對角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣的數量冪等性

于明明，吳 炎

(海南熱帶海洋學院 數學系， 海南 三亞 572022)

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對角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣的數量冪等性

于明明，吳 炎

(海南熱帶海洋學院 數學系， 海南 三亞 572022)

設G是對角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣,利用矩陣理論和方法,研究并得到了對角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣G的k次數量冪等性,確定了方程Gk=λG有解的充要條件,其中k=2,3.

數量冪等矩陣;分塊矩陣;數量冪等性

1 引言與預備知識

2×2分塊矩陣的特殊性質(包括矩陣塊獨立性的結果)，對于矩陣的廣義逆的研究，以及線性統計估計與等式約束二次規劃問題的研究均有重要理論意義和應用價值[1-3]，特別是分塊矩陣的加權M-P逆在線性統計推斷、預報理論、控制系統分析、曲線擬合、數值分析等領域均有很好的實際應用[2].

文獻[1-3]主要研究分塊矩陣g一逆和加權M-P逆的塊獨立性，得到兩個和三個復矩陣塊獨立的充分必要條件,并揭示了不同定義下的塊獨立性定義之間的聯系.文獻[4]主要對冪等和n階k次冪等矩陣的一些秩性質進行研究，而文獻[5]利用矩陣方法給出了局部環上高次冪等矩陣的偽標準型和3次冪等矩陣的相似標準形及其在廣義逆中的應用.文獻[6]研究了m次數量冪等矩陣線性組合的可逆條件.文獻[7]則從另一方面研究并得到了局部環上3個冪等矩陣線性組合的廣義逆之間的關系，以及這些廣義逆之間包含關系成立的條件.文獻[8]主要研究了在一定條件下，復分塊矩陣是冪等矩陣且某些性質成立時，關于復分塊矩陣的廣義Schur補的性質.文獻[9]利用矩陣理論研究了相似變換下的冪零矩陣的{2,3}-逆問題,而文獻[10]利用矩陣理論和矩陣計算技巧研究了對角線元為數量冪等矩陣的高階上三角分塊矩陣的數量冪等性，并給出了2×2分塊上三角矩陣的{1,3}-逆表示式.

然而，上述文獻都沒有考慮關于對角線元為數量冪等矩陣的非上、下三角的一般2×2分塊矩陣的特殊性質(如冪等性等)的研究，因此其實質性問題仍待需要進一步的探討.本文利用矩陣理論和矩陣計算方法，特別是冪等矩陣的相似標準形理論,在實數域上研究了對角線元為冪等矩陣的一般2×2分塊方陣的低階數量冪等性質，得到若干個比較整齊的充要條件和結果.

為了使用方便,本文中用R表示實數域,用Rn×n表示R上所有n×n階矩陣的集合,用En表示n階單位矩陣,用r(A)表示矩陣A的秩,用N+表示全體正整數集,用A⊕B表示對角矩陣diag{A,B}.

定義1[6]設A∈Rn×n,λ∈R(λ≠0).若存在最小正整數k∈N+,使得Ak=λA,則稱A為k次冪等矩陣.

在本文中，不失一般性假設A∈Rn×n,D∈Rs×s,A2=A,D2=D(A≠0,D≠0;n,s∈N+),且不妨設r(A)=r,r(D)=t,則由文獻[5]易知,存在P1∈GLn(R)和P2∈GLs(R),使得

利用上述非零的冪等矩陣A,D和矩陣B∈Rn×s,C∈Rs×n構作如下2×2分塊方陣

(1)

令P=P1⊕P2,則有

(2)

其中可設

(3)

而

B11∈Rr×t,B12∈Rr×(s-t),B21∈R(n-r)×t,B22∈R(n-r)×(s-t)，

C11∈Rt×r,C12∈Rt×(n-r),C21∈R(s-t)×r,C22∈R(s-t)×(n-r).

在本文中，我們主要研究(1)式中的矩陣所確定的方程Gk=λG(k=2,3)有解的充要條件，以及相應的一些性質.

2 對角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣的數量冪等性

本節運用了冪等矩陣的相關性質，并通過一系列的計算得到以下兩個定理.

(4)

其中:B12,B21,C12,C21滿足B21C12=0,B12C21=0,C21B12=0,C12B21=0;P1∈GLn(R),P2∈GLs(R).

或者λ=2,且

(5)

其中:B11,C11滿足B11C11=Er,C11B11=Et;P1∈GLn(R),P2∈GLs(R).

(6)

由式(3)分別代入式(6)中各式，依次得到

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

首先，當λ=1時，由(11)式得到B11=0,B22=0,C11=0,C22=0,將之代入式(7)和式(10)，就得到

B21C12=0,B12C21=0,C21B12=0,C12B12=0 .

(12)

其中B12,B21,C12,C21滿足式(12)條件.

其次，當λ=2時，同樣由式(11)得到B12=0,B21=0,C21=0,C12=0,C22=0.將之代入式(7)和式(10)，就得到

B11C11=Er,C11B11=Et.

(13)

其中B11,C11滿足式(13)條件.

綜上討論可得，定理1結論成立.

(14)

其中,P1∈GLn(R),P2∈GLs(R),且Bij,Cij滿足如下條件

B11C11=0,C11B11=0,B11C12=0,C11B12=0,C21B11=0,B21C11=0,B22=B22C22B22,C22=C22B22C22.

或者λ=4,且

其中：P1∈GLn(R),P2∈GLs(R),且Bij,Cij滿足如下條件

(15)

由式(3)分別代入式(16)、(19)、(17)和式(18)，依次得到如下四個等式組

將(II1)中式(20)、(21)和(II2)中式(26)代入式(28)得到

將(II1)中式(20)代入上式并整理得到

(36)

類似地，利用(II1)中式(21)和(II2)中式(25)、(27)代入式(29)并整理得到

(37)

利用(II1)中式(22)、(23)和(II2)中式(26)代入式(30)并整理得到

(38)

利用(II1)中式(22)、(23)和(II2)中式(27)代入式(31)并整理得到

λB22=B22C22B22.

(39)

因此等式組(II3)等價于

(40)

同理，利用(II1)和(II2)中的關系式，可以將等式組(II4)得到變為如下等價的等式

(41)

由于等式組(I)等價于四個等式組(II1)-(II4)因此等式組(I)等價與如下等式組(II)

下面對等式組(II)分λ=1,或λ=4,或λ≠1且λ≠4的情況討論如下：

1)λ≠1且λ≠4，由(44)中第1式和(45)中第1式得到

(46)

由此得到

B11C11=0,C11B11=0,B11C12=0,C11B12=0.

(47)

將式(47)分別代入式(44)和式(45)中的第2和第3式，得到

B12=0,B21=0,C12=0,C21=0.

(48)

由此及式(46)得到

B11=0，C11=0.

(49)

將式(48)和式(49)分別代入式(42)和式(43)中的第1式，得到如下兩個矛盾方程

2)當λ=1時,由(44)和(45)中第1式得到

(50)

注意到式(42)和式(43)中B21C22=0,C21B12=0,由此及式(50)得到

B11C11=0,C11B11=0,B11C12=0,C11B12=0,C21B11=0,B21C11=0.

(51)

注意到式(42)和式(43)中有B12C22=-2B11C12,C12B22=-2C11B12,由此及式(50)、式(51)得到

B11=0,C11=0.

(52)

因此方程(II)等價于

也即G3=λG成立時有本定理中λ=1時的結論成立.

3)當λ=4,類似2)的討論，可得到式(5)的結果.

[1]Hall F J. Generalized inverses of a bordered matrix of operators[J].SIAM J. Appl. Math., 1975, 29:152-163.

[2]章里程,廖祖華.分塊矩陣加權Moore-Penrose逆的塊獨立性[J].數學雜志,2010,30(5):921-925.

[3]郭文彬,劉永輝,魏木生. 分塊矩陣g-逆的塊獨立性[J].數學學報,2004,47(6): 1205-1212.

[4]YonggeTian.Rankequalitiesforidempotentandinvolutorymatrices[J].LinearAlgebraandApplications. 2001, 335: 101-117. [5]吳炎,王鴻緒.環Z/pkZ上s次冪等矩陣及矩陣的加權廣義逆[J].大學數學,2004,20(6):55-59.

[6]楊忠鵬,傅丹娟,陳梅香.m次數量冪等矩陣線性組合的可逆性[J].數學研究,2010,43(2):178-184.

[7]吳炎.局部環上冪等矩陣線性組合的廣義逆之間的關系[J].純粹數學與應用數學,2012,28(2):155-166.

[8]楊曉英,劉新.分塊冪等矩陣廣義schur補的性質[J].云南師范大學學報,2009,29(6):18-21.

[9]吳炎.相似變換下冪零矩陣的{2,3}-逆的表示式[J].瓊州學院學報,2013,20(5):19-25.

[10]張宗杰,吳炎.對角線元為數量冪等矩陣的上三角矩陣及其應用[J].西南師范大學學報(自然科學版),2016,41(8)：6-11.

(編校：曾福庚)

Scalar-idempotent Properties of 2×2 Square Matrix of All Diagonal Elements in the Set of Idempotent Matrices

YU Ming-ming, WU Yan

(Department of Mathematics， Hainan Tropical Ocean University, Sanya Hainan 572022, China)

Let G be the 2×2 square matrix whose diagonal elements are idempotent matrices. By the matrix theory and methods, the k scalar-idempotent properties of the matrix G were studied, and the necessary and sufficient conditions for the existence of solution of equationsGk=λGwere obtained ,where k=2,3.

scalar-idempotent matrix; block matrix; scalar-idempotent property

2016-04-12

三亞市院地科技合作項目(2015YD24)

吳炎(1964-)，男，海南樂東人，海南熱帶海洋學院教授，研究方向為代數矩陣論及其應用.

O151.21

A

1008-6722(2016) 05-0050-05

10.13307/j.issn.1008-6722.2016.05.10