Hom-李超代數的同調和非交換張量積

王 涵，張慶成

(東北師范大學 數學與統計學院，長春130024)

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Hom-李超代數的同調和非交換張量積

王 涵，張慶成

(東北師范大學 數學與統計學院，長春130024)

本文給出了Hom-李超代數的非交換張量積的概念,得到了有關Hom-李超代數的同調及Hom-李超代數的非交換張量積的重要性質,豐富了Hom-李超代數的理論.

Hom-李超代數；同調；非交換張量積

2006年Hartwig,Larsson和Silvestrov為了更好的描述Witt代數和Virasoro代數提出了Hom-李代數[1]的定義, Hom-李代數理論對數學、物理學等領域的發展起到了十分重要的促進作用.在文獻[2-4]中,Ammar和Makhlouf將Hom-李代數推廣得到Hom-李超代數,并獲得了重要的結果.隨時間的推移,Hom-李超代數的一些性質和相關結果得到了廣泛的研究,請參考文獻[5-8],這豐富了李代數體系的研究內容.本文推廣文獻[9]和文獻[10]的的相關內容,給出了Hom-李超代數的非交換張量積的概念,構造并研究Hom-李超代數的非交換張量積.

1 Hom-李超代數

a)[x,y]=-(-1)|x||y|[y,x]；

b)(-1)|x||z|[αL(x),[y,z]]+(-1)|y||x|[αL,(y),[z,x]]+(-1)|z||y|[αL(Z),[x,y]]=0；

則稱(L,[-,-],αL)是一個Hom-李超代數.

其中(b)式稱為階化Hom-Jacobi等式,而且這個等式和下面的式子等價:

[αL(x),[y,z]]=[[x,y],αL(z)]+(-1)|x||y|[αL(y),[x,z]].

對于伴隨表示adx=L→L,有adx(y)=[x,y],則階化Hom-Jacobi等式可寫成如下形式：

adαL(x)ady=ad|x,y|αL+(-1)|x||y|adαL(y)adx.

定義2【5】如果一個偶線性映射αL對任意x,y∈L有αL[x,y]=[αL(x),αL(y)], 則稱Hom-李超代數(L,[-,-],αL)是保積的.

例1

a)定義1中,當αL=Id時,該定義即為李超代數的定義.因此李超代數是Hom-李超代數的一個子范疇,是一個特殊的Hom-李超代數.

b)令(A,μA,αA)是一個保積的Hom-結合超代數,如果對任意齊次元素x,y∈A有[x,y]=μA(x,y)-(-1)|x||y|μA(y,x),那么(A,[-,-],αA)就是一個保積的Hom-李超代數.

c)(L,[-,-])是一個李超代數,α∶L→L是一個李超代數自同態,定義[-,-]α∶L?L→L,對任意的x,y∈L，有[x,y]α=α[x,y]=[α(x),α(y)],那么(L,α)和括積[-,-]α一起構成了一個保積的Hom-李超代數.

定義3 設(L,[-,-],αL)和(L′,[-,-]′,αL′) 是Hom-李超代數, f∶L→L′是Hom-李超代數線性映射,若對任意x,y∈L滿足:

a)f([x,y])=[f (x), f(y)]′；

b)f°αL(x)=αL′°f(x)；

則稱f∶(L,[-,-],αL)→(L′,[-,-],αL′)是一個Hom-李超代數的同態映射.

如果兩個Hom-李超代數(L,[-,-],αL)和(L′,[-,-]′,αL′)之間有一個同態映射f∶L→L′,且其為雙射,則這兩個Hom-李超代數同構.

保積的Hom-李超代數的同態映射是基本Hom-李超代數的同態映射.在下面的內容中,我們所提到的Hom-李超代數都為保積的Hom-李超代數.

a)[x,y]∈H；

b)αL(x)∈H；

則稱(H,αH)是一個Hom-李超子代數.

如果對任意x∈H,y∈L,有[x,y]∈H,那么(L,αL)的一個Hom-李超子代數(H,αH)叫做階化Hom-理想.

定義5Hom-李超代數(L,[-,-],αL)的中心是一個超子空間,有

Z(L)={x∈L|[x,y]=0,?y∈L}.

注:當αL∶L→L是一個滿的自同態映射時,(Z(L),αZ(L))是(L,αL)的一個階化Hom-理想.同時在括積運算不發生混淆的情況下,記(L,[-,-],αL)為(L,αL).

定義6 設(L,αL)和(M,αM)是Hom-李超代數,一個偶的雙線性映射ρ∶L?M→M,有ρ(x?m)=x·m,對任意齊次元素x,y∈H和m,m′∈M滿足下面條件：

a)[x,y]·αM(m)=αL(x)·(y·m)-(-1)|x||y|αL(y)·(x·m)；

b)αL(x)·[m,m′]=[x·m,αM(m′)]+(-1)|x||m|[αM(m),x·m′]；

c)αM(x·m)=αL(x)·αM(m)；

那么稱其為從(L,αL)到(M,αΜ)的Hom-作用.

在這些條件下,我們也說(L,αL)Hom-作用于(M,αM).

如果對任意x∈L和m∈M,有x·m=0,那么稱Hom-作用是平凡的.

定義7 設(L,αL)是Hom-李超代數,如果(M,αM)是一個交換Hom-李超代數,并且有一個從(L,αL)到(M,αM)的Hom-作用,那么(M,αM)就是(L,αL)上的Hom-超模,即一個偶的雙線性映射ρ∶L?M→M,有ρ(x?m)=x·m,對任意齊次元素x,y∈L和m,m′∈M滿足下面條件：

a)[x,y]·αM(m)=αL(x)·(y·m)-(-1)|x||y|αL(y)·(x·m);

b)αM(x·m)=αL(x)·αM(m).

例2

a)L和M是李超代數,有一個從L到M上的李作用,那么(L,ld1)Hom-作用于(M,αM).

b)L是一個李超代數,α∶L→L是一個自同態,假設M是一個通常意義下的超模,且L到M上的作用滿足對任意齊次元素x∈L和m∈M,有α(x)·m=x·m,則(M,αM)是Hom-李超代數(L,α)上的一個Hom-超模(參考例1(c)).

d)Hom-李超代數的交換序列是指Hom-李超代數的一個短正合列:

其中(M,αM)是一個可交換Hom-李超代數,滿足αK°i=i°αM和π°αK=αM°π.通過定義ρ∶L?M→M,有ρ(l,m)=[k,m],且π(k)=l,則這個交換序列誘導出(M,αM)上的Hom-超模結構.

定義8 有兩個Hom-李超代數(L,αL)和(M,αM),(L,αL)到(M,αM)上有一個Hom-作用,在基本向量超空間M⊕L上我們定義Hom-李超代數的半直積為(M?L,α?), 對任意齊次元素x,x1,x2∈L和m,m1,m2∈M滿足

[(m1,x1),(m2,x2)]=([m1,m2]+αL(x1)·m2-(-1)|m1||x2|(αL(x2)·m1,[x1,x2])

(1)

且有自同態α?∶M?L→M?L使得α?(m,x)=(αM(m),αL(x)).

事實上,(M?L,α?)是一個Hom-李超代數,并存在一個Hom-李超代數的短正合列:

(2)

其中i(m)=(m,0),π(m,l)=l.同時(M,αM),是(M?L,α?)的一個階化Hom-理想. 如果存在s∶,(L,αL)→(M?L,α?)使得s(l)=(0,l),則這個正合列是可分的.那么,正如例2(c)所述,若其滿足l·m=i-1[(0,l),(m,0)]=i-1(αL(l)·m,0)=αL(l)·m,則存在(L,αL)到(M,αM)的Hom-作用.

定義9Hom-李超代數的一個同態映射?∶M→L和(L,αL)到(M,αM)的Hom-作用,如果對任意齊次元素x∈L和m,m′∈M滿足下列條件:

a)?(x·m)=[x,?(m)]；

b)?(m)·m′=[m,m′]；

c)?°αM=αP°?；

那么就稱這個同態映射為Hom-李超代數的交叉模.

例3

a)Hom-李超代數(L,αL)和其階化Hom-理想(M,αM)之間的內射MP是一個Hom-李超代數交叉模.

b)如果(L,αL)是一個Hom-李超代數,(M,αM)是一個Hom-超模,則平凡映射0∶M→L是一個Hom-李超代數交叉模.

定義10 (M,αM)是一個Hom-李超代數(L,αL)上的Hom-超模,一個線性映射d∶L→M滿足：

a)d([x,y])=(-1)|d||x|·αL(x)·d(y)-(-1)(|d|+|x|)|y|αL(y)d(x);

b)αM°d=d°αL;

稱其為(L,αL)到(M,αM)的導子.

2 Hom-李超代數的同調

有

于是,系數在Hom-超模(M,αM)里的Hom-李超代數(L,αL)的同調表示為：

那么,由此可以計算一些低維的結果:

其中ML={m·l∶m∈M,l∈L}.

如果(M,αM)是一個平凡Hom-超模,即m·l=0,那么

3 Hom-李超代數的非交換張量積

a)(n·m)·n′=-(-1)|m||n|[m·n,n′];

b)(m·n)·m′=-(-1)|m||n|[n·m,m′];

則稱Hom-作用是相容的.

例4 如果(H,αH)和(H′,αH′)是Hom-李超代數(L,αL)的階化Hom-理想,則(H,αH)和(H′,αH′)之間的Hom-作用是相容的.

a)[m,m′]?αN(n)-αM(m)?m′·n+(-1)|m||m′|(αM(m′)?m·n)；

b)αM(m)?[n,n′]-(-1)|n′|(|m|+|n|)(n′·m?αN(n))+(-1)|m|n|(n·m?αN(n′))；

c)(n·m)?(m·n),其中|m|=|n|；

d)(-1)|m|n|(n·m)?(m′·n′)+(-1)(|m|+|n|)(|m′|+|n′|)+|m′|·|n′|(n′·m′)?(m·n)；

e)(-1)(|m|+|n|)(|m″|+|n″|)+|m|m|+|m′||n′|[n·m,n′·m′]?(m″·n″)+C·P·((m,n),(m′,n′),(m″,n″))；

其中C·P·((m,n),(m′,n′),(m″,n″))是(m,n),(m′,n′),(m″,n″))的輪換.

命題1 商向量超空間(M?N)/D(M,N)有括積運算

[m?n,m′?n′]=-(-1)|m||n|(n·m?m′·n′)

(3)

和由αM?N誘導的自同態映射(M?N)/D(M,N)→(M?N)/D(M,N),則(M?N)/D(M,N)是一個Hom-李超代數.

證明 很明顯αM?N是對D(M,N)中的元素和式(3)所定義的括積運算保持封閉的,而這個括積和(M?N)/D(M,N)上定義的關系是一致的,并且可以從生成元擴展到任意元素.由于(M,αM)和(N,αN)間的相互的Hom-作用是相容的,則通過直接計算可知式(3)的運算滿足定義1的(a)式和(b)式.

定義12 (M?N)/D(M,N)稱為Hom-李超代數(M,αM)和(N,αN)的非交換張量積,為了方便記為(M★N,αM★N),且m?n等價類被記為m★n.

注:如果αM=IdM和αN=IdN,那么m★n是文獻[9]中的李超代數M和N的非交換張量積.

Hom-李超代數的非交換張量積也可以通過泛性質來定義,如下面所示.

a)h[m,m′],αN(n)]=h(αM(m),m′·n)-(-1)|m|m′|h(αM(m′),m·n)；

b)h(αM(m),[n,n′])=(-1)|n′|(|m|+|n|)h(n′·m,αN(n))-(-1)|m|n|h(n·m,αN(n′))；

c)h(n·m,m′·n′)=-(-1)|m||n|[h(m,n),h(m′n′)]；

d)h°(αM×αN)=αL°h；

則稱h是一個Hom-李超對.

例5

a)如果αL=IdL，αM=IdM和αN=IdN,那么定義13 就是文獻[9]中李超對的定義.

b)設(M,αM)和(N,αN)是Hom-李超代數(L,αL)的兩個階化Hom-理想,那么雙線性映射h∶(M×N,αM×αN)→(M∩N,αM∩N),滿足h(m,n)=[m,n]是一個Hom-李超對.

定義14 對一個Hom-李超對h∶(M×N,αM×αN)→(L,αL),如果對任意其它一個Hom-李超對h′∶(M×N,αM×αN)→(L′,αL′),存在唯一一個Hom-超代數同態映射θ∶(L,αL)→(L′,αL′),滿足θ°h=h′,那么稱h是廣泛的.

這種情形下,如果h是廣泛的,那么(L,αL)由(M,αM)和(N,αN)和它們的Hom-作用所決定的同構映射唯一確定.下面我們用Hom-李超代數的非交換張量積來描述它.

a)λ(m?n)=λm?n=m?λn;

b)(m+m′)?n=m′?n,其中m,m′有相同的階;

m?(n+n′)=m?n+m?n′,其中n,n′有相同的階;

c)[m,m′]?αN(n)=αM(m)?m′-n-(-1)|m|m′|(αM(m′)?m·n),

(αM(m)?[n,n′])=(-1)|n′|(|m|+|n|)(n′·m?αN(n))-

(-1)|m|n|(n·m?αN(n′)),d)[m?n,m′?n′]=-(-1)|m||n|(n·m?m′·n′).

命題2 如果Hom-李超代數(M,αM)和(N,αN)彼此平凡作用,且αM和αN是滿同態,那么(M★N,αM★N)是一個交換Hom-李超代數且存在一個同構映射:

(M★N,αM★N)?(Mab?Nab,αMab?Nab),

其中Mab=M/[M,M],Nab=N/[N,N]且αMab?Nab是由αM和αΝ所誘導的.

如果f∶(M,αM)→(M′,αM′)和g∶(N,αN)→(N′,αN′)是Hom-李超代數同態映射,并且(M,αM)和(N,αN),(M′,αM′)和(N′,αN′) 間的Hom-作用是相容的,使得f,g保持這些Hom-作用封閉,即：

則存在一個Hom-李超代數的同態

f★g∶(M★N,αM★N)→(M′★N′,αM′★N′),

滿足(f★g)(m★n)=f(m)★g(n).

[f(m1)★n1,m2★n2)=-(-1)|m1||n|f(n1·m1)★m2·n2∈Im(f★idN).

因此g★idN誘導了一個分解：

事實上,這是一個Hom-李超代數同構映射,有反過來的映射：

命題4 如果(M,αM)是一個Hom-李超代數(L,αL)的階化Hom-理想,則存在一個Hom-李超代數短正合列：

證明 我們知道是由投射(L,αL)→(L/M,αL/M)誘導出的一個函子同態,顯然它是一個滿射.令σ′：(M★L,αM★L)→(L★L,αL★L)和σ″：(L★M,αL★M)→(L★L,αL★L)是兩個由內射(M,αM)(L,αL)和恒等映射(L,αL)→(L,αL)誘導的函子同態,知σ為單射.對任意的x∈M★L和y∈L★M，令σ(x,y)=σ′(x)+σ″(y)，這樣是一個Hom-李超代數同態,τ°σ是一個平凡同態.而Im(σ)是由元素m★l和l★m所生成的,其中齊次元素m∈M,l∈L.同時由公式(3) 知,它是一個(L★L,αL★L)的階化Hom-理想.現在我們定義一個Hom-李超代數同態映射:

τ′:(L/M★L/M,αL/M★L/M)→(L★L，αL★L)/Im(σ).

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(編校：曾福庚)

Homology and Non-abelian Tensor Product of Hom-Lie Superalgebras

WANG Han, ZHANG Qing-cheng

(School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China)

The definition of non-abelian tensor product of Hom-Lie superalgebras was proposed, and some important properties about homology of Hom-Lie superalgebras and non-albelian tensor product of Hom-Lie superalgebras were obtained. Thus, these results enriched the theory of Hom-Lie superalgebras.

Hom-Lie superalgebras; homology; non-abelian tensor product

2016-07-07

國家自然科學基金資助項目(11171055)；吉林省自然科學基金資助項目(20130101068JC)

王涵(1990-)，女，黑龍江佳木斯人，東北師范大學數學與統計學院2014級基礎數學碩士研究生，主要研究方向為李理論.

張慶成(1960-)，男，吉林長春人，東北師范大學數學與統計學院教授，博士，主要研究方向為李理論.

O152.5

A

1008-6722(2016) 05-0044-06

10.13307/j.issn.1008-6722.2016.05.09