無源時間反轉聚焦方法

劉偉，付永慶，許達

(1. 哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱，150001；2. 哈爾濱工程大學 水聲工程學院，黑龍江 哈爾濱，150001)

無源時間反轉聚焦方法

劉偉1，付永慶1，許達2

(1. 哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱，150001；2. 哈爾濱工程大學 水聲工程學院，黑龍江 哈爾濱，150001)

為了提高時間反轉聚焦方法在電子戰中的適用性，提出一種基于電磁波波動方程的無源時間反轉聚焦方法。該方法以平面電磁波波動方程的時間反轉不變性為基礎，利用時間反轉陣列接收并記錄一段時間的信源發射信號，然后對該信號進行時間反轉處理，利用計算已知目標域內各觀測點處的虛擬接收和信號及其能量代替時間反轉后信號的物理傳輸過程，實現時間反轉后信號在信源處的重聚焦，其中能量最大點所對應的觀測點即為信源點。在理論上驗證該方法的正確性，然后以均勻圓形時間反轉陣列為例進行仿真實驗。研究結果表明：該無源時間反轉聚焦算法具有有效性和準確性，在低信噪比下具有良好聚焦性能。

無源時間反轉；波動方程；聚焦；觀測點

時間反轉由光學中的相位共軛引申而來，FINK等[1]提出并驗證了時間反轉技術在超聲實驗中的有效性，隨后SONG等[2]對該技術在海洋實驗中的應用進行了研究，直到2004年，時間反轉開始被引入到電磁領域[3]。到目前為止，時間反轉技術已經在超聲碎石[4]、無損探傷[5]、目標探測[6?8]、無線通信[9?10]、成像[11?12]和雷達[13?14]等領域得到廣泛研究。其基本原理為：收發合置的傳感器陣列接收輻射源發射的信號并對該信號進行時間反轉，然后將時間反轉后的信號物理發射到空間中，則經過反向物理傳輸，時間反轉后信號會在信源處實現重聚焦[15]。從以上原理可以看出：經典時間反轉理論需要將時間反轉后信號進行物理傳輸，并在信源處設置觀察陣列來實現信號重聚焦，不能直接用于實際電子戰中。水聲領域提出了一種虛擬時間反轉鏡來實現對輻射源目標的被動檢測[16]，但該方法需要預先對信道的沖擊響應函數進行估計，不適合用于復雜多變的電子戰環境。為了解決以上問題，本文作者提出了一種無源時間反轉聚焦方法，該方法只利用接收陣列接收一段信源的發射信號，接著將該信號進行時間反轉處理，然后利用時間反轉后信號計算已知目標域中各觀測點的虛擬接收和信號及其能量，即可實現在信源處的信號重聚焦。以平面電磁波波動方程為基礎，從理論上分析了無源時間反轉聚焦方法的正確性，并給出了算法步驟，最后以均勻圓形時間反轉陣列為例，驗證了該算法的有效性。

1　波動方程的時間反轉不變性

時間反轉在時域中是對信號的一種逆序操作，即將信號在時序上進行反轉，在頻域內可等效為相位共軛。以波動方程的時間反轉不變性為基礎，把接收天線陣列接收到的目標信號進行時間反轉處理并重新發射到空間中，則會實現在目標處的信號重聚焦。

假設電磁場中的標量位函數為?(r,t)，則在無源場區域滿足的標量波動方程為[17]：

式中：μ和ε分別為介質的介電常數和磁導率；r為電磁波傳播的位移矢量。

考慮遠場平面電磁波，則式(1)所示標量波動方程的通解為：

式中：f1和f2為任意函數；，為電磁波傳播速度。

令

可以看出，式(3)和(4)分別表示傳播方向相反的兩類波形，并且它們都是波動方程的解。

對式(3)和(4)進行時間反轉處理，可得：

可見，?1(r,?t)與?2(r,?t)也是波動方程的解，因此，波動方程具有時間反轉不變性。這一特性說明由目標激勵的每一個電磁波，經過介質傳播之后的場，必定會存在一個時間上與之相反的場沿著相同的路徑返回到目標的位置，實現電磁波信號在目標處的聚焦。

2　無源時間反轉聚焦方法

2.1時間反轉聚焦原理

時間反轉鏡(time reversal mirror, TRM)陣列將接收到的信號進行時間反轉，然后重新發射到空間中，反向傳輸的時間反轉信號就會實現在信源處的重聚焦，其原理如圖1所示。

圖1　時間反轉聚焦模型Fig. 1 Model of time reversal focusing

令用()Sω為信號頻譜，()Hω為信道的傳輸函數，則信號經過信道傳輸，到達TRM接收陣列時的頻譜可以表示為

時域內的時間反轉在頻域內表示為復共軛，令RTR(ω)是R(ω)的復共軛，即

將時間反轉后信號反向發射，并按原信道進行反向傳輸可得到：

式中：H?(ω)H(ω)為實、偶、正函數，它在時間零點的傅里葉變換同相相加，得到最大值，實現信號重聚焦[18]。

2.2無源時間反轉聚焦算法

假設圖1中TRM陣列由N個天線陣元組成，且信源的發射信號為s(t)。定義信源與TRM陣列中第n個陣元天線的沖激響應函數為hn( rn, t)(其中：1≤n≤N，rn為信源與第n個陣元之間的傳輸距離)。因此，第n個陣元天線接收到的信號為[19]

寫成頻域形式為

對各陣元的接收信號在時域上進行時間反轉，相當于對其頻域信號進行相位共軛，于是第n個陣元天線的時間反轉后信號可以表示為

根據圖1所示的時間反轉聚焦原理，若想實現信號在信源處的重聚焦，需要將間反轉后信號進行反向物理傳輸至目標域，并在目標域設置接收陣列以觀察時間反轉聚焦現象。但在非合作信源情況下(如敵方雷達或通信電臺等)，實現時間反轉后信號的反向物理傳輸是沒有意義的。因此，為了解決非合作信源情況下的時間反轉聚焦問題，可將已知目標域平均劃分成M個觀測點，并利用觀測點與各天線陣元之間的相對位置來計算各觀測點處的虛擬接收和信號來實現時間反轉聚焦。

令目標域中第k (1≤k≤M)個觀測點與第n個陣元天線之間的傳輸函數為Hkn(rkn,ω)，其中，rkn為第k個觀測點與第n個陣元之間的傳輸距離，則可通過計算得到目標域中第k個觀測點處虛擬接收到的第n個陣元反向傳輸的信號為

由式(21)可知：第n個接收天線的時間反轉信號達到最大值的時間僅與信源的發射信號有關，且各天線陣元的時間反轉信號達到最大值的時間相同，都是在觀測點與信源點重合時達到最大值，即在信源處獲得重聚焦。因此可通過計算目標域中各觀測點處虛擬接收到的N個天線陣元時間反轉信號的和信號的能量值來實現在信源處的重聚焦，其中最大能量點所對應的觀測點即為信源點。

由電磁平面波的波動方程的解可將目標與TRM陣列中第n個陣元天線的沖激響應函數寫為以下形式：

計算目標域中所有觀測點的信號能量，其中能量最大值所對應的觀測點即為目標信源點。因此，通過計算目標域中各觀測點的信號能量值，即可實現時間反轉信號在目標處的重聚焦。

通過以上分析可將無源時間反轉聚焦算法分為以下步驟：

1) 利用TRM陣列接收并記錄一段時間為T的信源發射信號；

2) 將接收信號進行時間反轉處理；

3) 確定已知目標搜索域中各目標觀測點位置；

4) 通過計算得到各目標觀測點的虛擬接收和信號；

5) 計算各觀測點的信號能量，實現在信源處的信號重聚焦。

3　仿真分析

考慮圖2所示均勻圓形時間反轉陣列，忽略其相干性，通道不一致性等，其中N個天線陣元均勻分布在半徑為r的圓周上，陣列的幾何中心與坐標原點重合。為實現無源時間反轉聚焦，選取圖3所示為目標搜索域，其中M個觀測點均勻分布在半徑為r′的圓周上，且每個觀測點的坐標為Pk( r′,θk)。假設目標位于目標搜索域內且方位角為82°，目標信源發射頻率為10 MHz的正弦電磁波。仿真中取N=10，r=20 m，圖4所示為波束指向90°時的時間反轉陣列方向圖。目標搜索域取r′=20 km，觀測點數M=360，即搜索步進為1°，時間反轉陣列的信號記錄時間為1 ms，則目標域內各觀測點的虛擬接收和信號歸一化能量值分布如圖5所示。從圖5可以看出：目標域內的歸一化能量值在方位角為82°的觀測點處取得最大值，此觀測點即為信源點，驗證了文中所提無源時間反轉聚焦算法的有效性。

圖2　均勻圓形時間反轉陣列Fig. 2 Uniform circular time reversal array

圖3　目標搜索域Fig. 3 Targets searching area

圖4　時間反轉陣列方向圖Fig. 4 Directivity diagram of time reversal array

圖5　目標域內歸一化能量值分布Fig. 5 Distribution of normalized energy values in target area

改變時間反轉陣列陣元數N，分別取8，10和15，其他參數保持不變。將時間反轉陣列接收到的信號進行時間反轉，然后計算目標域內各觀測點的虛擬接收和信號能量值，圖6所示為目標域內各觀測點的和信號能量分布情況。從圖6可以看出：不同陣元數情況下，無源時間反轉聚焦算法都可以有效實現在信源處的信號重聚焦，聚焦方位為82°，而且陣元數越大，信源處的聚焦峰值也越大，這說明陣元數增加可以增強無源時間反轉算法在目標處的聚焦效果。

為觀察噪聲對無源時間反轉聚焦算法的影響，在仿真中加入信噪比不同的高斯白噪聲，其中時間反轉陣列的陣元數N分別取8,10和15，其他參數保持不變，算法時間反轉聚焦的均方根誤差eRMSE計算公式為

圖6　不同陣元數下的無源時間反轉聚焦Fig. 6 Passive time reversal focusing in different numbers of element

式中：L為樣本數；Xi為樣本點；1≤i≤L；為樣本平均值。

圖7所示為執行200次蒙特卡洛實驗時，不同信噪比情況下無源時間反轉聚焦算法的均方根誤差。從圖7可以看出：隨著信噪比和陣元數的增大，該算法聚焦的均方根誤差都有逐漸減小的趨勢，而且在信噪比為0 dB時，3種情況下的聚焦均方根誤差都在0.8°以下，顯示了該方法在較低信噪比下的良好聚焦性能。圖8所示為陣元數為8的情況下，本文方法與傳統MUSIC和RB-MUSIC[20]在不同信噪比下的均方根誤差對比曲線。從圖8可以看出：文中所給出的無源時間反轉算法具有更小的均方根誤差，可以獲得更好的目標檢測性能。

為研究不同搜索步進，即不同觀測點數對算法聚焦性能的影響，在信噪比為0 dB的情況下取搜索步進分別為1°，0.5°和0.1°，然后通過計算各觀測點處的虛擬接收和信號能量值實現在信源處的信號重聚焦。執行200次蒙特卡洛實驗可得不同搜索步進情況下的聚焦均方根誤差如表1所示。從表1可以看出：隨著搜索步進的減小，即觀測點數的增加，3種陣元數情況下的聚焦誤差也隨之減小，同時，表1也顯示出了該無源時間反轉聚焦算法在信噪比為0 dB情況下的有效準確聚焦性能。

圖7　不同信噪比下的聚焦均方根誤差Fig. 7 RMSE of focusing in different SNR

圖8　3種方法在不同信噪比下的均方根誤差Fig. 8 RMSE of three methods in different SNR

表1　不同搜索步進下的聚焦均方根誤差Table 1 RMSE of focusing in different searching steppings

4　結論

1) 提出了一種無源時間反轉聚焦方法，該方法不需要進行時間反轉后信號的物理傳輸，也不需要對信道的沖擊響應函數進行預先估計，而是通過計算目標域中各觀測點處虛擬接收到的N個天線陣元時間反轉信號的和信號的能量來實現在信源處的重聚焦，其中最大能量所對應的觀測點即為信源點。

2) 本文方法具有有效性，在低信噪比情況下具有良好聚焦性能。

3) 無源時間反轉聚焦方法只需要對接收信號進行時間反轉處理和虛擬能量計算即可實現聚焦，因此更適合應用于電子戰中對敵方輻射源的偵測，也可用于任何需要對目標進行被動檢測的應用環境。

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(編輯 趙俊)

Passive time reversal focusing method

LIU Wei1, FU Yongqing1, XU Da2
(1. College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. College of Underwater Acoustic Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

In order to improve the applicability for time reversal focusing method in electronic warfare, a passive time reversal focusing method based on wave equation of electromagnetic wave was proposed. Based on the time reversal invariance of wave equation in electromagnetic plane wave, a part of signals emitted from source were

and recorded by the time reversal array, and then the recorded signals were time reversed. After that, by calculating the virtually

sum signals and energy values of every observed point in the given targets area instead of the physical transmission process of time-reversed signals, are refocused at source and the observed point whose energy value of virtual

sum signals is maximal is the source point. The correctness of the proposed method was verified theoretically, and then, the simulations with the time reversal array which is a uniform circular array were performed. The results show that the passive time reversal focusing method has effectiveness and accuracy, and the proposed method has good focusing performance at low SNR.

passive time reversal; wave equation; focusing; observed points

TN911.7

A

1672?7207(2016)03?0800?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.013

2015?03?18；

2015?06?10

國家自然科學基金資助項目(61172038) (Project(61172038) supported by the National Natural Science Foundation of China)

付永慶，教授，博士生導師，從事陣列信號處理的研究；E-mail: fuyongqing@hrbeu.edu.cn