基于初始值優(yōu)化的灰色馬爾科夫鏈預(yù)測模型研究

李志亮，羅 芳

(寧德師范學(xué)院 計算機系，福建 寧德 352100)

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基于初始值優(yōu)化的灰色馬爾科夫鏈預(yù)測模型研究

李志亮，羅 芳

(寧德師范學(xué)院 計算機系，福建 寧德 352100)

在傳統(tǒng)灰色GM(1，1)預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，首先對預(yù)測模型的初始值進行優(yōu)化，然后采用馬爾科夫鏈對優(yōu)化后的模型進一步改進，建立了一種基于初始值優(yōu)化的灰色馬爾科夫預(yù)測模型，優(yōu)化后的模型可以有效提升預(yù)測的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性.最后通過對寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)的實例分析，驗證了新模型的有效性，拓展了灰色預(yù)測模型的應(yīng)用范圍，為寧德市旅游事業(yè)的發(fā)展提供了一種新方法和新思路.

初始值優(yōu)化;馬氏灰色預(yù)測模型;實例分析

0 引言

近年來，隨著旅游行業(yè)的快速發(fā)展，寧德市旅游產(chǎn)業(yè)規(guī)模越來越大，并且?guī)淼慕?jīng)濟效益日益擴大，旅游業(yè)已經(jīng)成為寧德市社會發(fā)展和經(jīng)濟發(fā)展的重要推動力量.旅游人數(shù)是衡量旅游業(yè)發(fā)展的重要指標(biāo)，與當(dāng)?shù)亟?jīng)濟發(fā)展和人民消費密切相關(guān)，而旅游人數(shù)的預(yù)測對于促進旅游業(yè)的發(fā)展有著重要的影響.目前旅游人數(shù)預(yù)測主要的方法包括時間序列法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型和灰色預(yù)測模型等[1]，這些預(yù)測模型中，灰色理論[2]中的GM(1，1)灰色預(yù)測模型具有數(shù)據(jù)樣本小、計算簡單、預(yù)測結(jié)果與實際結(jié)果較為擬合等特點，已經(jīng)被眾多學(xué)者研究和應(yīng)用[3]，并且很多學(xué)者已經(jīng)對GM(1，1)灰色預(yù)測模型進行了優(yōu)化和改進[4-5].王曉霞等運用GM(1，1)灰色預(yù)測模型建立了旅游人數(shù)預(yù)測模型，并應(yīng)用到牡丹江市的旅游人數(shù)預(yù)測中，得到了未來旅游人數(shù)的變化規(guī)律[6].王璐等對GM(1，1)模型進行優(yōu)化，并實例驗證了優(yōu)化后模型在預(yù)測結(jié)果上的有效性[7].優(yōu)化后的灰色預(yù)測模型已經(jīng)越來越多的應(yīng)用到旅游領(lǐng)域中，并起到了較好的效果[8-9].

雖然GM(1，1)模型具有上述優(yōu)點，但是其在預(yù)測波動性較強的數(shù)據(jù)序列時預(yù)測效果較差，并且在初值的選取方面還有待進一步的優(yōu)化[10]，而馬爾科夫鏈對于數(shù)據(jù)隨機波動較大的預(yù)測具有較好的預(yù)測精度和穩(wěn)定性[11]，因此采用馬爾科夫鏈對GM(1，1)灰色預(yù)測模型優(yōu)化有著較好的理論基礎(chǔ)和科學(xué)依據(jù).

結(jié)合上述學(xué)者的研究以及旅游歷史數(shù)據(jù)隨機波動較大的特點，首先在傳統(tǒng)灰色GM(1，1)預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，拓展預(yù)測數(shù)據(jù)的范圍，優(yōu)化GM(1，1)模型預(yù)測過程中的初始值.然后通過馬爾科夫鏈對優(yōu)化模型進行進一步的修正，進而提高預(yù)測模型的預(yù)測精度和穩(wěn)定性.最后以寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)預(yù)測為例，對比傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果、改進預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果和實際旅游相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)果，驗證優(yōu)化預(yù)測模型的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性.

1 灰色GM(1，1)預(yù)測模型中初始值的優(yōu)化

傳統(tǒng)的GM(1，1)預(yù)測模型，在一步累加得到的序列具有較強的灰指數(shù)率，參數(shù)a,b的選取對預(yù)測精度有著重要的影響，而原始數(shù)據(jù)和模型的初始值又直接影響這參數(shù)a,b的值，因此初始值的優(yōu)化對GM(1，1)預(yù)測模型的預(yù)測精度有著重要的影響.傳統(tǒng)的初始值是采用公式(1)進行計算初始值的，具體如下：

X(1)(i)=0.5×(X(0)(i)+X(0)(i-1)).

(1)

上述初始值的選取沒有對后續(xù)信息的利用，因此會對預(yù)測結(jié)果的精度產(chǎn)生不良影響.本文在傳統(tǒng)初始值計算的基礎(chǔ)上，通過對傳統(tǒng)初始值計算的優(yōu)化，來提高預(yù)測精度.本文中選取預(yù)測值殘差最小的X(1)的分量X(1)(i)最為灰色預(yù)測模型的初始條件，這樣充分利用了后續(xù)的新信息，可以較好的提高預(yù)測精度，初始值的選取公式如下：

X(1)=min(X(1)(i))，

(2)

其中i=1,2,…n.

則初始值優(yōu)化后灰色預(yù)測模型的時間響應(yīng)表達(dá)式為：

(3)

恢復(fù)原始序列，得到預(yù)測值：

(4)

2 馬爾科夫鏈修正后的模型

在初始值優(yōu)化的基礎(chǔ)上，結(jié)合馬爾科夫鏈理論，建立初始值優(yōu)化的灰色馬爾科夫鏈預(yù)測模型，進一步提高預(yù)測的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性.具體步驟如下：

1)計算殘差

由公式(5)計算殘差序列，用E(0)(k)表示:

(5)

其中k=1,2,…n.

2)劃分殘差狀態(tài)

根據(jù)公式預(yù)測模型中的殘差大小，劃分為m個狀態(tài)，每個狀態(tài)用Si表示，其中：Si∈[Li,Hi].Li和Hi表示第i個狀態(tài)的上下邊界：

(6)

其中k=1,2,…n;i=1,2,…m.

3)構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

(7)

(8)

4)得到預(yù)測值 根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，得到預(yù)測值：

(9)

其中：ui(t)表示灰色殘差序列中從上一個狀態(tài)變換為下一個狀態(tài)的概率，參數(shù)t為轉(zhuǎn)移的時間，vi表示區(qū)間的中點.

3 實例分析

采用寧德市近7年的旅游收入數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來自寧德市國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，以寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)數(shù)據(jù)為例，利用前6年寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)的歷史數(shù)據(jù)進行建模，預(yù)測寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)，原始的歷史數(shù)據(jù)見表1.

表1 2010-2015年寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)

注：表中總?cè)藬?shù)和后續(xù)表中的預(yù)測值與實際值的單位均為萬人.

根據(jù)表1中的實際數(shù)據(jù)，采用傳統(tǒng)的GM(1，1)預(yù)測模型和初始值優(yōu)化后的灰色預(yù)測模型，對2010年后的寧德旅游入境總?cè)藬?shù)進行預(yù)測，把預(yù)測結(jié)果、殘差分析和實際總?cè)藬?shù)進行對比.具體結(jié)果如表2.

表2 兩種預(yù)測模型的預(yù)測值、殘差和實際值

由表2可以看出，通過初始值優(yōu)化后預(yù)測結(jié)果比傳統(tǒng)的GM(1，1)預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果更為準(zhǔn)確，其殘差更小，波動幅度值更低.兩種預(yù)測模型對2015年寧德市入境總?cè)藬?shù)預(yù)測的結(jié)果分別是1877.91萬人和1857.6501萬人，而2015年寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)為1837.4萬人，可見預(yù)測結(jié)果隨著數(shù)據(jù)的增多，其波動值基本是降低趨勢，但是在波動范圍較大的變化時，比如2012年旅游人數(shù)急劇增加的時候，兩種預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果都有較大的波動，但比較起來，初始值優(yōu)化的預(yù)測模型較原始GM(1，1)預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果具有更高的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性.

下面通過馬爾科夫修正的灰色預(yù)測模型，對寧德市旅游總收入進行進一步的預(yù)測，過程如下.

1)劃分殘差狀態(tài)

根據(jù)表2中的殘差值，劃分殘差狀態(tài)數(shù)量為3個，分別表示增長趨勢減緩、增長趨勢增長和增長趨勢較快三個狀態(tài)，分別用S1、S2和S3，殘差采用初始值優(yōu)化后的殘差結(jié)果，其區(qū)間范圍分別為：

S1∈[-36.1794,-25.3187],S2∈[-25.3186,6.5251],S3∈[6.5252,53.0625].

2)構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)表2中殘差修正的數(shù)據(jù)，結(jié)合殘差狀態(tài)劃分，將表2中的數(shù)據(jù)殘差劃分為3個狀態(tài)，得到表3.

表3 寧德市旅游總收入預(yù)測與殘差狀態(tài)劃分

通過公式(11)計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，結(jié)合表3中狀態(tài)劃分，得到寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P：

3)得到預(yù)測值

結(jié)合狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，根據(jù)公式(13)得到預(yù)測值，預(yù)測結(jié)果見表4.

表4 灰色馬爾科夫模型預(yù)測結(jié)果

由表4可以看出，隨著數(shù)據(jù)量的增多，數(shù)據(jù)預(yù)測呈現(xiàn)更好的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，在初始值優(yōu)化基礎(chǔ)上的灰色馬爾科夫預(yù)測模型，可以更精確的預(yù)測寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)，特別是在數(shù)據(jù)波動較大的2012年，其預(yù)測結(jié)果與初始值優(yōu)化后的預(yù)測模型比較，和真實值的擬合性更好.

把傳統(tǒng)的GM(1，1)模型、初始值優(yōu)化后的預(yù)測模型和灰色馬爾科夫優(yōu)化后的預(yù)測模型的預(yù)測值進行整合，把三種預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果與真實值進行匯總分析，得到表5，表5中數(shù)據(jù)反映了三種預(yù)測模型與真實值的擬合情況.從表5可以看出，基于初始值優(yōu)化的灰色馬爾科夫預(yù)測模型具有更好的擬合性，與真實值的殘差更小，即預(yù)測結(jié)果更準(zhǔn)確，穩(wěn)定性更好.

表5 三種預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果與實際值

從表5中數(shù)據(jù)可以得出，對傳統(tǒng)GM(1，1)灰色預(yù)測模型改進過程中，預(yù)測結(jié)果的殘差是呈降低趨勢的，即初始值優(yōu)化模型的殘差小于傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型的殘差，而灰色馬爾科夫預(yù)測模型的殘差比初始值優(yōu)化的預(yù)測模型殘差更小，各種預(yù)測模型的殘差計算結(jié)果如表6.

表6 三種預(yù)測模型殘差結(jié)果比較

由表6的殘差數(shù)據(jù)對比可以看出，灰色馬爾科夫預(yù)測模型除了2011年預(yù)測的殘差較大外，其余年份預(yù)測結(jié)果殘差都是最小的，這說明隨著數(shù)據(jù)量的增多，其預(yù)測結(jié)果越來越擬合實際值，而且其在2012年數(shù)據(jù)波動性較大時的預(yù)測結(jié)果與實際結(jié)果更為擬合，驗證了基于初始值優(yōu)化的灰色馬爾科夫預(yù)測模型的有效性和準(zhǔn)確性.

4 總結(jié)

本文從傳統(tǒng)灰色預(yù)測的GM(1，1)模型的局限性出發(fā)，通過初始值優(yōu)化和馬爾科夫鏈對GM(1，1)模型進行優(yōu)化，優(yōu)化的灰色預(yù)測模型可以較好的解決傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型對隨機波動數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果不夠準(zhǔn)確的問題，拓展了傳統(tǒng)灰色GM(1，1)預(yù)測模型的應(yīng)用范圍，并較好的提高了預(yù)測精度和穩(wěn)定性.最后將優(yōu)化的灰色預(yù)測模型應(yīng)用到寧德市旅游入境人數(shù)的預(yù)測中，預(yù)測了寧德市旅游入境總?cè)藬?shù)，并與傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測模型和實際值進行對比，通過實例數(shù)據(jù)對比驗證了優(yōu)化預(yù)測模型的有效性和準(zhǔn)確性，為旅游業(yè)的發(fā)展提供決策支持.

未來工作中將進一步優(yōu)化殘差修正，尋求更優(yōu)殘差修正值，進一步提高預(yù)測的精度和準(zhǔn)確性.同時對其他的灰色預(yù)測模型進行研究，包括灰色Verhulst預(yù)測模型，深入研究這些模型的特點，拓展灰色預(yù)測模型的使用范圍，提升灰色預(yù)測模型的預(yù)測精度.

[1]王哲河,林越,張僑. Dijkstra算法在三亞旅游線路規(guī)劃中的應(yīng)用[J].瓊州學(xué)院學(xué)報,2015,22 (5):98-102.

[2]鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2002.

[3]劉思峰.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].7版.北京:科學(xué)出版社,2014.

[4]何俊,張玉靈.灰色預(yù)測模型的優(yōu)化及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2013,43(6)：86-89.

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(編校：曾福庚)

A Gray - Markov Chain Prediction Model Based on the Optimization of Initial Value

LI Zhi-liang，LUO Fang

(Department of Computer, Ningde Normal University, Ningde Fujian 352100, China)

On the basis of the traditional grey GM (1, 1) prediction model, the initial value of the forecasting model was optimized, and then Markov chain was used to further improve the optimized model. Based on the initial value optimization, a grey Markov prediction model was established. Consequently the optimized model can effectively improve the accuracy and stability of the prediction. Finally in order to provide a new method and new idea for the development of tourism in Ningde, by analyzing the instance of the total number of Ningde city tourism entry, the validity of the new model is verified, meanwhile the application range of the grey prediction model is expanded.

optimization of initial value; Markov Gray forecasting model; case analysis

2016-09-07

福建省中青年教師教育科研項目(JAT160543)；福建省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(201610398042)；寧德師范學(xué)院青年專項(2015Q05)

李志亮(1981-)，男，山東禹城人，寧德師范學(xué)院計算機系講師，研究方向為不確定系統(tǒng)理論.

O211.62；N941.5

A

1008-6722(2016) 05-0055-04

10.13307/j.issn.1008-6722.2016.05.11