-SVM and Grey Theory [J]. Applied Mechanics and Materials, 2009,16-19: 410-414.

[3] 楊建國，任永強，朱衛(wèi)斌，等．數控機床熱誤差補償模型在線修正方法研究[J]．機械工程學報，2003，39(3):81-84.

[4] 楊漪, 姚曉棟,楊建國,等．基于主成分分析與BP神經網絡相結合的機床主軸熱漂移誤差建[J]. 上海交通大學學報，2013，47(5):750-753.

[5] 張毅.數控機床誤差測量、建模及網絡群控實時補償系統(tǒng)研究[D]. 上海:上海交通大學,2013.

[6] 朱小龍, 楊建國,代貴松.數控機床定位誤差全溫度綜合建模及實時補償[J]. 組合機床與自動化加工技術, 2014(5):83-86.

[7] 代貴松,楊建國,朱小龍.基于因子分析和貝葉斯估計的機床熱誤差建模[J]. 組合機床與自動化加工技術, 2013(9):5-8.

[8] Zihan Li, Kaiguo Fan.Time-varying positioning error modeling and compensation for ball screw systems based on simulation and experimental analysis[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014,73(5-8):773-782.

[9] Bo Tan.A thermal error model for large machine tools that considers environmental thermal hysteresis effects. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014,82-83: 11-20.

[10] 韓敏.人工神經網絡基礎[M]. 大連: 大連理工大學出版社,2014.

[11] R Ramesh, M A Mannan.Support Vector Machines Model for Classification of Thermal Error in Machine Tools[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2002, 20(2),114-120.

[12] R Ramesh, M A Mannan.Al-based classification methodologies for the modelling of machine tool thermal error[J]. Technical Paper-Society of Manufacturing Engineers. MR, 2002, MR02-192,1-8.

[13] 王文劍.支持向量機建模及應用[M]. 北京:科學出版社, 2014.

[14] 苗恩銘,龔亞運,成天駒,等.支持向量回歸機在數控加工中心熱誤差建模中的應用[J]. 光學精密工程, 2013, 21(4):980-986.

[15] Lin, Weiqing.Support Vector Machine and Neural Network united system for NC machine tool thermal error modeling[C].Proceedings-2010 6th International Conference on Natural Computation, 2010,8,4305-4309.

[16] 熊偉麗.粒子群算法在支持向量機參數選擇優(yōu)化中的應用研究[A]. 中國控制與決策學術年會論文集[C].沈陽, 東北大學出版社, 2007:447-449.

[17] Li Y X.Optimization of measuring points for machine tool thermal error based on grey system theory[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2008, 35(7-8): 745-750.

[18] 史峰.MATLAB神經網絡30個案例分析[M].北京:北京航空航天大學出版社, 2010.

(編輯 李秀敏)

Modeling for Thermal Error of Machine Tool Based on SOM Neural Network and Support Vector Regression Machine

CHEN Zhuo，LI Zi-han，YANG Jian-guo，YAO Xiao-dong

(School of Mechanical Engineering,Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China)

In order to reduce the impact of seasonal thermal error of spindle on CNC machine tool, a novel method of modeling based on preclassification by SOM neural network and Support Vector Regression Machine(SVRM) is proposed. Experiment was performed on a HTM40100h turning milling machining center. Temperature and error data both in Summer and Winter were collected, and the measuring points of temperature on machine tool were classified into internal heat sources points and external ones. The temperature data of external heat sources points were input into SOM neural network for seasonal classification. The data of classified external heat sources points along with the meanwhile data from internal heat sources points were input into corresponding SVRM model for error fitting. The comparison between modelling with and without preclassification shows that, the former one presents much better robustness and precision in two different seasons.

machine tool; SOM neural network; support vector regression machine; seasonal preclassification

1001-2265(2016)11-0068-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.11.019

2015-12-07；

2016-01-06

上海市軍民結合產業(yè)發(fā)展體系建設項目(JMJH2013002)；上海市閔行區(qū)產學研項目(2013MH111)；遼寧省科技創(chuàng)新重大專項(201301001)；上海市產學研項目(滬CXY-2013-29)

陳卓(1989—)，男，長沙人，上海交通大學碩士研究生，研究方向為機床主軸熱誤差測量和補償，(E-mail)john02142005@sjtu.edu.cn；楊建國(1951—)，男，上海人，上海交通大學教授，博士生導師，研究方向為精密加工與測試，數控機床誤差檢測、建模、補償，(E-mail)jgyang@sjtu.edu.cn。

TH132；TG659

A