基于Bootstrap技術的相干信源數估計

劉魯濤，馮凱

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱，150001)

基于Bootstrap技術的相干信源數估計

劉魯濤，馮凱

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱，150001)

針對信號源相干的問題，采用空間平滑技術對信號源去相關得到等效協方差矩陣，提出2種信源數檢測的方法，一種是基于等效協方差矩陣特征值的一系列假設檢驗，另一種是將等效陣列信號協方差矩陣分別投影到信號的特征子空間和噪聲的特征子空間，以特征空間投影為基礎的假設檢驗。數據的分布未知，并且應用Bootstrap方法估計零假設下提出的檢測統計量的分布。通過信噪比(RSN)、快拍數、角度分辨率變化等情況下的仿真，驗證所提方法的有效性。研究結果表明：所提算法在低信噪比及小樣本數量的情況下，性能比其他算法的性能好。

相干源；空間平滑；Bootstrap；假設檢驗

空間譜估計在許多應用領域有著重要作用。信源數檢測作為信號參數估計的先決條件，是空間譜估計中的熱點問題。近年來，空間譜估計研究領域取得了快速的發展，大量改進算法豐富了子空間類算法[1?3]。但信源在多徑傳播和復雜電磁干擾的背景下，會產生大量的相干和強相關信號，相干源個數估計是信源數檢測問題中的難點。目前，針對信源的解相干問題相關學者提出不少算法[4?8]，最為常見的為空間平滑及其改進算法。近幾年來提出了不少利用Toeplitz矩陣的結構特點來構造數據矩陣的算法：梁浩等[5]采用垂直放置的L型陣列，通過對重構的Toeplitz矩陣進行特征分解，得到對應的噪聲子空間；甄佳奇等[6]針對大多數解相干算法只能應用線陣而不能應用于均勻圓陣，利用空間差分方法和矩陣重構相結合來估計相干信號；閆康等[7]提出基于面陣的相干信源解相干問題，利用矩陣重構降低相干源對陣列協方差矩陣的秩的影響；王凌等[8]利用陣列接收數據之間的互相關信息，構造出2個Toeplitz矩陣形式的等效協方差矩陣，通過對新矩陣做一次特征值分解，即可實現解相干；毛維平等[9]沿軸向對陣列進行虛擬平移，利用空間平滑技術處理數據以恢復協方差矩陣的秩，實現相干信號解相干。在許多實際系統中，高斯數據和大樣本數量的假設無法滿足，GU等[10]提出了一種基于假設檢驗的替代方法，首先通過空間平滑對信號源去相關，然后進行假設檢驗。本文作者同樣對信號源采用空間平滑技術去除相關性，得到等效協方差矩陣，對等效協方差矩陣進行變換，得到不同的變量，分別進行假設檢驗。在零假設下檢驗統計量的分布使用Bootstrap方法來估計[11?12]，這種方法對高斯分布和大部分非高斯分布均有效。因此，新方法的優點是可以解決不滿足高斯分布和漸進條件下的問題。

1　數據模型

考慮N個遠場窄帶信號，入射到M維空間均勻線陣，d=λ/2，且入射方向為。假設M＞N，信源數N為未知估計量，從傳感器陣列接收的快拍數為L的零均值數據[13]表示為

式中：(?)H為矩陣的共軛轉置算子；I為單位矩陣。

信號和噪聲假設是不相關的，且各自分布未知，陣列協方差矩陣為

2　空間平滑技術去相關

空間平滑算法在一般情況下只適合于均勻線陣，應用在相干信號或相關性較強的信號去相關性時效果較好。空間平滑算法主要是把線陣分割為彼此重疊的幾個子陣列，它們有著相同的陣列流型，再把所有子陣列的協方差矩陣求平均，就可以去除信號的相干性。

2.1前向平滑

空間平滑算法將其均勻分為相互交錯的p個子陣，每個子陣的陣元數為m，即M=m+p?1，對每個子陣列逐步地右移，每個子陣列的輸出矢量表示為

若子陣列陣元數m＞N，子陣列數p≥N，則可將N個相干信源轉變為N個獨立信源。此時，有效陣元數將減少至m。

2.2前后向平滑

得后向平滑的信號協方差矩陣Rb[14]為

前后向平滑處理后，陣列協方差矩陣等效為

式中：Rbf為前后平滑后的等效協方差矩陣。N個信號源，其中有J個相干源，最小的子陣列數p≥J/2，可將平滑協方差矩陣的秩恢復為N，此時，最小陣列數為Mmin=p+N≥J/2+N 。對相關信源去相關后，可對信號進行準確的信源個數估計。

3　相干源算法估計原理

3.1基于特征值的假設檢驗

對等效協方差矩陣做特征值分解得

最小的mN?個特征值代表了噪聲空間，只需同時檢驗對應于噪聲空間的特征值，就可推導出信源數N。這個過程可被描述為

檢驗應從H0開始，若H0被接受，則意味著，沒有信號源存在，即信號源數N=0，若H0被拒絕，則相對的被接受，意味著至少存在1個信號，然而沒有具體信息能夠說明存在信號數量。因此，通過逐步檢驗假設Hi，最大的特征值的作用被減小。當某一假設成立或達Hm?1時，檢驗停止。對于給定的顯著水平α，當沒有信號存在時，正確檢驗出N=0的概率被維持在1?α。因此，每個假設都在全局顯著水平α下被檢驗。為進行式(11)的假設檢驗，給出檢驗統計量Ei為

檢驗統計量為特征值算術均值和幾何均值的差異，在實際中，若所有的特征值對應于噪聲空間，則檢驗統計量將非常小，甚至接近于0，否則將較大。

3.2Bootstrap對漸進分布的估計

進行假設檢驗的顯著度估計需要檢驗統計量零假設下的分布知識，用Bootstrap技術來進行空域下的非參數估計[14]。Bootstrap技術由EFORN等[15]在使用傳統方法計算置信區間失效時引入，近年來該方法在信源數檢測方面頗受關注，其主要采用有放回的重采樣方法計算變量的統計特性，使一組樣本變為多組樣本，相當于增大了樣本容量，這樣可充分利用樣本信息，利用現在樣本來模擬總體分布，避免了對數據分布做出假設。Bootstrap技術重采樣數據集進行推理，避免了在小樣本情況下漸進分布估計的錯誤。其核心步驟是：先建立樣本集，再重采樣得到Bootstrap數據集，執行檢驗推理。本節給出EBS(基于特征值的假設檢驗)方法，該方法應用特征值構造新的檢測統計量Ei，從而形成一些列的假設檢驗來檢測信源數。

將陣列快拍數據收集到1個數據陣列中，即

在原始數據中隨機抽取陣列快拍，作為新的快拍數據，每個快拍被抽取到的概率相同，為1/L，新的Bootstrap數據陣列為

通過B次Bootstrap方法重采樣得到B個重采樣樣本，第b個重采樣樣本為。分別計算數據()tX得到檢驗統計量Ei和重采樣樣本的檢驗統計量，文獻[15?16]闡述了零假設下的檢驗統計量Ei的經驗分布估計為

文獻[15?16]中假設檢驗的顯著度定義為

但形勢很快逆轉。2009年元旦，程曉帶方勛梅去海螺溝瘋玩了一天回來，程曉要送她回家，方勛梅嬌嗔道：“不呢，今晚你住哪我住哪！”程曉無法拒絕，戰戰兢兢地將女友帶到了自己的蝸居。

式中：()I?為指示函數。假設，顯著水平為α，從i=0開始，若eiPα≥則Hi被接受，否則，設1ii=+ 并且重復檢驗。可以認為顯著水平α為調整參數，當沒有信號存在時，α維持在很小的數值(一般小于5%)以減少錯誤檢測概率。在小樣本數、高信噪比或弱相關等理想情況下，通過減小α，能增大Bootstrap檢測的概率[16]。

3.3基于特征投影的假設檢驗信源數估計方法

Rbf的m?N個最小的特征值是噪聲方差的估計值，由式(3)得

由于信號特征子空間與導向矢量在同一空間內，對應的投影的模|pki|應為相對較大的值。由于特征子空間與導向矢量正交，對應的投影pki的模在理論上為0，而實際上常為相對較小的值。投影還可以表示為

由式(19)可知：Rbf在U的投影為UΗ，因此，可用U估計目標數。ui表示為。UΗ第 k行元素模的均值為

顯著水平與式(11)的α相同，與式(12)相似，使用如下的檢測統計量Vi：

若特征矢量對應噪聲空間，則檢測統計量Vi接近0。本節給出基于特征投影的假設檢驗信源數估計方法，PBS(基于特征投影的假設檢驗)方法，與前文EBS方法不同之處在于，這里的檢測統計量是基于特征投影形成的。與前文提到的B次Bootstrap方法重采樣得到B個重采樣樣本相同，第b個重采樣樣本為。分別計算數據X(t)得到檢驗統計量Vi和重采樣樣本的檢驗統計量，Vi的分布估計為

與式(14)類似，假設檢驗的顯著度viP定義為

從i=0開始，若eiPα≥，則Hi被接受，否則，設i=i+1并且重復檢驗。

4　仿真結果

利用計算機仿真試驗來進行算法的性能分析、比較、并驗證算法的有效性。考慮線性均勻陣列，陣元數M=8，快拍數L=100，2個等功率相干的信號分別從10°和24°的方向輻射到陣列上，重采樣次數B=100，檢驗顯著度為α=2%，M個陣元噪聲之間相互獨立，信噪比定義為RSN=10lg(Ps/Pn)，Ps為信號功率，Pn為噪聲功率，蒙特卡洛實驗次數為1 000次。對陣列協方差矩陣空間平滑處理去相關時，子陣列的陣元數為m=5，將基于特征值的假設檢驗方法簡稱為EBS，將基于特征投影的假設檢驗方法稱為PBS，與信息論準則(MDL)、蓋世圓的方法[17](GDE)和同類Bootstrap方法的T2檢測器(簡稱為BBS)對比[18]。取蓋氏圓方法中的D(L)=0.05。

圖1所示為在空間相干高斯信號和空間均勻高斯噪聲的條件下，檢測器性能與信噪比的關系對比圖。信噪比從?15 dB變化到20 dB，快拍數為100。由圖1可以看出：進行去相關處理后再進行信源數估計，得到的效果較理想。EBS和PBS方法性能優于其他算法性能，EBS算法性能最優。在低信噪比下，基于Bootstrap技術的算法檢測性能明顯高于其他算法的性能。在高信噪比的條件下，EBS和PBS算法的正確檢測概率接近100%。

圖1　高斯數據下改變RSN的檢測器正確檢測概率Fig. 1 High detecting probability of detection at different RSNwith Gaussian data

圖2所示為本文所提出方法在信源功率不相等的情況下的檢測性能。信號源為分別從10°和24°入射到陣列上的2個相干高斯信號，從10°入射的信號的信噪比為0 dB，從24°入射的信號的信噪比為0～10 dB，噪聲為空間均勻高斯噪聲，其他條件不變。由圖2可以看出：當信噪比的差異大于5 dB時，檢測器的性能開始下降，但EBS算法性能仍優于其他算法的性能；當信噪比差達10 dB時，EBS算法的正確檢測概率仍能到達70%。信源信噪比不同對GDE算法和MDL準則影響較大。

圖3所示為高斯數據下改變快拍數的檢測器性能，其中相干信號源功率相等，為0 dB，快拍數從20個變化到300個。由圖3可以看出：隨著快拍數的提高，檢測器的性能得到提高。當快拍數為20～100 時，基于Bootstrap技術的3種檢測器(BBS，EBS和PBS算法)的檢測性能均高于MDL和GDE方法的性能。這說明基于Bootstrap技術的算法在小快拍數的情況下性能優于其他算法的性能，其中EBS算法性能最優。

圖4所示為角度分辨率對檢測器性能的影響，其中信噪比為10 dB，快拍數為100個。2個相干信號源，一個從10°入射到陣列上，另一個的入射方向從10°變化到24°。從圖4可以看出：檢測性能隨著角度分辨率的增加而提高，基于Bootstrap技術的檢測器的角度分辨率優于其他算法的分辨率，其中EBS的最優。在高角度分辨率時，EBS和PBS方法的檢測器性能到達100%，是一致估計，但是BBS不是一致估計。

圖2　信源功率不相等情況下的檢測器正確檢測概率Fig. 2 High detecting probability of detection at different source powers

圖3　高斯數據下改變快拍數的檢測器正確檢測概率Fig. 3 High detecting probability of detection at different numbers of snapshots with Gaussian data

圖4 高斯數據下改變角度分辨率的檢測器正確檢測概率Fig. 4 High detecting probability of detection at different angular resolutions with Gaussian data

圖5所示為拉普拉斯信號下改變信噪比的檢測器性能，其中相干信號源為拉普拉斯信號，噪聲為空間均勻高斯噪聲。圖6所示為拉普拉斯噪聲下改變信噪比的檢測器性能，其中相干信號源為高斯信號，噪聲為空間均勻拉普拉斯噪聲。2個等功率相干的信號分別從10°和24°的方向輻射到陣列上，快拍數為100個，信號信噪比從?15 dB變化到20 dB。信息論準則是在高斯數據假設下的一致估計。如前文提到的，Bootstrap技術對數據分布做出估計時，不需要對數據分布做出假設，所以當信號源或者噪聲不滿足高斯分布時，基于Bootstrap技術的檢測方法仍然有效。由圖5和圖6可知：基于Bootstrap技術的檢測器性能同高斯數據的情況下相似，說明檢測器的魯棒性。

圖7所示為不同顯著水平α下的檢測概率。顯著水平α被認為是一個調整參數。當沒有信號存在時，α維持在很小的數值以減少錯誤檢測概率。從圖7可以看出：在相同條件下，α=5%的錯誤檢測概率比α=2%時的低，但減少的幅度并不顯著。所以，通常情況下α的取值一般小于5%即可。但隨著顯著水平α的降低，需更多的重采樣樣本來進行估計，并且計算量增加。

圖8所示為重采樣數B對檢測器性能的影響。以EBS檢測器為例，分別實驗在B=50，200和1 000情況下的EBS檢測器性能。從圖8可以看出：隨著重采樣數B的增多，檢測器性能得到改善，但是改善不顯著。這是因為重采樣數越多，相當于樣本數量越大，對檢測統計量分布的估計越準確。但重采樣數的提高同時也增大了計算量，B越大，所需計算時間越長。B=1 000的計算時間基本為B=200時的4倍。一般情況下，B的取值范圍為50～200，同時滿足計算時間和分布估計準確性的要求。

圖5　拉普拉斯信號下改變RSN的檢測器正確檢測概率Fig. 5 High detecting probability of detection at different RSNwith Laplacian signals

圖6　拉普拉斯噪聲下改變RSN的檢測器正確檢測概率Fig. 6 High detecting probability of detection at different RSNwith Laplacian noise

圖7　不同α的檢測器正確檢測概率Fig. 7 High detecting probability of detection with differentα

圖8　不同B下檢測器正確檢測概率Fig. 8 High detecting probability of detection with different B

5　結論

1) 所提出的假設檢驗統計量在空域下的分布用Bootstrap方法進行估計。仿真結果表明，所提出的算法在小樣本數量的情況下，性能優異。

2) 當數據為非高斯數據、低信噪比、信源功率不相同等不理想的條件下，所提出的算法仍然有效。因此，在相干信源數估計問題中，提出的檢測模型性能優于其他算法的性能。

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(編輯 劉錦偉)

Coherent source signal detection using Bootstrap technique

LIU Lutao, FENG Kai
(School of Information and Telecommunication, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The spatial smoothing technology was used to get rid of signals’ coherent, and the equivalent covariance matrix was obtained. Two approaches based on Bootstrap technique were proposed for developing source number detection methods. One method formulated a sequential hypothesis testing based on the eigenvalues of the equivalent covariance matrix. The other source method was a hypothesis testing based on eigen-space projection, whose equivalent array signal covariance matrix was projected from signal subspace to noise subspace. As no assumption was made on the distribution of the data, the Bootstrap was used to estimate the distribution at the null of the proposed test statistics. Through the simulations of different signal-to-noise ratio (RSN), the numbers of snapshots and angular resolutions, it is found that the performances of the proposed methods are effective and superior to those of the existing methods in the low signal-to-noise ratio (RSN) and small snapshots.

coherent signal; spatial smoothing; Bootstrap; hypothesis testing

TN911.23

A

1672?7207(2016)03?0793?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.012

2015?03?16；

2015?05?23

國家自然科學基金資助項目(61201410) (Project(61201410) supported by the National Natural Science Foundation of China)

劉魯濤，博士，副教授，從事寬帶信號處理、檢測與識別研究；E-mail: liulutao@msn.com